2.3圆锥曲线的参数方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.1,从抛物运动谈起,炮管与地面的夹角为,，一发炮弹以初速度,射出，不计空气阻力，,试写出平面直角坐标系中炮弹飞行轨迹的方程。,y,x,O,A,M,.,设炮弹出膛的时刻为,t,0,，,分别写出在落地前任一时刻,t,，炮弹水平飞行距离,x,（,t,）,和炮弹竖直上抛达到的高度,y,（,t,）。,取炮口为原点，,x,轴取水平方向，建立平面直角坐标系,xOy,g,上述方程组称为曲线的,参数方程。,t,作为联系,x,，,y,两个变量的中介,，,称为,参变量,。,以前我们学过的形如,y=f,（,x,）或（,x,，,y,）,=0,的曲线方程,称为曲线的,普通方程,。如,.,2,1,.,参数方程的概念,(,1),一般地，,在,取定的,平面,直角坐标,系,xOy,中,如果,一条,曲线,L,上,任意一点的,坐标,(,x,y,),的每个分量,都是某个变,量,t,的,函数，即,而,且,对于,t,的每一个允许值,由方程组,(,*,),所确定的点,M,(,x,y,),都在这条曲线上,那么方程,(,*,),就叫做这条曲线的,参数,方程,。,联系,x,y,的,中间变量,t,叫做,参变数,简称,参数,.,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做,普通方程,.,(2),参数是联系,变,量,x,y,的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的,变,量,.,参数方程与普通方程是曲线方程的不同形式，,许多曲线，既有普通方程又有参数方程，,但是有点曲线，很容易建立它的参数方程，而不能或很难写出它的普通方程。,因此，普通方程跟参数方程可以互化。如,消参后,x,如何消参？,名师点拨对参数方程的理解,1,.,参数方程的形式,:,方程组中有三个变数,其中,x,和,y,表示点的横、纵坐标,第三个变数,t,叫做参变数,而且,x,与,y,分别是,t,的函数,.,由于横坐标、纵坐标都是变数,t,的函数,因此给出一个,t,能唯一地求出对应的,x,y,的值,因而能得到唯一的点,.,2,.,参数的取值范围,:,在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围,;,取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式,.,3,.,参数方程与普通方程的统一性,:,普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数,x,与,y,之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数,x,与,y,之间的间接联系,;,普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化,.,4,.,参数的意义,:,如果参数选择适当,那么参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数,.,写参数方程时必须注明哪个字母是参数,.,做一做,1,以下表示,x,轴的参数方程的是,(,),答案：,D,-,*,-,三直线的参数方程,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,8,过,x,O,y,平面定点,M,0,(,x,0,，,y,0,),，与,x,轴正向夹角为,的直线,l,如何用参数方程来表达？,设,M,(,x,，,y,),是这条直线上的动点，过,M,作与,y,轴平行的直线,l,1,，,过,M,0,(,x,0,，,y,0,),作与,x,轴平行的直线,l,2,，,l,1,与,l,2,交于,P,点,.,.,.,M,0,(,x,0,，,y,0,),M,(,x,，,y,),P,x,0,x,y,0,y,l,取,的长度为参数,t,，得直线,l,上从,M,0,向右行的射线的参数方程为,同理可得直线,l,上从,M,0,向左行,的射线的参数方程为,=,ltl,，,M,在定点,上为正，下为负，综上得直线,l,的,参数方程,为，,为,直线倾斜角，,ltl,为直线上一点,M,到定,点的距离,（具有明显的几何意义）,其中,-,，,+,）,直线,参数方程的,标准,形式,。,.,.,M,0,(,x,0,，,y,0,),M,(,x,，,y,),x,y,l,直线,l,的,参数,方程并不是唯一的。,如果非零向量,（,a,，,b,）,与直线,l,平行，,设,(,x,0,，,y,0,),是,l,上任意取定的一点，,(,x,，,y,),是直线,l,上的,动点，则向量,与,（,a,，,b,）,（直线的方向向量）,平行,是点,(,x,，,y,),在直线,l,上的充要条件，,即,=,令上式的值为,t,，则得直线的参数方程（以,t,为参数）,-,，,+,），,t,没有明显,的几何意义,11,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,(1),标准形式,:,过点,M,0,(,x,0,y,0,),倾斜角为,的直线,l,的参数方程为,直线参数方程的标准形式,(2),参数,t,的几何意义,:,参数,t,的绝对值表示直线上的动点,M,到定点,M,0,的距离,.,直线参数方程,的,一般,形式,(1),标准形式,:,过点,M,0,(,x,0,y,0,),的,直线,l,的参数方程为,(,t,为参数,),（,2,）,t,没有明显,的几何意义