有限元法与程序-形函数构造

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,补充：单元和插值形函数构造,上次课内容回顾,单元形函数,单元位移函数取决于插值函数即形函数，形函数是定义与单元内坐标的连续函数，对平面问题，形函数确定的单元位移表示为：,不难证明：形函数具备如下基本性质,1.形函数的性质,单元形函数,形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛性要求，即满足完备性条件和协调性条件。形函数满足单元位移插值完备性的充要条件为,2.收敛性的要求,形函数的构造方法,利用形函数在节点上的性质，利用几何方法构造；然后再用位移函数的完备性和协调性来校核。,1.广义坐标法,2.几何法（自然坐标法）,首先将单元位移表示为多项式，然后利用单元的几何参数和节点位移来确定多项式的待定常数，从而用单元形函数和节点位移表示位移函数。,形函数的构造方法,2.几何法（自然坐标法）,回顾拉格朗日插值方法,构造方法：以平面问题为例，先做一组（m条）不通过节点i但通过单元其他所有节点 的不可约曲线F,k,=0，然后按下式计算,求得Ni后，检验由它们构造的位移函数是否满足完备性和协调性要求。,例1 四结点四边形单元,式中,i,、,i,是结点,i,的局部坐标,单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,同理：,母单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,做两条直线过节点2,3,4，但不过节点1，,例1 四结点四边形等参数单元,式中,i,、,i,是结点,i,的局部坐标,母单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,合并表示为,完备性检验,例2 八结点四边形等参数单元,形函数的构造方法,形函数的构造方法,对节点1，做三条直线过节点2,3,4,5,6,7,8，但不过节点1，,过3,4,5,过5,6,7,过2,8,则,形函数的构造方法,对节点2，做三条直线过节点1,3,4,5,6,7,8，但不过节点1，,过3,4,5,过5,6,7,过7,8,1,则,同理，构造N3，N4，,，,N8,完备性检验和协调性检验,例3 五结点四边形单元（过渡单元）,过渡单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,5,对节点1，做三条直线过节点2,3,4,5，但不过节点1，,过2,3,过4,3,过5,则,例3 五结点四边形单元（过渡单元）,过渡单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,5,对节点2，做三条直线过节点1,3,4,5，但不过节点2，,过1,4,过4,3,过5,则,例3 五结点四边形单元（过渡单元）,过渡单元,2,2,2,3,4,1,形函数的构造方法,5,对节点3，做二条直线过节点1,2,4,5，但不过节点3，,过1,4,过1,2,5,则,同理,三角形高次单元的形函数,三角形高次单元的,形函数,可用面积坐标表示，其形函数的构造公式为：,3,5,1,6,2,4,y,x,例4 六结点三角形单元形函数,对节点1，做两条直线过节点2,3,4,5,6，但不过节点1，即,同理得,因此,3,5,1,6,2,4,y,x,例4 六结点三角形单元形函数,对节点4，做两条直线过节点1,2,3,5,6，但不过节点4，即,同理得,因此,3,5,1,6,2,4,y,x,例4 六结点三角形单元形函数,协调性检验,注意到,完备性、协调性检验,例5 十结点三角形单元的形函数,十结点三角形单元,位移形函数为,例6 空间二十结点六面体单元,形函数的构造方法,对节点1，做四个平面过除节点1外的所有节点,过2,3,6,7,13,14,18,19,过5,6,7,8,11,12,14,15,则,过3,4,7,8,10,11,19,20,过9,16,17,作业：5-1,2.写出图示10节点四面体单元的形函数,3.写出图示20 结点四面体单元的形函数（选做）,十结点四面体单元,