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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,24.1,圆的有关性质,第二十四章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.1.2,垂直于弦的直径,1.,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形,.,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一,些简单的计算、证明和作图问题,.,（重点）,3.,灵活运用垂径定理解决有关圆的问题,.,（难点）,学习目标,折一折：,你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？,在折的过程中你有何发现？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,导入新课,问题,1,：,如图,AB,是,O,的一条弦,直径,CD,AB,垂足为,E.,你能发现图中有那些相等的线段和劣弧,?,线段,:,AE,=,BE,弧,:,AC=BC, AD=BD,理由如下：连接,AO,BO,.,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,AC,和,BC,AD,与,BD,重合,O,A,B,C,D,E,垂径定理及其推论,一,垂径定理,O,A,B,C,D,E,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,.,CD,是直径，,CD,AB,，,AE,=,BE,AC,=,BC,AD,=,BD,.,归纳总结,推导格式：,温馨提示：,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,想一想：,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为,CD,没有过圆心,A,B,O,C,D,E,O,A,B,C,A,B,O,E,A,B,D,C,O,E,垂径定理的几个基本图形：,A,B,O,C,D,E,A,B,O,E,D,A,B,O,D,C,A,B,O,C,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？,过圆心 ；垂直于弦； 平分弦；,平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧。,上述五个条件中的,任何两个条件,都可以推出其他三个结论吗？,思考探索：,D,O,A,B,E,C,举例证明其中一种组合方法,已知,:,求证：, CD,是直径, CDAB,，垂足为,E, AE=BE, AC=BC AD=BD,证明猜想：,如图，,AB,是,O,的一条弦，作直径,CD,，使,AE=BE.,（,1,）,CD,AB,吗？为什么？,（,2,）,O,A,B,C,D,E,AC,与,BC,相等吗？,AD,与,BD,相等吗？为什么？,（,2,）由垂径定理可得,AC =BC,，,AD =BD.,证明举例：,（,1,）连接,AO,BO,则,AO,=,BO,又,AE,=,BE,，,AOE,BOE,（,SSS,）,，,AEO,=,BEO,=90,，,CD,AB,.,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理,的推论,归纳总结,CD,AB,CD,是直径,AM=BM,AC,=,BC,AD,=,BD,.,可推得,推导格式：,思考：,“,不是直径,”,这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例,.,O,A,B,C,D,特别说明：,圆的两条直径是互相平分的,.,典例精析,例,1,如图，,OE,AB,于,E,，若,O,的半径为,10,cm,OE,=6,cm,则,AB,=,cm,.,O,A,B,E,解析：连接,OA,，,OE,AB,，,AB,=2,AE,=16,cm,.,16,一,cm.,例,2,如图，,O,的弦,AB,8,cm,，,直径,CE,AB,于,D,，,DC,2,cm,，,求半径,OC,的长,.,O,A,B,E,C,D,解：连接,OA,，,CE,AB,于,D,，,设,OC,=,x,cm,，,则,OD,=,x,-2,根据勾股定理，得,解得,x,=5,，,即半径,OC,的长为,5cm.,x,2,=4,2,+(,x,-2),2,，,例,3,：,已知：,O,中弦,ABCD,求证：,AC,BD.,.,M,C,D,A,B,O,N,证明：作直径,MNAB.,ABCD,，,MNCD.,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,总结：,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,.,归纳总结,垂径定理的实际应用,二,我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.23m,，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？,A,B,O,C,D,解：如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在圆的圆心为,O,，,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与弧,AB,交于点,C,，,则,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB,=37m,，,CD,=7.23m.,解得,R,27.3,（,m,）,.,即主桥拱半径约为,27.3m.,=,18.5,2,+(,R,-7.23),2,AD,=,AB,=18.5m,，,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,练一练：,如图,a,、,b,一弓形弦长为,cm,，弓形所在的圆的半径为,7cm,，,则弓形的高为,_,.,C,D,C,B,O,A,D,O,A,B,图,a,图,b,2cm,或,12cm,在圆中有关弦长,a,半径,r,弦心距,d,（,圆心到弦的距离,），弓形高,h,的计算题时，常常通过,连半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,方法归纳,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦,a,，,弦心距,d,，,弓形高,h,，,半径,r,之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,d+h=r,O,A,B,C,1.,已知,O,中，弦,AB,=8cm,，,圆心到,AB,的距离为,3cm,，则此圆的半径为,.,5cm,2.,O,的直径,AB,=20cm, ,BAC,=30,则弦,AC,=,_,.,10 3 cm,3.,（分类讨论题,）,已知,O,的半径为,10cm,，弦,MNEF,且,MN,=12cm,EF,=16cm,则弦,MN,和,EF,之间的距离为,_,.,14cm,或,2cm,当堂练习,4.,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,5.,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。你认为,AC,和,BD,有什么关系？为什么？,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,即,AC,BD.,.,A,C,D,B,O,E,注意：,解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,6,.,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD,=,600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OE,CD,，,垂足为,F,EF,=,90m,.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,设这段弯路的半径为,R,m,则,OF,=(,R,-90)m.,根据勾股定理，得,解得,R,=545.,这段弯路的半径约为,545m.,拓展提升：,7.,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB,=,8,P,为,AB,上的一个动点，那么,OP,长的,取值范围,.,3cm,OP,5cm,B,A,O,P,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线,满足,:,过圆心,;,垂直于弦,; ,平分弦,（,不是直径,）,;,平分弦所对的优弧,;,平分弦所对的劣弧,.,满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（,“,知二推三,”,）,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：,连半径，作弦心距,构造,Rt,利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,课堂小结,
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