实对称矩阵的相似对角化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.3 实对称矩阵的相似对角化,证明,一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质,定理1实对称矩阵 的特征值为实数,.,),(,A,A,T,=,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,定理3 实对称矩阵A的,k,重特征值必定对应,k,个线性无关的特征向量。,二、正交矩阵及施密特正交化方法,定义1,上式中,A,用其列向量 表示，即,1、正交矩阵的概念,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都,是单位向量且两两正交,结论,如果将,A,用行向量表示，则 可写为,则可得出如下结论,为正交矩阵的充要条件是 的行向量都,是单位向量且两两正交,的列向量都是单位向量且两两正交,A,是正交矩阵,结论：,的行向量都是单位向量且两两正交,A,是正交矩阵,结论：,例1 验证矩阵,是正交矩阵,解,由定义 可知,Q,为正交矩阵。,或者,由于,Q,的行（列）向量都是单位向量，且两两正交，故,Q,为正交矩阵。,2、施密特(Schmidt)正交化方法,定理5 设 是一组线性无关的向量，则可以找到一组正交的向量 使得向量组 与 等价。,证明,首先，令,即 从而求出,再令 及,再令 及,可求出,一般地，由 求出 的公式为,由以上公式的构成可知向量组 两两正交，且 都可由 线性表示，反之 也都可由 线性表示，所以,两向量组等价。,以上求等价正交向量组的方法称为施密特( Schmide )正交化方法。,将所求正交向量组单位化：,从而可以进一步得到与 等价的正交规范向量组,解,例,对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,使 为对角阵.,(1),第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,