高中数学知识梳理与解题指要

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中数学知识梳理,与,解题指要,二五年四月九日,尤善培,一、数学高考介绍,二、数学知识梳理,三、数学试题简析,四、数学解题指要,(,99,全国,),向高为,H,的水瓶中注水，,注满为止，如果注水量,V,与水深,h,的,函数关系的图象如右图所示，那么,水瓶的形状是（,）,一、高考数学命题的特点与要求,高考数学命题的特点,B,位置,数值,h,H,V,V,0,O,f,(,),= =,f,(,x,)+,f,( )=1.,（2002,全国）已知函数,f,(,x,)=,则,f,(,1,)+,f,(,2,)+,f,( )+,f,(,3,)+,f,( )+,f,(,4,)+,f,( )= .,结构特征,高考数学是考查数学基础的考试,基础知识,基本技能,基本数学思想方法,、数形结合（转换策略）,、函数与方程（分析策略）,、分类讨论（分解策略）,、等价转换（分析策略）,在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。,以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习 潜能考查的要求。,以能力立意命题拓展了命题思路。,以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自 然、新颖脱俗的试题。,以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。,以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。,高考数学注重能力考查,（,2001,全国）,如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点,A,向结点,B,传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递则单位时间内传递的最大信息量为,（ ）,A,B,12,12,6,6,6,8,3,4,5,7,A. 26 B. 24 C. 20 D. 19,3+4+6+6=19,D,高考数学对难度和速度均有要求,木 桶 原 理,知识要求,了解,理解和掌握,灵活和综合运用,能力要求,思维能力,运算能力,空间想像能力,实践能力,创新意识,个性品质要求,高考数学的要求,二、高考数学知识梳理与复习,高考数学知识梳理,平面向量,理解向量的概念，掌握向量的几何表，了解共线向量的概念。,掌握向量的加法与减法。,掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。,了解平面向量的基本定理，理解平面向量 的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。,掌握平面向量的数量积及其几何意义，了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。,掌握平面两点间的距离公式，以及线段的 定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运 用、掌握平移公式。,理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。,理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。,集合、简易逻辑,函数,了解映射的概念，理解函数的概念。,了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判,断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。,了解反函数的概念及互为反函数的函数图 像间的关系，会求一些简单函数的反函数。,理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂 的运算性质。掌握指数函数的概念、图象 和性质。,理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图像和性质。,能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题。,理解不等式的性质及其证明。,掌握两个（不扩展到三个）正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定 理，并会简单的应用。,掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式。,掌握简单不等式的解法。,理解不等式,a- ba+ba+b,不等式,理解任意角的概念、弧度的意义，能正 确地进行弧度与角度的换算。,掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义。了解余切、正割、余割的定义 ，掌 握同角三角函数的基本关系式：,sin,2,+cos,2,=1,， ，,tancot=1,。,掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期 函数与最小正周期的意义。,掌握两角和与两角差的正弦,、,余弦,、,正切,公式,。,掌握二倍角的正弦,、,余弦,、,正切公式,。,三角函数,能正确运用三角公式，进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。,了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像和性质，会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数,y=,Asin,（x+）,的简图， 理解,A、,的物理意义。