数学模型电子教案

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北方民族大学信息与计算科学系,第八章 离散模型,8.1 层次分析模型,8.2,效益的合理分配,y,8.1 层次分析模型,Saaty,于,1970,年代提出层次分析法,AHP,(Analytic Hierarchy Process),AHP,一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,目标层,O(选择旅游地),P,2,黄山,P,1,桂林,P,3,北戴河,准则层,方案层,C,3,居住,C,1,景色,C,2,费用,C,4,饮食,C,5,旅途,一.层次分析法的基本步骤,例.选择旅游地,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为,3,个层次：目标层,O,，,准则层,C,，,方案层,P,；,每层有若干元素，,各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C,1,C,2,C,n,对目标O的重要性,A,成对比较阵,A,是正互反阵,要由,A,确定C,1,C,n,对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,一致比较,不一致,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较完全一致的情况,满足,的正互反阵,A,称,一致阵,，如,A,的秩为,1,，,A,的唯一非零特征根为,n,A,的任一列向量是对应于,n,的特征向量,A,的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵,A,，建议用对应于最大特征根,的特征向量作为权向量,w,，即,一致阵性质,2 4 6 8,比较尺度,a,ij,Saaty等人提出19尺度,a,ij,取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,尺度 1 3 5 7 9,相同 稍强 强 明显强 绝对强,a,ij,=,1,1/2,1/9,的重要性与上面相反,心理学家认为成对比较的因素不宜超过,9,个,用,13,15,117,1,p,9,p,(,p,=2,3,4,5),d,+0.1,d,+0.9(,d,=1,2,3,4),等,27,种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，,19,尺度较优。,便于定性到定量的转化：,一致性检验,对,A,确定不一致的允许范围,已知：,n,阶一致阵的唯一非零特征根为,n,可证：,n,阶正互反阵最大特征根,n,且,=,n,时为一致阵,定义一致性指标:,CI,越大，不一致越严重,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,10,为衡量,CI,的大小，引入,随机一致性指标,RI,随机模拟得到,a,ij,形成,A,，计算,CI,即得,RI,。,定义一致性比率,CR=CI,/,RI,当,CR,0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的,成对比较阵,最大特征根,=5.073,权向量(特征向量),w,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),T,一致性指标,随机一致性指标,RI=,1.12(,查表),一致性比率,CR,=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C,1,(景色)的成对比较阵,方案层对C,2,(费用)的成对比较阵,C,n,B,n,最大特征根,1,2,n,权向量,w,1,(3),w,2,(3),w,n,(3),第3层对第2层的计算结果,k,1,0.595,0.277,0.129,3.005,0.003,0.001,0,0.005,0,3.002,0.682,0.236,0.082,2,3,0.142,0.429,0.429,3,3.009,0.175,0.193,0.633,4,3,0.668,0.166,0.166,5,组合权向量,RI,=,0.58(,n,=3),CI,k,均可通过一致性检验,w,(,2,),方案P,1,对目标的组合权重为,0.595,0.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456),T,组合,权向量,第1层O,第2层C,1,C,n,第3层P,1,P,m,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第,s,层对第1层的组合权向量,其中,W,(,p,),是由第,p,层对第,p,-1层权向量组成的矩阵,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和,1,9,尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验,*,）,组合权向量可作为决策的定量依据。,二.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,国家综合实力,国民,收入,军事,力量,科技,水平,社会,稳定,对外,贸易,美、俄、中、日、德等大国,工作选择,贡献,收入,发展,声誉,关系,位置,供选择的岗位,例,1,国家实力分析,例,2,工作选择,过河的效益,A,经济效益,B,1,社会效益,B,2,环境效益,B,3,节省时间C,1,收入C,2,岸间商业C,3,当地商业C,4,建筑就业C,5,安全可靠C,6,交往沟通C,7,自豪感C,8,舒适C,9,进出方便C,10,美化C,11,桥梁,D,1,隧道,D,2,渡船,D,3,（1）过河效益层次结构,例,3,横渡江河、海峡方案的抉择,过河的代价,A,经济代价,B,1,环境代价,B,3,社会代价,B,2,投入资金C,1,操作维护C,2,冲击渡船业C,3,冲击生活方式C,4,交通拥挤C,5,居民搬迁C,6,汽车排放物C,7,对水的污染C,8,对生态的破坏C,9,桥梁,D,1,隧道,D,2,渡船,D,2,（2）过河代价层次结构,例,3,横渡江河、海峡方案的抉择,待评价的科技成果,直接,经济,效益,C,11,间接,经济,效益,C,12,社会,效益,C,13,学识,水平,C,21,学术,创新,C,22,技术,水平,C,23,技术,创新,C,24,效益C,1,水平C,2,规模C,3,科技成果评价,例,4,科技成果的综合评价,三.