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开始,学案,5,基本不等式：,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,返回目录,a,=,b,a,=,b,1.,一般地，对于任意实数,a,b,，我们有,a,2,+,b,2,2,ab,，当且仅当,时，等号成立,.,2.,如果,a,0,b,0,，那么有 ,当且仅当,时，等号成立,.,3.,我们常把,叫做正数,a,b,的算术平均数，,把,叫做正数,a,b,的几何平均数,.,返回目录,学点一,基本不等式,设,a,b,R,+,，试比较,的大小.,【,分析,】,返回目录,【,解析,】,返回目录,返回目录,返回目录,【,评析,】,（1）题中,分别叫做,正数,a,b,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，由本题可得一般性结论：,调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数.,（2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理，要熟记.,返回目录,下列不等式：,x,+,2;,2;若0,x,1,y,则log,x,y,+log,y,x,-2;若0,x,10，求,的最大值；,（2）已知,x,2，求,的最小值；,（3）已知0,x,，求,的最大值.,返回目录,【解析】,返回目录,【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：,各项均为正数；其和或积为常数；等号必须成立.,（2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.,返回目录,(1)已知,x,0,y,0,x,+2,y,=1,求,的最小值;,(3)已知,x,0,y,0,且5,x,+7,y,=20,求,xy,的最大值;,(4)已知,x,，,y,R,+,且,=1,求,x,+,y,的最小值;,(5)已知,x,0).,(2),x,0,225,x,+,=10 800.,返回目录,y,=225,x,+,-36010 440.当且仅当225,x,=,时，等号成立.,即当,x,=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.,【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意，建立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的数学知识将其解答出来.,返回目录,A,地产汽油，,B,地需要汽油,.,运输工具沿直线,AB,从,A,地到,B,地运油，往返,AB,一趟所需的油耗太大,.,如果在线段,AB,之间的某地,C,（不与,A,，,B,重合）建一油库可选作中转站，即可由这种运输工具先将油从,A,地运到,C,地，然后再由同样的运输,工具将油从,C,地运到,B,地,.,设,=,x,，往返,A,，,C,一趟所需的油耗等于从,A,地运出总油量的,.,往返,C,，,B,一趟所需的油耗等于从,C,地运出总油量的,.,不计装卸中的损耗，定义：运油率,P,=,.,请判断是否选址,C,为,AB,中点时从,A,地经过,C,中转再运油到,B,地的运油率最大？,返回目录,解：该题考查函数的应用问题，解决问题的关键是,“,情景,”,和,“,数式,”,间的相互转化，再结合数学结果解释实质问题即可，要关注解题过程中,“,均值不等式,”,的巧妙应用,.,设从,A,地运出的油量为,a,则,C,地收到的油量为,B,地收到的油量为,.,故运油率,当且仅当,，即,x,=,时，取,“,=,”,.,又,当,C,地为,AB,中点时，运油率,P,最大,.,返回目录,返回目录,学点四 基本不等式的综合应用,要设计一张矩形广告，该广告含有,大小相等的左右两个矩形栏目（即,图3-5-2中阴影部分），这两栏的,面积之和为18 000 cm,2,，四周空白,的宽度为10 cm，两栏之间的中缝,空白的宽度为5 cm，怎样确定广告,的高与宽的尺寸（单位：cm）能使广告面积最小？,【,分析,】,根据题意合理建立关系，转化为数学问题是关键.,图,3-5-2,返回目录,【,解析,】,返回目录,返回目录,【,评析,】,使用基本不等式解决实际问题中的最值问题一定要确保等号成立.,返回目录,为了竖一块广告牌，要制造三角形支,架.三角形支架如图3-5-3所示，要求,ACB,=60,BC,长度大于1米,且,AC,比,AB,长0.5米.为了广告牌稳固，要,求,AC,的长度越短越好，求,AC,最短为,多少米？且当,AC,最短时，,BC,长度为,多少米？,图,3-5-3,解,:,返回目录,返回目录,学点五,基本不等式在证明中的应用,已知,a,0,b,0,c,0,且,a,+,b,+,c,=1,求证,:,9.,【,分析,】,将1=,a,+,b,+,c,代入不等式左边，再使用算术平均数与几何平均数定理.,【,解析,】,返回目录,【,评析,】,本题如果改为,a,0,b,0,c,0，求证（,a,+,b,+,c,）,9就比较明显.用,a,+,b,+,c,=1的条件将（,a,+,b,+,c,）,“,隐,”,去，造成了思考上的困难.因此应注意,“,1,”,的代换.换元的思想是数学上一种非常重要的思想，通过换元可将繁变简、将难变易、将未知变已知，使思路豁然明朗.,返回目录,已知,a,b,c,为实数，且,a,+,b,+,c,=1，求证：,a,2,+,b,2,+,c,2,.,证明：,a,2,+,b,2,2,ab,，,b,2,+,c,2,2,bc,，,a,2,+,c,2,2,ac,，,2(,a,2,+,b,2,+,c,2,)2(,ab,+,bc,+,ac,).,又,a,+,b,+,c,=1，,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,ac,+2,bc,=1，,a,2,+,b,2,+,c,2,+2(,a,2,+,b,2,+,c,2,)1，,a,2,+,b,2,+,c,2,.,(当且仅当,a,=,b,=,c,=,时取等号.),1.,如何理解均值不等式？,返回目录,返回目录,2.,对于公式,a,2,+,b,2,2,ab,以及均值不等式,，应注意什么？,返回目录,返回目录,返回目录,（,1,）已知,x,y,都是正数，则,如果积,xy,是定值,p,那么当,x,=,y,时,和,x,+,y,有最小值,;,如果和,x,+,y,是定值,S,，那么当,x,=,y,时，积,x,y,有最大值,S,2,.,即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值,.,（,2,）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：,各项均为正数,;,其和或积为常数,;,等号必须成立,.,（,3,）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解,.,3.,应用均值不等式求最值时，应注意什么？,返回目录,1.,在理解和应用基本不等式时，要特别注意公式成立的条件，避免因条件遗漏导致解题结果错误,.,2.,利用基本不等式求函数的最值，是本学案内容的一个重点，这里要指出的是，应用定理解决实际问题时，使基本不等式成立的条件不一定现成摆在那里，这就需要根据问题的需要凑配出基本不等式成立的条件，然后再运用基本不等式解题,.,一样的软件,不一样的感觉,一样的教室,不一样的心情,一样的知识,不一样的收获,
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