,会由已知三角函数值求角，并会用符号,arcsinx,、,arccosx,、,arctanx,表示。,掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用 它们解斜三角形。,理解数列的概念，了解数列通项公式的 意义，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项。,理解等差数列的概念，掌握等差数列的 通项公式与前,n,项和公式，并能解决简单 的实际问题。,理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前,n,项和公式，并能解决简单 的实际问题。,数列,理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的 点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程。,掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式。能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关 系。,了解二元一次不等式表示平面区域。,直线和圆的方程,了解线性规划的意义，并会简单的应用。,了解解析几何的基本思想，了解坐标法。,掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的 参数方程。,掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简 单几何性质。理解椭圆的参数方程。,掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线,的简单几何性质。,掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线 的简单几何性质。,了解圆锥曲线的初步应用。,圆锥曲线方程,掌握平面的基本性质，会作斜二测的画 法画水平放置的平面图形的直观图；能 够画出空间两条直线、直线和平面的各 种益关系的图形，能够根据图形想像它 们的位置关系。,掌握直线和平面平行的判定定理和性质 定理；掌握直线和平面垂直的判定定 理；掌握三垂线定理及其逆定理。,理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法、减法和数乘。,直线、平面、简单几何体,了解空间向量的基本定理；理解空间向量 坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。,掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的,公式；掌握空间两点间距离公式。,理解直线的方向向量、平面的法向量、向 量在平面内的射影等概念。,掌握直线和直线、直线和平面、平面和平 面所成的角、距离的概念。,了解多面体、凸多面体的概念，了解正多 面体的概念。,了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画 直棱柱的直观图。,了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会 画正棱锥的直观图。,11,了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的 表面积、体积公式,掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些简单的应用问 题。,理解排列的意义，掌握排列数计算公 式，并能用它解决一些简单的应用问题。,理解组合的意义，掌握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。,掌握二项式定理和二项展开式的性质，并 能用它们计算和证明一些简单的问题。,排列、组合、二项式定理,了解随机事件的发生存在着规律性的随 机事件概率的意义。,了解等可能性事件的概率的意义，会用 排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率。,了解互斥事件与相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的 概率。,会计算事件在,n,次独立重复试验中恰好发 生,k,次概率。,概率,了解随机抽样，了解分层抽样的意义， 会用它们对简单实际问题进行抽样。,会用样本频率分布估计总体分布。,会用样本估计总体期望值和方差。,统计,了解导数概念的实际背景。,理解导数的几何意义。,掌握函数,y=c,（,C,为常数）,、,y=,x,n,（nN,+,）,的导数公式，会求多项式函数的导数。,理解极大值,、,极小值,、,最大值,、,最小值的 概念,，,并会用导数求多项式函数的单调区 间,、,极大值,、,极小值及闭区间上的最大值 和最小值。,会利用导数求某些简单实际问题的最大 值和最小值。