2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-1 数列的概念与简单表示

专题6.1 数列的概念与简单表示【考情分析】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类函数【重点知识梳理】知识点1. 数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项(2)数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按周期分类周期数列对于nN*，存在正整数k，使ankan按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法知识点2数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式anf(n)来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)数列的递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(3)已知数列an的前n项和为Sn，则an【必会结论】 1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，若an最大，则若an最小，则3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列【典型题分析】高频考点一 由an与Sn的关系求通项公式例1. （2020新课标）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.【举一反三】 (2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_【解析】因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.【答案】63【变式探究】（2020湖北省襄樊一中模拟）若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an 【解析】由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，所以a11，所以an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.【答案】(2)n1高频考点二 由递推关系式求数列的通项公式例2. （2020福建省莆田一中模拟）在数列an中，若a12，an1an2n1，则an 【解析】a12，an1an2n1an1an2n1an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，则an2n22n321a122n11.【答案】2n11【变式探究】（2020广东省汕头一中模拟）若a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式an 【解析】由nan1(n1)an(n2)，得(n2)所以ana11，(*)又a1也满足(*)式，所以an.【答案】高频考点三 数列的单调性例3. （2020江西省鹰潭一中模拟）已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)【解析】因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)故选D.【答案】D【变式探究】（2020陕西省安康一中模拟）数列an的通项公式是an(n1)，则此数列的最大项是第_项【答案】9或10【解析】an1an(n2)(n1)，当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，该数列中有最大项，且最大项为第9，10项高频考点四 数列的周期性及应用例4. （2020新课标）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）A. 11010B. 11011C. 10001D. 11001【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，对于选项A，不满足；对于选项B，不满足；对于选项D，不满足；【变式探究】（2020四川省泸州一中模拟）等差数列an的公差d0，且aa，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A5 B6C5或6 D6或7【解析】由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因为d0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因为d0，所以an是递减数列，所以a1a2a5a60a7a8，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】C