2.2.1综合法与分析法49280

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,直接证明与间接证明,2.2.1综合法与分析法,2.2,从已知条件和某些数学定义,定理,公理等出发,经过一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.,综合法也叫“,顺推证法,”或“,由因导果法,”,一.综合法,P Q,1,Q,n,Q,Q,2,Q,3,Q,1,Q,2,用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.,Q,表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:,符号语言,图形语言,文字语言,学会语言转换,找出隐含条件,练习：求证：,证明：因为,所以,左式=log,19,5+2log,19,3+3log,19,2,=log,19,(53,2,2,3,)=log,19,360.,因为log,19,360log,19,361=2，,所以,证,为,数,为,数,证,一.综合法,证,为,数,为,数,证,分析法也叫,“,逆推证法,”或“,执果索因法,”,从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的,充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做,分析法,.,二.分析法.,此式显然成立,因此原不等式立,.,用Q表示所要证明的结论,则分析法,可用框图表示为:,得到一个明显,成立的条件,Q P,1,P,1,P,2,P,2,P,3,例2求证：,证明：因为 都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125，因为2125成立，,所以不等式 成立。,分析法证明的逻辑关系是：,B,(结论),B,1,B,2,B,n,A,(已知).,在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。,用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:,P P,1,P,1,P,2,P,n-1,P,n,Q,m-1,Q,m,Q Q,1,Q,1,Q,2,证,证明:,要证,只需证,只需证,只需证,只需证,因为 成立.,所以 成立.,例4求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大,证明：设圆和正方形的周长为,L,，,依题意，圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明,为了证明上式成立，只需证明,两边同乘以正数,得,因为上式是成立的，所以,这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。,A,B,C,S,E,F,小结：,分析法和综合法是,思维方向相反,的两种思考方法。在数学解题中，,分析法,是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。,综合法,则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为,执果索因,，综合法表现为,由因导果,，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。,例2如图，设四面体,PABC,中,ABC,=90，,PA,=,PB,=,PC,，,D,是,AC,的中点，求证：,PD,垂直于,ABC,所在的平面。,证明：连接,PD,，,BD,，因为,BD,是,R,t,ABC,斜边上的中线，,所以,DA,=,DB,=,DC,，又因为,PA,=,PB,=,PC,，,而,PD,是,PDA,、,PBD,、,PCD,的公共边,所以,PDA,PBD,PCD,，,于是,PDA,=,PDB,=,PDC,，,而,PDA,=,PDC,=90，,可见,PD,AC,，,PD,BD,，,由此可知，,PD,垂直于,ABC,所在的平面.,这个证明的步骤是：,（1）由已知,BD,是,R,t,ABC,斜边上的中线,推出,DA,=,DB,=,DC,，记为,P,0,(已知),P,1,;,（2）由,DA,=,DB,=,DC,，和已知条件，推出三个三角形全等，记为,P,1,P,2,；,（3）由三个三角形全等，推出,PDA,=,PDB,=,PDC,=90,记为,P,2,P,3,;,（4）由,PDA,=,PDB,=,PDC,=90,推出,PD,垂直于,ABC,所在的平面，记为,P,3,P,4,(结论),；,这个证明步骤用符号表示就是,P,0,(已知),P,1,P,2,P,3,P,4,(结论).,