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8,二次函数与一元二次方程,1.,理解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,.(,重点,),2.,理解二次函数与,x,轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,.(,难点,),1.,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),与一元二次方程,ax,2,+bx+c,=0(a0),的关系,.,抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴的交点的个数,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根的情况,2,_,1,_,0,_,两个不等实数根,两个相等实数根,无实数根,2.,一元二次方程的图象解法,.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象与,x,轴有交点时,交点的,_,就,是当,y=0,时自变量,x,的值,即一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的,_.,横坐标,根,3.,利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法,.,(1),先画出函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象,.,(2),确定抛物线与,x,轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间,.,(3),列表,在,(2),中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程的近似根,.,(,打,“,”,或,“,”,),(1),抛物线与,y,轴不一定有交点,.(),(2),抛物线,y=x,2,-x,与,x,轴只有一个交点,.(),(3),利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确,值,.(),(4),如果抛物线的顶点在,x,轴上,那么抛物线与,x,轴有一个交,点,.(),知识点,1,二次函数与一元二次方程的关系,【,例,1】,(1),已知一元二次方程,x,2,+px+q=0(p,2,-4q0),的两根为,x,1,x,2,.,求证,:x,1,+x,2,=-p,x,1,x,2,=q.,(2),已知抛物线,y=x,2,+px+q,与,x,轴交于,A,B,两点,且过点,(-1,-1),设线段,AB,的长为,d,当,p,为何值时,d,2,取得最小值,并求出最小值,.,【,思路点拨,】,(1),先根据求根公式得出,x,1,x,2,的值,再求出两根的和与积,.,(2),把点,(-1,-1),代入抛物线的表达式,用,p,表示出,q,若设,A(x,1,0),B(x,2,0),则再由,d,2,=(x,1,-x,2,),2,得到,d,2,与,p,的函数关系,即可得出结论,.,【,自主解答,】,(1),即,(2),把,(-1,-1),代入,y=x,2,+px+q,得,p-q=2,q=p-2,设抛物线,y=x,2,+px+q,与,x,轴交于,A,B,两点的坐标分别为,(x,1,0),(x,2,0),由,d=|x,1,-x,2,|,可得,d,2,=(x,1,-x,2,),2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,=p,2,-4q=p,2,-4p+8=(p-2),2,+4,当,p=2,时,d,2,的最小值是,4.,【,总结提升,】,二次函数,y=ax,2,+bx+c,与方程,ax,2,+bx+c=0,之间的关系,1.b,2,-4ac0,抛物线与,x,轴有,2,个交点,方程有两个不相等的实数根,.,2.b,2,-4ac=0,抛物线与,x,轴有,1,个交点,方程有两个相等的实数根,.,3.b,2,-4ac0,抛物线与,x,轴有,2,个交点,综上,抛物线与坐标轴的交点个数为,3.,【,变式备选,】,已知函数,y=(k-3)x,2,+2x+1,的图象与,x,轴有交点,则,k,的取值范围是,(,),A.k4 B.k4,C.k4,且,k3 D.k4,且,k3,【,解析,】,选,B.,当,k-30,时,方程为,(k-3)x,2,+2x+1=0,b,2,-4ac=2,2,-4(k-3),1=-4k+160,k4;,当,k-3=0,时,y=2x+1,与,x,轴有交点,.,2.,如图是二次函数,y=ax,2,+bx+c,的部分图象,由图象可知不等式,ax,2,+bx+c0,的解集是,(,),A.-15,C.x5 D.x5,【,解析,】,选,D.,观察图象可知抛物线对称轴为,x=2,且与,x,轴的一个交点为,(5,0),依据对称性可知,抛物线与,x,轴另一交点坐标为,(-1,0).,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的部分图象的开口向下,所以不等式,ax,2,+bx+c0,的解集是,x5.,3.