,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,做一做,2,若直线的参数方程,为,(,t,为参数,),则它的斜截式方程为,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画,“,”,错误的画,“,”,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,对直线参数方程的理解,分析：,判断直线的参数方程是否为标准形式,主要,看,(,t,为参数,),中的,a,b,能否满足,a,2,+b,2,=,1,且,a,b,是不是可以化为直线的倾斜角,的余弦值与正弦值,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟,理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数,t,的几何意义是解决此类问题的关键,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,1,已知直线,l,的方程为,3,x-,4,y+,1,=,0,点,P,(1,1),在直线,l,上,写出直线,l,的参数方程,并求点,P,到点,M,(5,4),的距离,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,直线参数方程的应用,【例,2,】,已知,直线,l,经过点,P,(1,1),倾斜角,= .,(1),写出直线,l,的参数方程,;,(2),设,l,与圆,x,2,+y,2,=,4,相交于,A,B,两点,求点,P,到点,A,B,的距离之积,.,分析：,(1),由直线参数方程的概念可直接写出方程,;(2),充分利用参数的几何意义求解,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,(2),因为点,A,B,都在直线,l,上,所以可设它们对应的参数分别为,t,1,和,t,2,.,将直线,l,的参数方程代入圆的方程,x,2,+y,2,=,4,因为,t,1,和,t,2,是方程,的解,从而,t,1,t,2,=-,2,.,所以,|PA|,|PB|=|t,1,t,2,|=|-,2,|=,2,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟,求解直线与圆或圆锥曲线有关的长度问题时,不必求出交点坐标,根据直线参数方程中参数,t,的几何意义即可求得结果,与常规方法相比较,较为简捷,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,2,一条直线,l,经过点,P,0,(3,4),倾斜角,=,求直线,l,与直线,3,x+,2,y=,6,的交点,M,与,P,0,之间的距离,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,对直线参数方程的标准形式不理解致,误,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,整理得,t,2,-,4,t-,6,=,0,.,设点,A,B,对应的参数分别为,t,1,t,2,则由根与系数的关系得,t,1,+t,2,=,4,t,1,t,2,=-,6,.,纠错心得,在直线参数方程的标准形式下,参数,t,的几何意义是其绝对值表示参数,t,所对应的点,M,到定点,M,0,的距离,若参数方程不是标准形式,则不具有该几何意义,本题错解的原因就在此,.,在解题中,运用直线方程中参数的几何意义时,务必先把直线参数方程化为标准形式,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,直线,(,t,为参数,),的倾斜角是,.,答案：,110,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,1,.,经过原点,斜率等于,-,1,的直线的参数方程为,(,),答案：,B,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,2,.,若直线的参数方程,为,(,t,为参数,),则该直线的倾斜角为,(,),A.410,B.50,C.40,D.130,解析,：,直线的参数方程可,化为,故,倾斜角等于,40,.,答案：,C,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,解析：,将,t=,0,t=,1,分别代入方程得到两点坐标,(2,-,1),和,(5,0),.,由两,点,间,的距离公式求出距离,为,答案,：,B,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,4,.,已知直线,l,经过点,M,0,(1,5),倾斜角,为,且交直线,x-y-,2,=,0,于点,M,则,|MM,0,|=,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,5,.,直线,l,通过点,P,0,(,-,4,0),倾斜角,=,l,与圆,x,2,+y,2,=,7,相交于,A,B,两点,.,(1),求弦长,|AB|,;,(2),求,A,B,(,点,A,在点,B,的右上方,),两点的坐标,.,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,1 2 3 4 5,