,导数,设函数,f,(,x,),的导数为,f,(,x,),且,f,(,x,)=,x,3,+2,x,f,(1),则,f,(0)= ( ) A. 0 B. -3 C. -6 D. 6,关键,理解,f,(1),是常量,f,(,x,),=3,x,2,+2,f,(1),f,(0),=2,f,(1).,又,f,(1),=3+2,f,(1),f,(1)=-3.,代入,式,得,f,(0)=-6.,高考复习“四字诀”,实：小处不可随便,活：海阔凭鱼跃,解题后的再思考,例 求证,：,sin（n+）,cos,（n-）= sin2,（nz）,它的通常解法是：,证明：,（,1,）当,n,为偶数时，设,n=2k（kz）,sin（n+）,cos,（n-）,= sin,cos, = sin2,1,2,1,2,（2）当,n,为奇数时，设,n=2k+1（nz）,sin（n+）,cos,（n-=sin（2k+）,cos,（2k+-）,=,（-sin）（-,cos,）= sin2,综上得：,sin（n+）,cos,（n-）= sin2,无论是,n,为偶数，还是,n,为奇数，都有：,sin（n+）,cos,（n-）= sin2,，,这就引起了我们的再思考。,思考：上面的讨论是雷同的，是否可以回避,?,1,2,1,2,1,2,深层次挖掘教材,如：,a,n,为等差数列，,a,1,、a,2,、a,9,成等比数列,则,题目的来源：选择特殊数列为背景，最常 见、最先想到的是自然数列，易知它满足条 件，所以选,a,n,=n。,再如函数这一部分，复习时可对,y=,和,y=,log,a,x,的图象和性质进行研究。,广：天高任鸟飞,全面复习，知识和能力并重,学会学习,新：万变不离其宗,“旧题”新解，追求优美,例如：过抛物线,y,2,=x,上一点（,4，2,），作倾,角互补的两条直线,AB、AC,交抛物线,B、C，,求证：直线,BC,的斜率为定值。,思考：按照与作图步骤相吻合的思路来求解。,解：设,K,AB,=K，,则，,K,AC,=-K，AB,的方程为,y=k（x-4）+2,因此,，,A（4，2），B（X,B,，Y,B,）,是方程组,的解。,y,2,=x,y=k,（x-4）+2,解之得,X,B,=,（4,k,2,-4k+1），Y,B,=,同样的方法可得,X,C,=,，,Y,C,=,可求得,K,BC,=,再思考：在解题过程中，求,B,点坐标的计算量比较 大，应该想办法改进。,我们还再回顾一下原来的解题程序。,设,K,AB,写直线,AB、AC,的方程解出,B、C,表示,K,BC,改进：先设,B、C,坐标。,改进后的程序为：,设,B、C,坐标求出,K,AB,、K,AC,表示,K,BC,设,B（ ，t,2,），C（ ，t,2,）（t,1,t,2,）,这时,K,AB,= ， K,AC,=,K,AB,=-K,AC,，,即,x,0,A,B,C,y,化简得：,t,1,+2= -（t,2,+2）,下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是 应该明确一下本题的目标。要证明,K,BC,是 一个定值，于是不妨先求出,K,BC,K,BC,=,这就好了，原来是要证明,t,1,+t,2,是定值。,这样，就自然想到将,t,1,+2=-（t,2,+2）,变形为,t,1,+t,2,= - 4,本题圆满获得解决。,再改进,：,设,B、C,坐标表示,K,BC,求出,K,AB,、K,AC,看透本质，新题通法。,“知识与技能”突出思想和智慧,程序性,主干性,这里的技能特性也有两点：,独立操作性：由重复再现过渡到独立 完成；,迁移性：通过联系的思想与转换的手 段达到灵活运用、举一反三和触类旁 通的目的。,三、去年高考数学试题的亮点,例,1,（高考第一题第,6,小题）某校为了了解学生的课外 阅读情况，随机调查了,50,名学生，得到他们在某 一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形 表示，根据条形图可得这,50,名学生这一天平均每 人的课外阅读时间为,A、0.6,小时,B、0.9,小时,C、1.0,小时,D、1.5,小时,解析 一天平均每人课外阅读时间为,=,0.9,（小时）,故选,B。,时间（小时）,0 0.5 1.0 1.5 2.0 x,y,20,15,10,5,人数（人）,例2,（,高考第一题第,8,小题）设,k1，f（x）=k（x-1）,（xR）。,在平面直角坐标系,xOy,中，函数,y=f(x),的图象与,x,轴变于,A,点，它的反函数,y=f,-1,(x),的图象与,y,轴交于,B,点，并且这两个函,数的图象交于,P,点，已知四边形,OAPB,的面积是,3，则,k,等于（ ）,A、,3,B、,C、,D、,0,1,A,x,y,1,B,p,解析,:,依题意,A（1，0），B（0，1）， y=f（x）,与,y=f,-1,（x）,的交点必在 直线,y=x,上。,由,y=k（x-1），,y=x,解得：,x=,因为,S,四边形,OAPB,=2S,OPA,=2,OA,x,p,= =3，,所以,k= 。,故此选,B,“过程与方法”重视价值和策略,例,3 (,高考第二题第,16,小题,),平面向量,a,、,b,中，已知,a,=(4，-3)，,b,=1,且,a,b,=5,则向量,b,=,。,方法,1 设,a,与,b,夹角为,。,则由,a,b,=5,a,b,cos=5,51cos=5,cos,=1,=0,所以,b,与,a,共线且方向相同，,b,=（ ，-,),。,解析 解决本题至少可从这样两个角度思考,方法,2 设,b,=（x，y）,x,2,+y,2,=1 x=,4x-3y=5 y= -,或利用直线,4,x-3y=5,与圆,x,2,+y,2,=1,相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（ ，,-,）,b,=（ ，- ）,则,“情感、态度与价值观”体现感悟和动力,例4（高考第六大题）制订投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考 虑可能出现的亏损。,某投资人打算投资甲、乙两个项目，根 据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别 为,100%为50%,，可能的最大亏损率分别为 30,%和10%,，投资人计划投资金额超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过,1.,8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的盈利最大？