第二讲最优化模型

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,School of mathematics&physics,*,Click to edit Master title style,华北电力大学数理学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,School of mathematics&physics,*,Click to edit Master title style,华北电力大学数理学院,爱因斯坦的一句名言,：,想象力比知识更重要！因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，是知识的源泉。,要 点,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,最优优化模型,最优化模型概述,最大值或最小值,数学规划：线性规划（整数规划、,0-1,规划、目,标规划等），非线性规划,动态规划,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,一、简单优化问题,案例,1,：,产销平衡下,的某种产品的最优价格,即使工厂利润最大的价格。,（,1,）售量为,x,，并与产量相等；,（,2,）每件产品售价为,p,。在竞争市场的环境中售量,x,依赖于,价格,p,即,（,3,）每件产品成本为,q,，产量,x,与成本,q,无关。,，,f,称为需求函数；,1,、模型假设,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,一、简单优化问题,2,、模型建立,总收入：,I(p)=px,总支出：,C(p)=qx,利 润：,U=I(p)-C(p)=(p-q)x=(p-q),f,(p),数学模型为：,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,3,、模型求解及其结果分析,需求函数是售价的减函数，通常是根据实际销售情况定出。现在，假设它是线性函数，即,一、简单优化问题,其中，,a-,代表这种产品免费供应（,p=0,）时的社会需求量，也称为绝对需求量；,表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度。它反映市场需求对价格的敏感程度。,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,一、简单优化问题,利润,U(p),达到最大值的最优价格 满足：,得到：,最优价格,一部分是成本的一半，另一部分与“绝对需求”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,边界收入：,边界支出：,当边界支出等于边界收入时利润最大,-,经济学著名定理！,最大利润：,一、简单优化问题,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,二、数学规划模型,案例,2,：,奶制品的生产计划,A1 A2,资源,原料奶,(,桶,),劳动时间（,h,）,设备甲能力（,kg,）,设备乙能力,(kg),1 1,12 8,3 0,0 4,50,480,100,inf,一奶制品加工厂用牛奶生产,A1,A2,两种奶制品，参数见表,：,根据市场需求，生产的,A1,A2,产品全部能售出，且每千克,A1,产品获利,24,元，每千克,A2,产品获利,16,元。试为该厂订一个生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：,一、问题的提出,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,（,1,）若用,35,元可以买到,1,桶牛奶，是否应作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？,（,2,）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？,（,3,）由于市场需求变化，每千克,A1,产品的获利增加到,30,元，是否应改变生产计划？,二、模型分析,生产计划就是每天生产多少,A1,和多少,A2,，获利润最大。,或者是,每天用多少桶牛奶生产,A1,和用多少桶牛奶生产,A2,，获利润最大。,当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。,二、数学规划模型,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,三、模型的假设,1,、每天用 桶牛奶生产,A1,，桶牛奶生产,A2,；,可以是任意的实数。,2,、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。,即技术参数、价值系数为常数,二、数学规划模型,3,、生产的产品全能售出。,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,约束条件：,原料限制,劳动时间限制,设备能力限制,决策变量的非负性,四、模型的建立,目标：设每天收入,z,元。则,二、数学规划模型,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,二、数学规划模型,综上可得：,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,五、模型求解及结果分析,f=-72;-64;A=1 1;12 8;3 0;b=50;480;100;,x,z=linprog(f,A,b,0;0,),x=20.0000,30.0000,;,z=-3.3600e+003,X,z=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB),用于解：,min f*x,subject to:A*x=b,Aeq*x=beq.,LB=X=UB.,二、数学规划模型,即按每天用,20,桶牛奶生产,A1,，用,30,桶牛奶生产,A2,，获最大收益：,z=3360,元。