平面向量数量积及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量数量积及其应用,知识回顾,知识回顾,1,定义：平面内两个,非零,向量的数量积（内积）的定义,=,向量夹角的概念：平移两个非零向量使它们,起点重合,，所成图形中,0,180,的角称为两个向量的夹角,规定 与任何向量的数量积为,0,2向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积,3两个向量的数量积的性质：,设 ，为两个,非零向量,，是单位向量，是 与其它向量的夹角,（,1,）,；,（,2,）；,（3）特别的 或 ；,（4）=；,（,1,）设 则,=,（,2,）,=,（）,=,（,3,）,co,s,=,（,4,）非零向量,=0,（注意与向量共线的坐标表示区别,）,4.,平面向量数量积的坐标表示：,（,1,）,（,2,）,=,（）,=,（,3,）,co,s,=,（,4,）,非零向量,=0,（注意与向量共线的坐标表示区别,）,5.,平面向量数量积的应用,（,1,）把几何学问题转化为向量问题：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向量等,（,2,）把物理学问题转化为向量问题,：数学中的向量就是物理中的矢量，所以利用向量可以解决物理学问题,例一,.(,数量积一第,9,题,),解：,=,=1-,设向量 ，是单位向量，且,=0,，,求 的最小值,例一,.,数量积一第,9,题,思考,：设向量 是两个互相垂直的单位向量，若向量 满足,=0,，求 的最大值,.,答案：,小结：,将题给条件稍作变化，就能得到一个与原题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题，以更好的理解知识点,.,例二,.,（数量积一第,15,题第,2,问）,已知 且向量 与 的夹角为 ，试,求 的取值集合，使（）与（）,的夹角为钝角,例二,.,数量积一第,15,题第,2,问,分析：两向量 的夹角公式为,则当两向量的夹角为钝角时有,-1 0,解右边不等式可得,0,但左边不等式解答比较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小于,0,的情况下去掉夹角为,180,度的情况，即去掉两向量平行的情况，所以本题的解答如下：,由题意：（）（）,0,且（）与（）不平行,即 且 ,且 ,且 ,思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？,小结：,解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算，使问题得以更好的解决,.,例三,.,数量积二第,10,题,已知向量,=,，向量,=,，求 的最大值,.,解法一,（代数方法）,例三,.,数量积二第,10,题,解法二（几何方法）,x,y,o,B,如图，用 表示 ，,以,O,为圆心，,2,为半径作圆，则,2,可看成以,O,为起点，终点在圆,O,上的向量，由向量减法的几何意义可知答案为,4,小结：,向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合可使问题的解决更加方便,例四,.,数量积二第,15,题,已知：，存在实数 和 ，使,得 ，且 ，试求 的,最小值。,分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示，转变为关于其中一个字母的函数来处理,.,解答如下,:,由条件得：，由 ，得,=0,，即,=0,，,则有,则,=,则当,=-2,时，有最小值,小结：,有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都稍作化简，联系“已知的是什么,?”,“,所求的是什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了,.,本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题往往从（,1,）基本不等式（,2,）等量代换这两个方面去考虑,.,例五,.,向量应用第,10,题,在 中，为中线 上的一个动点，若,=2,，求 的最小值,A,B,C,M,O,分析：如图，因为 为,的中点，所以,则本题可转化成两个反向,向量数量积的最小值问题，,解答如下：,=2 =-2,由基本不等式，得,=1,所以，所求最小值为,-2,小结：,因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利于计算,.,例六,.,向量应用第,15,题,给定两个长度为,1,的平面向量 和 ，它们的夹角为,.,如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上变动,.,若 其中,求 的最大值,.,O,A,B,C,分析：因为三个向量的模均为,1,，且已知 与 的夹角，所以，本题可以考虑利用向量数量积将向量转化为实数，同时可将 用三角函数表示出来，解答如下：,设 ，则有,即 ，则,小结：,向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为实数计算，从而有利于问题的解决,.,小结,小结：,平面向量数量积是高考的重点考察内容，直接考察的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以填空题的形式出现，在解题时除了要熟练掌握基本知识外，也要注重利用数形结合解决问题。,祝大家暑假快乐！,