椭圆型偏微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,偏微分方程教程第六章 椭圆型方程,1,1 调和函数,【,知识点提示,】,Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。,【,重、难点提示,】,利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的,基本性质。,【,教学目的,】,掌握调和函数的定义和性质。,2,1.1.Green公式,散度定理：,设,是,维空间中以足够光滑的曲面,所围成的,有界连通区域,是曲面的外单位法向.若函数,在闭区域,上连续,在,内有一阶的连续偏,导数,则,(1.1),其中,表示曲面,的外单位法向,与,轴的方向余弦,是,上的面积元素.,3,Green公式的推导：,设函数,和,在,内有连续的二阶,偏导数.在公式(1.1)中令,得到,(1.2),(1.2)可改写成为,(1.3),4,若将(1.3)中的,和,互相对换,又得,(1.4),我们把(1.3)与(1.4)都称作,第一Green公式.,若将(1.3)与(1.4)相减,则得,(1.5),我们把(1.5)称为,第二Green公式.,1.2.调和函数与基本解,定义 6.1,对于函数,如果它在,维空间,的有,界区域,内有直到二阶的连续偏导数,且在,内满足Laplace方程：,5,(1.6),则称,在区域,内是,调和函数.,如果,则称,在区域,内是,下调和(上调和)函数.,如果,是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点,趋于无穷远时,函数,一致趋于零.即对于任意小的正数,存在正数,使当点,与坐标原点的距离,时,总有,按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作,调和方程,.,调和方程的基本解,我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.,6,首先我们考虑三维的情形.,用,表示三维空间中的点,改写,三维空间的调和方程,为球坐标形式.设球坐标变换为,则(1.6)(取,)可化为,(1.7),由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以,为自变量的,常微分方程,7,其通解可写为,这里,是任意常数.所以函数,是一个球对称特解,从而推得,在任一不包含点,的区域内是调和的,它在点,处有奇性.,称函数,为三维Laplace方程(1.6)的,基本解,8,注,基本解在,时关于,或,都是调和,且无穷次可微.,函数,其次,考虑二维Laplace方程,在极坐标变换,下它可化为,(1.8),二维Laplace方程的基本解,定理 6.1,设函数,在有界区域,内二阶连续可微,在,上连续且有连续的一阶偏导数,则当点,时,有,9,(1.9),其中,是边界曲面,的外单位法向,是曲面,上的面积单元,是体积单元.,证,以,为中心,为半径作球,使,表示该球的球面,于是在区域,上,函数,和,都满足第二Green公式的条件,代入公式(1.5)得,(1.10),因为,在区域,内是调和函数,所以有,.,另外边界,上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心,的方向,所以在,上有,10,从而得到在,上的积分为,其中,和,分别是函数,和,在 球面,上的平均值.于是(1.10),可写成,因为,及,在,上连续，所以,关于,一致有界,且当,时,有,11,于是由上式即得,定理证毕.,今后,我们将公式(1.9)称为三维空间中的,基本积分公式.,定理 6.2,设函数,在有界区域,内二阶连续可微，在,上连续且有连续的一阶偏导数，则当点,时有,(1.11),其中,表示,上的线元素,是,上的面积元素.,1.3.调和函数的基本性质,性质 6.1,设,是有界区域,内的调和函数,且在,上有连续的一阶偏导数,则,12,(1.12),证,利用第二Green公式,在(1.5)中取,取,为所给的调和,函数,由此性质可得出,Laplace方程的第二边,就可得到(1.12).,值问题,有解的必要条件是函数,满足,性质 6.2,设,是有界区域,内的调和函数,且在闭区域,上有连续的一阶偏导数,则在,内的任一点,处有,13,(1.13),证,利用基本积分公式(1.9)即得.,类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到,(1.14),其中,是平面上有界区域,的边界.,性质 6.3(平均值定理),设,是区域,内的调和函数,是,内的,任一点以,为心,为半径作球,只要球,连同其边界,包含在,内,则有公式,(1.15),14,证,将公式(1.13)应用于球面,上,得到,这里,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是,又因为,所以有,我们把调和函数的这一性质称为,平均值定理,公式(1.15),15,称为,平均值公式,即调和函数在球心处的值等于它在球面上的,平均值.,注1,对区域,内的下调和(上调和)函数,我们有,(1.17),性质 6.4(强极值原理),假设不恒为常数的函数,在有界区域,内调和且在,上连续,则它在,上的最大,值和最小值只能在,的边界,上达到.,证,用反证法.假设调和函数,在,上的最大值不在,上达到,那么它必在,内的某一点,达到,记,当然,也是,在,上的最大值.,16,以,为心,为半径作球,使,完全包含于,内,记,的球面为,可以证明,在,上有,事实上,若函数,在,上某一点的值小于,则由连续性知,上必可找到此,在球面,点的一个充分小的邻域,在此邻域内有,于是在,上成立不等式,但由平均值公式(1.15),有,这就发生了矛盾.所以在球面,上,必须有,17,同理可证,在任一以,为心,为半径的球面,上,也有,.因此,在整个球,上,有,下面证明对,内的所有点,都有,.为此在,内任取一点,由于,是区域,所以可用完全位于,内的折线,将点,和,连结起来,设,与边界,的最短距离为,于是函数,在以,为心,为半径的球,上,恒等于,若,与球,的球面,相交于,点,显然,在以,为心,为半径的球,上,有,照此作下去,可用有限个球,.,将折线,完全覆盖,而且,18,使,因为在每个球上都有,所以,由点,的任意性,就可得到在整个区域,上,有,这和函数,在,上不恒等于常数的假设相矛盾.因此,不能,在,的内部取得它的最大值.,对于最小值的情形,由,的最小值就是,的最大值,而,也是调和函数,从而推得函数,也不能在,的内部取得它的最小值.,定理证毕.,推论 6.1(调和函数的比较原理),设,和,都是有界区域,内的调和函数,且在,的边界,上连续,如果在,上有不等式,19,则在,内亦有,.并且只有在,上,时,在,内才会有等号成立的可能.,对于二维调和函数,类似的极值原理成立.,注2,(下(上)调和函数的强最大(小)值原理),设不恒为常数,的函数,是,内的下(上)调和函数,则它在,上的最大(小)值,的边界,上达到.,只能在,证明留给读者自己完成.,20,