层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,1.,正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,定理1 正矩阵,A,的,最大特征根,是正单根，对应正特征向量,w,，且,定理2,n,阶正互反阵,A,的最大特征根,n,=,n,是,A,为一致阵的充要条件。,正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。,一致性指标 定义合理,2.,正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,和法取列向量的算术平均,列向量归一化,算术平均,精确结果:,w,=(0.588,0.322,0.090),T,=3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量,w,(0),k,:=0，设置精度,2)计算,3）归一化,5)计算,4）若 ，停止；否则，,k,:,=k,+1,转2,3.,特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问,题,一致阵,A,权向量,w=,(,w,1,w,n,),T,a,ij,=w,i,/w,j,A,不一致,应选权向量,w,使,w,i,/w,j,与,a,ij,相差尽量小（对所有,i,j,)。,用拟合方法确定,w,非线性,最小二乘,线性化,对数最小二乘,结果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,成对比较,C,i,:C,j,(直接比较）,a,ij,1步强度,a,is,a,sj,C,i,通过C,s,与C,j,的比较,a,ij,(2),2,步强度,更能反映C,i,对C,j,的强度,多步累积效应,体现,多步累积效应,定理1,特征向量体现,多步累积效应,当,k,足够大,A,k,第,i,行元素反映C,i,的权重,求,A,k,的行和,4.,不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量,w,(2),=(,w,1,(2),w,2,(2),),T,已定,第3层对第2层权向量,w,1,(3),=(,w,11,(3,),w,12,(3,),w,13,(3),0),T,w,2,(3),=(0,0,w,23,(3,),w,24,(3,),T,已得,讨论由,w,(2),W,(3),=(,w,1,(3),w,2,(3),),计算第3层对第1层权向量,w,(3）,的方法,贡献O,教学C,1,科研C,2,P,2,P,1,P,3,P,4,例:评价教师贡献的层次结构,P,1,P,2,只作教学,P,4,只作科研,P,3,兼作教学、科研。,C,1,C,2,支配元素的数目不等,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配元素数目,n,1,n,2,对,w,(2),加权修正,若C,1,C,2,重要性相同,w,(2),=(1/2,1/2,),T,P,1,P,4,能力相同,w,1,(3),=(1/3,1/3,1/3,0),T,w,2,(3),=(0,0,1/2,1/2),T,公正的评价应为：P,1,:P,2,:P,3,:P,4,=1:1:2:1,再用 计算,w,(3),=(1/6,1/6,5/12,1/4),T,w,(3),=(1/5,1/5,2/5,1/5),T,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：,5.,残缺成对比较阵的处理,m,i,A,第,i,行中,的个数,为残缺元素,辅助矩阵,6.,更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：,层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,制动,底盘,车轮,方向盘,发动机,减震装置,刹车,转向,运行,加速性能,汽车行驶性能,汽车1,汽车2,汽车,n,例,层次分析法的优点,系统性,将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策,系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性,定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性,计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧,只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略,定性化为定量，结果粗糙,；,主观,主观因素作用大，结果可能难以服人。,8.2,效益的合理分配,例,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，,甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，,三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。,问三人合作时如何分配获利？,记甲乙丙三人分配为,解不唯一,(5，3，3),(4，4，3),(5，4，2),(1),Shapley,合作对策,I,v,n,人合作对策，,v,特征函数,n,人从,v,(,I,)得到的分配，满足,v,(,s,)子集,s,的获利,公理化方法,s,