连续函数及其性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,48-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,11-,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,48-,1,48-,2,48-,3,48-,4,48-,5,48-,6,48-,7,例,2,解,右连续但不左连续,48-,9,48-,10,例,2.6.7,证,48-,12,48-,13,48-,14,1.,跳跃间断点,例,4,解,2.,可去间断点,例,2.6.7,解,注意,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,.,如上例中,特点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,.,例,6,解,3.,无穷间断点：,如果 在点 处左、右极限,至少有一个为无穷大，则称点 为函数 的无,穷间断点,.,4,、振荡间断点：如果 在点 处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称 为函数 的振荡间断点,.,例,2.6.8,在定义域,R,内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,.,判断下列间断点类型,:,函数,例,2.6.9,解,例,2.6.10,函数 在点,是否间断,?,属于那种类型,?,能否补充或改变函数在该点定义使之连续,?,解,函数 在点,没有定义,所以 是函数的间断点,.,对于,.,因为,所以 是第一类间断点,.,令,即可使函数在 处连续,.,对于,因为,所以 是第二类间断点且为无穷间断点,.,48-,26,48-,27,48-,28,48-,29,48-,30,48-,31,定理,证,将上两步合起来,:,意义,1.,极限符号可以与函数符号互换,;,例,1,解,例,2,解,同理可得,定理,例如,48-,37,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,定理,5,基本初等函数在定义域内是连续的,.,(,均在其定义域内连续,),定理,6,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,1.,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续,;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义,.,在,0,点的邻域内没有定义,.,注意,注意,2.,初等函数求极限的方法,代入法,.,例,3,例,4,解,解,小结,连续函数的和差积商的连续性,.,复合函数的连续性,.,初等函数的连续性,.,定义区间与定义域的区别,;,求极限的又一种方法,.,两个定理,;,两点意义,.,反函数的连续性,.,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,等价无穷小替换,定理,(,等价无穷小替换定理,),证,48-,46,例,2.6.16,解,不能滥用等价无穷小代换,.,对于代数和中各无穷小不能分别替换,.,注意,例,2.6.17,解,解,错,48-,49,48-,50,小结,1.,函数在一点连续必须满足的三个条件,;,3.,间断点的分类与判别,;,2.,区间上的连续函数,;,第一类间断点,:,可去型,跳跃型,.,第二类间断点,:,无穷型,振荡型,.,间断点,(,见下图,),可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,思考题,思考题解答,且,但反之不成立,.,例,但,48-,56,48-,57,48-,58,48-,59,48-,60,48-,61,48-,62,48-,63,48-,64,48-,65,48-,66,48-,67,例,证,由零点定理,小结,四个定理,有界性定理,;,最值定理,;,介值定理,;,根的存在性定理,.,注意,1,闭区间；,2,连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.,直接法,:,先利用最值定理,再利用介值定理,;,2.,辅助函数法,:,先作辅助函数,F,(,x,),再利用零点定理,;,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确,.,例函数,练 习 题,