连续LTI系统微分方程式的建立

信号与系统,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,自动化教研室,信号与系统,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言,2.2 微分方程的建立与求解,2.3 起始点的跳变(从0-到0+),2.4 零输入响应和零状态响应,2.5 冲激响应和阶跃响应,2.6 卷积,2.7 卷积的性质,1,元 阶微分方程,一、系统数学模型的时域表示法,输入输出,描述：,状态变量,描述：,一,N,N,一,元 阶微分方程,2.1 引言,2,二、系统分析过程,列方程,解方程,经典法：,双零法,零输入,：,零状态,：,变换域法：,全解=齐次解+特解,可用经典法,卷积积分法,(,新方法,),FT, LT,3,一、微分方程的建立,根据,元件特性约束,和,网络拓扑约束。,2.2 微分方程的建立与求解,4,例2.2.1：,求并联电路的端电压 与激励 间关系。,解：,一、微分方程的建立,5,解：,一、微分方程的建立,例,如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为,f,，外加牵引力为,Fs(t),，求其外加牵引力,Fs(t),与刚体运动速度,v,(t)间的关系。,m,s,F,6,二、,n,阶LTI系统,微分方程的一般形式,一个 n 阶LTI系统，,e,(t)与,r,(t)的关系可以用下面一般形式的,n 阶线性常微分方程,描述。,C,i, E,i,均为常数。,7,（一）齐次解,r,h,(t),三、线性时不变系统经典法求解,写出齐次解形式,特征根,齐次解的形式,单根,k,重实根,由特征方程,求出特征根,8,三、线性时不变系统经典法求解,9,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,三、线性时不变系统经典法求解,10,三、线性时不变系统经典法求解,（二）特解,r,p,(t),比较系数定出特解。,由微分方程右端,e(t),形式,设具有系数的特解,r(t),代入原方程,激励函数,e,(,t,),响应函数,r,(,t,),的特解,等于特征单根,不等于特征根,11,已知： 求两种情况下的特解。,例2.2.4 给定微分方程式,三、线性时不变系统经典法求解,12,齐次解+特解，由初始条件定出,齐次解系数,例：,求如下微分方程的全解。,三、线性时不变系统经典法求解,（三）全解,13,解,:,齐次方程为,特征方程：,特征根：,该方程的齐次解为：,激励函数中,= -1,，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：,三、线性时不变系统经典法求解,14,代入原微分方程得,求得,所以特解为,全解为,代入初始条件,求得,所以有,三、线性时不变系统经典法求解,15,三、线性时不变系统经典法求解,16,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,17,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),要求系统的完全响应为,特解,18,换路前,(3),19,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,20,(4),要求的完全响应为,21,2.3 起始点的跳变,22,一、起始点的跳变,状态，,起始状态,状态，,初始条件,，也称导出的起始状态,O,0-,0,+,t,23,4.,如果微分方程右端包含 及其各阶导数项，则系统从 0_ 到 0+ 状态,有跳变,。,2.,一般情况下换路期间满足,换路定则,：,1.,对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况;,3.,但是当有,冲激电流,强迫作用于电容或有,冲激电压,强迫作用于电感，0_ 到 0,+,状态就会发生跳变。,一、起始点的跳变,说明：,24,(一)电容电压的跳变,由伏安关系,当有冲激电流作用于电容时0-到0+有跳变。,25,例2.3.1,当有阶跃电压作用于电容时，0-到0+有跳变。,26,(二)电感电流的跳变,如果为有限值，,当有冲激电压作用于电感时，0-到0+有跳变。,27,例,当有阶跃电流作用于电感时，0-到0+有跳变。,),(,t,i,L,+,-,L,I,s,(t),V,L,(t),28,原理：,t,=0,时刻,微分方程左右两端,(,t,),及各阶,导数应相等 !,例：,二、冲激函数匹配法确定初始条件,数学描述,分析过程,29,分析过程,30,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,方程右端含 项，它一定属于,31,例：,描述LTIS的微分方程为,输入 如图，已知,用冲激函数匹配法求,二、冲激函数匹配法确定初始条件,解：,将 代入微分方程，,t0 ，得,32,方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有,代入微分方程,二、冲激函数匹配法确定初始条件,33,求得,因而有,所以,二、冲激函数匹配法确定初始条件,34,习题2-5,二、冲激函数匹配法确定初始条件,35,2.4 零输入响应和零状态响应,36,一、系统响应的划分,自由响应强迫响应,(Natural + Forced),零输入响应零状态响应,(Zero-input + Zero-state,),暂态响应+稳态响应,(Transient + Steady-state),全响应,37,外加激励,e(t) =0,，只由起始状态,x,(0-) 产生的响应。