,解析 设投资人分别用,x,万元，,y,万元投资甲、乙两个项目，由题意知,x+y10，,0.3X+0.1y1.8,x0,y0.,目标函数,z=x+0.5y.,上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。,作直线,L：x+0.5y=0，,并作平行于直线,L,的一组直线。,X+0.5y=z，zR，,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的,M,点，且与直线,x+0.5y=0,的距离最大，,这里,M,点是直线,x+y=10,和0.3,x+0.1y=1.8,的交点。,Y,18,10,0 6 10 x,0.3x+0.1y=1.8,x+0.5y=0,M(4,6),x+y=10,L,解方程组,x+y=10,0.3x+0.1y=1.8,得,x=4，y=6,此时,z=14+0.56=7（,万元）,因为,70,，,所以,x=4，y=6,时,z,取最大值。,答：投资人用,4,万元投资甲项目、,6,万元投 资乙项目，才能在确保亏损不超过,1.,8 万元的前提下，使可能的盈利最大。,多思善想,思联系，网络知识，夯实基础,例,1,、,是两个不同的平面，,m、n,是 平面,及,之外的两条不同直线，给 出四个论断：,mn， n，m，,以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题,。,四、高考数学复习解题,指,要,思路,1,：题目结构中,a、b、c,具有轮换对称性， 可将右式分为三个部分，用综合法易证： （,a+b）， （b+c）， （a+c），,三式相加即得。,例,2,已知,a0，b0，c0，,求证：,（,a+b+c）,思多解，多方出击，培养思维的发散性,是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。,思路,2,：,（,a+b）=,asin,+,bcos,=,sin（,+）,（a+c）,三式相加即得。,（b+c）,B,a,b,A,c,同理：,（,a+c）,三式相加即得。,思路,3,观察左边三个根式，联系立几知识，它们 是以,a、b、c,为三度的长方体的三个面的对 角线长度，可构造长方体来证明，如图,:,AB,= ，,a+b=,ABsin+AB,cos,= （sin+,cos,）,= sin（+ ）,所以, （,a+b）,思规律，找变化，触类旁通,例3,试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必 和椭圆相应的准线相离。,例,4,已知异面直线,a,和,b,所成的角为,50，,P,为空间任一定点，则,P,点且与,a、b,所成的角都是,30,的直线有且仅有 （ ）,A、1,条,B、2,条,C、3,条,D、4,条,在本题中,50和30,的设置对答案起着重要作用。因此，可通过改变,50和30,的大小来深化对这类题目的理解。,（1）若将50改为25，其余条件不变，则答 案是,。,（2）若将50改为65，其余条件不变，则答 案,。,（3）若将30改为70，其余条件不变，则答 案是,。,（4）若将50改为,x，30,改为,y，,且答案为,A，,则,x、y,的关系式为,；若答案为,B，,则,x、y,的关系为,；若答案为,C，,则,x、 y,的关系为,；若答案为,D，,则,x、y,的 关系为,。,例5,求和,S=（x+ ）+（x,2,+ ）+（,x,n,+ ）,错解：,S=（x+x,2,+x,3,+,x,n,）+( + + + ),= +,这是应用等比数列求和公式时很容易出现的 问题,按照等比数列求和公式,当公式,q,是一个不确 定的数时,求其前,n,项和,则要考虑,q=1,q1,两种情 况,因此应分四种情形求解,:,（1）,x=1，y1；,（2）x1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x1，,y1,思错处，找错因，提高辨别解题错误的能力,例6,过抛物线,y,2,=2px（p0）,的焦点的一条直线和 这条抛物线相交于,P,1,、P,2,两点，两个交点的 纵坐标分别为,y,1,、y,2,，,求证：,y,1,y,2,=-p,2,已知条件不变时,a、,求证：,x,1,x,2,= ；,b、,求焦点弦,P,1,P,2,的长；,c、,求,OP,1,P,2,的面积,；,d、,求焦点弦,P,1,P,2,中点的轨迹方程；,e、,求证 ：,f、,求证：以焦点弦为直径的圆必与准线 相切。,思演变，层层深入，提高应变能力,改成逆命题：一条直线与抛物线,y,2,=2px（p0）,相交于,P,1,（x,1,，y,1,）、,P,2,（x,2,，y,2,）,两点，如果 满足,y,1,y,2,=-p,2,（,或,x,1,x,2,= ），,那么这条直线过 抛物线的焦点。,已知条件不变，再附加条件“过,P,1,、P,2,分别作,x,轴的垂线，垂足为,M,1,、M,2,”，,求证： ,OM,1,、OF、OM,2,成等比数列。,已知条件不变，再附加条件“过焦点,F，,再作 一条与,P,1,P,2,垂直的弦,P,3,P,4,”，,求以此两弦为对,角线的内接四边形的面积的最小值。,弄清问题（解题应从弄清问题开始）,化简策略：从最复杂的地方开刀,语言变换策略：用不同的语言重新叙述,分析策略：假设问题已经解决,变换问题,联想策略：联想一个熟悉的问题,讨论策略：先解决问题的部分,解题策略,方法,2,：语言变换 数形结合。,f（x）=x+2，g（x）=x。,方法,1,：讨论 分,x-2，-2x0，x0,三种情况。,方法,3,：联想策略 平方,（,x+2,）,2,x,2, x-1。,解不等式,x+2x,思路：化简 去掉绝对值符号。,谢谢 ！,