可降阶高阶微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,可降阶高阶微分方程,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解,.,型的微分方程,例,1.,解,:,质量为,m,的质点受力,F,的作用沿,ox,轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力,F,均匀地减,直到,t,=,T,时,F,(,T,)=0.,如果开始时质点在原点,解,:,据题意有,t,=0,时,设力,F,仅是时间,t,的函数,:,F,=,F,(,t,).,小,求质点的运动规律,.,初速度为,0,且,对方程两边积分,得,例,2.,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例,3.,求解,解,:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例,4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解,:,取坐标系如图,.,考察最低点,A,到,(,:,密度,s,:,弧长,),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线,?,任意点,M,(,x,y,),弧段的受力情况:,A,点受水平张力,H,M,点受切向张力,T,两式相除得,则得定解问题,:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例,5.,求解,代入方程得,两端积分得,(,一阶线性齐次方程,),故所求通解为,解,:,M,:,地球质量,m,:,物体质量,例,6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(,不计空气阻力,).,解,:,如图所示选取坐标系,.,则有定解问题,:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,两端积分得,因此有,注意“”号,由于,y=R,时,由原方程可得,因此落到地面,(,y,=,R,),时的速度和所需时间分别为,说明,:,若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问,:,此时开方根号前应取什么符号,?,说明道理,.,则定解问题为,例,7.,解初值问题,解,:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与,x,轴围成的三角形面,例,8.,二阶可导,且,上任一点,P,(,x,y,),作该曲线的,切线及,x,轴的垂线,区间,0,x,上以,解,:,于是,在点,P,(,x,y,),处的切线倾角为,满足的方程,.,积记为,(99,考研,),再利用,y,(0)=1,得,利用,得,两边对,x,求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.,方程,如何代换求解,?,答,:,令,或,一般说,用前者方便些,.,均可,.,有时用后者方便,.,例如,2.,解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题,?,答,:,(1),一般情况,边解边定常数计算简便,.,(2),遇到开平方时,要根据题意确定正负号,.,