(2012,兰州中考,),二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象如图所示,若,|ax,2,+bx+c|=k(k0),有两个不相等的实数根,则,k,的取值,范围是,(,),A.k-3,C.k3,【,解析,】,选,D.,根据题意,y=|ax,2,+bx+c|,的图象如图所示,:,当,|ax,2,+bx+c|=k(k0),有两个不相等的实数根时,k3.,4.(2013,苏州中考,),已知二次函数,y=x,2,-3x+m(m,为常数,),的图象与,x,轴的一个交点为,(1,0),则关于,x,的一元二次方程,x,2,-3x+m=0,的两实数根是,(,),A.x,1,=1,x,2,=-1 B.x,1,=1,x,2,=2,C.x,1,=1,x,2,=0 D.x,1,=1,x,2,=3,【,解析,】,选,B.,二次函数的表达式是,y=x,2,-3x+m(m,为常数,),该抛物线的对称轴是,又二次函数,y=x,2,-3x+m(m,为常数,),的图象与,x,轴的一个交点,为,(1,0),根据抛物线的对称性质知,该抛物线与,x,轴的另一个交点的,坐标是,(2,0),关于,x,的一元二次方程,x,2,-3x+m=0,的两实数根分别是,x,1,=1,x,2,=2.,5.,已知函数,y=mx,2,-6x+1(m,是常数,).,(1),求证,:,不论,m,为何值,该函数的图象都经过,y,轴上的一个定点,.,(2),若该函数的图象与,x,轴只有一个交点,求,m,的值,.,【,解析,】,(1),当,x=0,时,y=1.,所以不论,m,为何值,函数,y=mx,2,-6x+1,的图象都经过,y,轴上的一个定点,(0,1).,(2),当,m=0,时,函数,y=-6x+1,的图象与,x,轴只有一个交点,;,当,m0,时,若函数,y=mx,2,-6x+1,的图象与,x,轴只有一个交点,则方程,mx,2,-6x+1=0,有两个相等的实数根,所以,(-6),2,-4m=0,m=9.,综上可知,若函数,y=mx,2,-6x+1,的图象与,x,轴只有一个交点,则,m,的值为,0,或,9.,题组二,:,利用函数图象求一元二次方程的近似根,1.,已知二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的顶点坐标,(-1,-3.2),及部分图象,(,如图,),由图象可知关于,x,的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根分别是,x,1,=1.3,和,x,2,=(,),A.-1.3 B.-2.3,C.-0.3 D.-3.3,【,解析,】,选,D.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的顶点坐标为,(-1,，,-3.2),，,x,1,，,x,2,是一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两根，,又,x,1,=1.3,，,x,1,+x,2,=1.3+x,2,=-2,，,x,2,=-3.3.,2.,小亮通过观察二次函数,y=2x,2,+2x-1,的图象,发现它与,x,轴的,两个交点一个在,-1,和,-2,之间,另一个在,0,和,1,之间,.,并用计算器,进行探索,得到下表,由此可知方程,2x,2,+2x-1=0,的一个近似根,是,(,),A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4,x,0.1,0.2,0.3,0.4,y,-0.78,-0.52,-0.22,0.12,【,解析,】,选,D.,由题意可知方程,2x,2,+2x-1=0,的根一个在,-1,和,-2,之间,另一个在,0,和,1,之间,.,当,x,由,0.1,向,0.3,变换过程中,y,值一直在增大,并越来越接近,0,当,x=0.4,时,y,值大于,0,则方程的一个根在,0.3,和,0.4,之间,x=0.4,时的,y,值比,x=0.3,时更接近,0,所以方程的一个近似根为,0.4.,3.,对于二次函数,y=x,2,+6x+1,当,x=-5.8,时,y=-0.160.,那么方程,x,2,+6x+1=0,的一个根的近,似值是,.(,精确到,0.1),【,解析,】,因为,y=x,2,+6x+1,的对称轴是,x=-3,且当,x=-5.8,时,y=-0.160.,所以方程,x,2,+6x+1=0,的,一个根的近似值是,-5.8.,答案,:,-5.8,4.,利用函数图象求得方程,2x,2,-6x+3=0,的近似根是,.,(,精确到,0.1),【,解析,】,方程,2x,2,-6x+3=0,的根就,是函数,y=2x,2,-6x+3,的图象与,x,轴的,交点的横坐标,y=2x,2,-6x+3,的图象,如图所示,:,方程,2x,2,-6x+3=0,的近似根是,x,1,=2.4,x,2,=0.6.,答案,:,x,1,=2.4,x,2,=0.6,5.(1),请在坐标系中画出二次函数,y=x,2,-2x,的大致图象,.,(2),根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程,x,2,-2x-1=0,的根在图上近似地表示出来,.(,描点,),(3),观察图象,直接写出方程,x,2,-2x-1=0,的根,.(,精确到,0.1),【,解析,】,(1)(2),如图,.,(3)x,M,=-0.4,x,N,=2.4.,
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