,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,附加问题（,1,）和（,2,）是要不要扩大生产？这取决于对,第,i,种资源的估价,影子价格（）。,在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。,附加问题的讨论：,附加问题（,3,）是考虑当费用系数,c,变化时对最优解和最优值有没有影响,?,找出使最优解不变的区间。,二、数学规划模型,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,影子价格,y,，,它由模型（,1,）的对偶问题决定：,其中，,分别为出租（出售）单位资源 的附加值,.,二、数学规划模型,y,s=linprog(b,-A,-c,0;0;0,),y=48.0000 2.0000 0.0000;s=3.3600e+003,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,二、数学规划模型,解附加问题（,1,）,:,由于每桶牛奶的市场价,35,元低于影子价格 ，所以企业应买进牛奶用于扩大生产。设再增加,x,桶，其他条件不变，则有相应生产计划：,x=0.0000,60.0000,10.0000;z=-3.4900e+003,收入：,3840,。,即最多每天再多买进,10,桶！,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,解附加问题（,2,）：,在每位临时工人的工资不超过,每小时,2,元,的条件下，,可以聘用临时工人以增加劳动时间。,设小时工资为,s,（,0=s=2,）元，,其他条件不变的条件下，,再增加,x,小时，,则有相应生产计划：,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,f=-72-64,2,;a=1 1 0;12 8-1;3 0 0;b=50,480,100;,x,z=linprog(f,a,b,0;0;0,),；,x=21.1790,，,28.8210,，,4.7160,z=-3.3600e+003,。收入,:,s=2,时，,3369.53,f=-72-64,0,;a=1 1 0;12 8-1;3 0 0;b=50,480,100;,x,z=linprog(f,a,b,0;0;0,),x=33.3333,，,16.6667,，,104.3896,z=-3.4667e+003,。收入：,s=0,时，,3466.7,0s2,时，,f=-72-64,s,;a=1 1 0;12 8-1;3 0 0;b=50,480,100;,x,z=linprog(f,a,b,0;0;0,),x=33.3333,，,16.6667,，,53.3333,z=-3.4133e+003,。,收入：,3466.7,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,解附加问题（,3,）：求使最优解不变的,c,的变化范围。,由,f=0,时的最终表,:,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,建立此问题的初始单纯性表,:,显然，当,-48+2f=0,-2-(1/4)f=0,时，最优解不变！即,时，最优解不变！,现在 ，所以不用改变生产计划！,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,案例,3,：,奶制品的生产销售计划,一、问题的提出,案例,2,的,A1,A2,的生产条件、利润、资源都不变条件下，提高奶制品深加工技术，增加工厂获利。用,2,小时和,3,元加工费，可将,1,千克,A1,加工成,0.8,千克高级奶制品,B1,，也可将,1,千克,A2,加工成,0.75,千克高级奶制品,B2,，每千克,B1,可获利,44,元，每千克,B2,可获利,32,元。生产的产品全能售出，试着为该厂订制一个,生产销售计划,，使每天获利最大。,并进一步讨论以下问题：,（,1,）,若投资,30,元可增加供应,1,桶牛奶，投资,3,元可增加,1,小时劳动时间，是否应作这项投资？若每天投资,150,元，可赚回多少？,（,2,）,每千克高级奶制品,B1,B2,的获利经常有,10%,的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每千克,B1,的获利下降,10%,，计划是否应作调整？,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,二、模型分析,对本案例来讲，决策变量取为,A1,、,A2,、,B1,、,B2,每天的销售量讨论更方便！,当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。,三、模型的假设,2,、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。,即技术参数、价值系数为常数,3,、生产的产品全能售出。,1,、每天销售产品,A1,、,A2,、,B1,、,B2,分别为,公斤，且用 公斤,A1,加工,B1,，用 公斤,A2,加工,B2,。,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,四、模型的建立,目标：设每天净利润,z,元。则,约束条件：,原料限制,劳动时间限制,设备能力限制,决策变量之间的关系,决策变量的非负性,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,综上可得：,华北电力大学数理学院,School of mathematics&physics,五、模型求解及结果分析,利用,LINDO6.1,max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6,st,2)4x1