,将e(t)代入方程求齐次解加特解，,由冲激函数,匹配法,求,r(0+),再求,全解r,zs,(t),的待定系数。,零输入响应r,zi,(t),零状态响应,r,zs,(t),零输入响应：,零状态响应：,是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由,r(0+)=r(0-),求出,齐次解r,zi,(t),的待定系数。,起始状态,r(0-) =0,，只由外加激励,e(t),0,产生的响应。,一、系统响应的划分,x,(0-),H,.,38,由系统本身特性决定。对应于,齐次解,。,形式,取决于e(t),。对应于,特解,。,t,时,，响应,趋于零,的部分。,t,时,，响应,留下的,部分。,自由响应：,暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,一、系统响应的划分,39,例：,求系统的零输入响应,解：,特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,二、零输入响应,40,三、零状态响应,例：,求系统的零状态响应,零状态响应的齐次解：,零状态响应的特解：,零状态响应：,由,冲激函数匹配,法：,则：,解：,r,zsp,(t)=B, 则2,B,=3,B,=3/2,41,四、全响应,自由响应,暂态响应,稳态响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,42,习题2-6（2）,四、全响应,43,解：,四、全响应,44,解得,四、全响应,45,2.5 冲激响应和阶跃响应,46,一冲激响应,1定义,系统在单位冲激信号 作用下产生的,零状态响应,，称为,单位冲激响应,，简称,冲激响应,，一般用,h,(,t,),表示。,47,响应及其各阶导数(最高阶为n次),2.冲激响应的数学模型,线性时不变系统可以用一个高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),令,e,(,t,)=,(,t,),则,r,(,t,)=,h,(,t,),一冲激响应,48,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于,(,t,),及其导数在,t0,+,时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于,零,，这样原系统的冲激响应形式与,齐次解,的形式相同。,与,n, m,相对大小有关,与特征根有关,3,. h(t) 解的形式,一冲激响应,h,(n),(0-)= 0,49,解：,求特征根,冲激响应,例2.5.1,求如下系统的冲激响应。,将,e,(,t,),(,t,)，,r,(,t,),h,(,t,),带,u,(,t,),求待定系数：,冲激函数匹配法,奇异函数项相平衡法,一冲激响应,50,代入,h,(,t,),得,（1）,用,冲激函数匹配法,求待定系数,51,（2）,用,奇异函数项相平衡法,求待定系数,根据系数平衡,，得,52,二阶跃响应,系统方程右端含阶跃函数,u(t),，所以：,齐次解,+,特解,。,系统在单位阶跃信号,u(t),作用下的,零状态响应,，称为,单位阶跃响应,，简称,阶跃响应。,1定义,53,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足,微、积分,特性,二阶跃响应,习题 2-9 (1) (3),H(.),54,欧拉 Euler,泊松 Poisson,2.6 卷积,Convolution,2.6 卷积,55,一. 卷积的定义,2.6 卷积,Convolution,56,二. 卷积的物理意义,h(t),e(t),r(t),任意信号和冲击响应的,卷积,是系统的,零状态响应。,57,三. 卷积的计算图示法,58,步骤：,59,0.5,0.5,步骤：,60,步骤：,61,四. 卷积的计算阶跃函数表示法,1列写KVL方程,2冲激响应为,例,62,4.定积分限（,关键,）,63,波形,习题2-14（1）（2）,64,（1）交换律,（2）分配律,（3）结合律,Convolution,and the property,2.7,卷积的性质,一卷积代数,65,2.7 卷积的性质,(1) 交换律,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)=,f,2,(,t,)*,f,1,(,t,),证：,-dx,x,t-x,66,图 2.6-1 交换律的实际意义,h(t),e(t),r(t),h(t),e(t),r(t),2.7,卷积的性质,67,(2) 分配律,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)+,f,3,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)+,f,1,(,t,)*,f,3,(,t,),证：,2.7,卷积的性质,68,图 2.6-2 分配律并联系统,h,1,(t),+,h,2,(t),e(t),e(t),r(t),r(t),h,1,(t),h,2,(t),2.7,卷积的性质,h (t),69,(3) 结合律,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)*,f,3,(,t,) =,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)*,f,3,(,t,),证：,t-,(,+x,),x,dx,2.7,卷积的性质,70,图 2.6-3 结合律,串联系统,h,2,(t),h,1,(t),e(t),r(t),e(t),r(t),h,2,(t),h,1,(t)*,2.7,卷积的性质,h (t),71,二微分积分性质,1、微分性质：,推广：,两端对,t,求导,交换律,证明：,72,r(,t,)的积分,2、积分性质：,二微分积分性质,推广：,73,二微分积分性质,3、微分性质积分性质联合使用,对于求卷积很方便，特别是下面这个公式：,微分 n 次，,积分 m 次,m=n,微分次数积分次数,74,三.与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,75,例,注意,76,注意,用微积分性质,t,),(,),(,n,sg,),1,(,t,t,-,*,d,O,2,充要条件是,77,例2.7.2 图(a) 由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响应 ，并画出它的波形。,(a),(b),解：,如图（c）所示,(c),78,经典法,：,双零法,卷积积分法,：,第二章 复习,求,解,系,统,响,应,定初始条件,满足换路定则,起始点有跳变：,求跳变量,零输入响应：用经典法求解,零状态响应：卷积积分法求解,求零状态响应,79,例题,例题2-1：,连续时间系统求解（经典法，双零法）,例题2-2：,求冲激响应,（,n,m,）,例题2-3：,求冲激响应,（,nm,）,例题2-4：,求系统的零状态响应,例题2-5：,卷积,80,例2-1,81,分别利用,求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。,这三个量之间的关系是,分析,在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：,：起始状态，它决定零输入响应；,：跳变量，它决定零状态响应；,：初始条件，它决定完全响应；,82,解：,方法二,：,用方法一求零输入响应后，利用跳变量,来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。,方法一,：,利用,响应，,零状态响应等于完全响应减去零输入响应。,先来求完全响应，再求零输入,本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。,83,方法一,该完全响应是方程,（1）,方程（1）的特征方程为,特征根为,完全响应,84,方程（1）,的齐次解为,因为方程（1）在,t,0时，可写为,显然，方程（1）的特解可设为常数,D,，把,D,代入方程,（2）求得,所以方程（1）的解为,下面由冲激函数匹配法定初始条件。,（2）,85,由冲激函数匹配法定初始条件,据,方程（1）,可设,代入方程（1），得,匹配方程两端的,，及其各阶导数项，得,86,所以,，所以系统的完全响应为,87,2.求零输入响应,（3）,（3）式的特征根为,方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为,88,所以，系统的零输入响应为,下面求零状态响应。,89,3.求零状态响应,零状态响应=完全响应零输入响应，即,因为特解为3，所以,强迫响应是3，自由响应是,90,方法二,（5）,以上分析可用下面的数学过程描述,91,代入,（5）式,根据在,t,=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得,于是,t,0时，方程为,92,齐次解为,，特解为3，于是有,所以，系统的零状态响应为,方法一,求出系统的零输入响应为,完全响应=零状态响应+零输入响应，即,93,例2-2,冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。,94,奇异函数项相平衡法,首先求方程的特征根，得,因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，,冲激响应为,对上式求导，得,(1),95,则得,解得,代入（1）得,96,例2-3 2-9,(3),方法一：,奇异函数项相平衡法,方法二：,冲激函数匹配法,(1),97,方法一：,奇异函数项相平衡法,由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成,将（2）式代入,（1）式,，得,解得冲激响应,阶跃响应,（2）,98,方法二,：冲激函数匹配法,微分方程的齐次解为,下面用冲激函数匹配法求初始条件，设,上述两等式代入方程（1），经整理得,(3),(1),99,根据在,t,=0时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得,于是,（3）式,，考虑,n,=1,m,=2,n m,故冲激响应为,说明：,一般说来，,第二种方法,比,第一种方法,简单，,特别是对高阶方程。,X,100,对激励和响应分别微分一次，得,例2-4,已知,线性时不变系统,的一对激励和响应波形如下图所示，,求该系统对激励,的零状态响应。,101,102,此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，将得出错误的结果。,例2-5,103,显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。,从原理上看，如果,则应有,很容易证明，上式成立的充要条件是,此题若将,f,1,(,t,)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：,104,105,106,