向量组及其线性组合

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,补充例题,向量组及其线性组合,或,a,T,(,a,1,a,2,a,n,),向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,其中,a,称为列向量(即列矩阵),a,T,称为行向量(即行矩阵),由数组,a,1,a,2,a,n,所组成的,n,维向量,可记为,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,(1)列向量用黑体小写字母,a,、,b,、,、,等表示,行向量则用,a,T,、,b,T,、,T,、,T,等表示,所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量,或,a,T,(,a,1,a,2,a,n,),向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,其中,a,称为列向量(即列矩阵),a,T,称为行向量(即行矩阵),由数组,a,1,a,2,a,n,所组成的,n,维向量,可记为,说明,下页,(2)分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量,或,a,T,(,a,1,a,2,a,n,),向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,由数组,a,1,a,2,a,n,所组成的,n,维向量,可记为,说明,(3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算,其中,a,称为列向量(即列矩阵),a,T,称为行向量(即行矩阵),下页,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,在空间直角坐标系中,点,P,(,x,y,z,)与3维向量,r,(,x,y,z,),T,之间有一一对应的关系,我们把3维向量的全体所组成的集合,R,3,r,|,r,(,x,y,z,),T,x,y,z,R,叫做三维向量空间,下页,在空间直角坐标系中,点集,P,(,x,y,z,)|,ax,by,cz,d,是一个平面(,a,b,c,不全为0),在三维向量空间中,向量集,r,|,r,(,x,y,z,),T,ax,by,cz,d,也叫做向量空间,R,3,中的平面,并把,作为它的图形,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,下页,n,维向量的全体所组成的集合,R,n,x,|,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,x,1,x,2,x,n,R,叫做,n,维向量空间,n,维向量的集合,x,|,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,a,1,x,1,a,2,x,2,a,n,x,n,b,叫做,n,维向量空间,R,n,中的,n,1维超平面,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,下页,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,线性方程,A,m,n,x,0,的全体解当,R,(,A,),n,时是一个含无限多个,n,维列向量的向量组,下页,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个,m,n,矩阵对应一个,m,维列向量组,也对应,一个,n,维行向量组,下页,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个,m,n,矩阵对应一个,m,维列向量组,也对应,一个,n,维行向量组,下页,向量,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,向量组,若干个同维数的列向量,(,或同维数的行向量,),所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个,m,n,矩阵对应一个,m,维列向量组,也对应,一个,n,维行向量组,下页,今后,由列向量组,A,a,1,a,2,a,m,所构成的矩阵简记为,A,或,(,a,1,a,2,a,m,),线性组合与线性表示,设,A,a,1,a,2,a,m,是一,向量组,表达式,k,1,a,1,k,2,a,2,k,m,a,m,称为向量组,A,的一个线性组合,其中,k,1,k,2,k,m,是,一组实数,称为这线性组合的系数,如果向量,b,是向量组,A,的线性组合,b,1,a,1,2,a,2,m,a,m,则称向量,b,能由向量组,A,线性表示,定理,1,向量,b,能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示的充分必要条件是矩阵,A,(,a,1,a,2,a,m,),与矩阵,B,(,a,1,a,2,a,m,b,),的秩相等,即,R,(,A,),R,(,B,),下页,例1,设,a,1,(1,1,2,2),T,a,2,(1,2,1,3),T,a,3,(1,1,4,0),T,b,(1,0,3,1),T,证明向量,b,能由向量组,a,1,a,2,a,3,线性表示,并求出表示式,设,A,(,a,1,a,2,a,3,),B,(,A,b,),(,a,1,a,2,a,3,b,),因为,所以,R,(,A,),R,(,B,),因此向量,b,能由向量组,a,1,a,2,a,3,线性表示,由上列行最简形,可得方程(,a,1,a,2,a,3,),x,b,的通解为,从而得表示式,b,(,a,1,a,2,a,3,),x,(,3,c,2),a,1,(2,c,1),a,2,c,a,3,其中,c,可任意取值,解,下页,注,b,j,k,1,j,a,1,k,2,j,a,1,k,mj,a,m,(,j,1,2,l,),向量组的等价,若向量组,B,b,1,b,2,b,l,中的每个向量都能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,若向量组,B,组能由向量组,A,线性表示,则存在矩阵,K,(,k,ij,),使,矩阵,K,称为这一线性表示的系数矩阵,若向量组,A,与,B,能相互表示,则称这两个向量组等价,下页,因此,若,C,AB,则,(1)矩阵,C,的列向量组能由矩阵,A,的列向量组线性表示,(2),矩阵,C,的行向量组能由,矩阵,B,的行向量组线性表示,向量组的等价,若向量组,B,b,1,b,2,b,l,中的每个向量都能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,若向量组,B,组能由向量组,A,线性表示,则存在矩阵,K,(,k,ij,),使,若向量组,A,与,B,能相互表示,则称这两个向量组等价,下页,提示,若矩阵,A,与,B,行等价,则这两个矩阵的行向量组等价,矩阵等价与向量组等价的关系,这是因为,矩阵,A,经初等行变换变成矩阵,B,则,B,的每个行向量都是,A,的行向量组的线性组合,反之,由初等变换的可逆,性,A,的行向量组也能由,B,的行向量组线性表示,向量组的等价,若向量组,B,b,1,b,2,b,l,中的每个向量都能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,若向量组,A,与,B,能相互表示,则称这两个向量组等价,下页,若矩阵,A,与,B,列等价,则这两个矩阵的列向量组等价,若矩阵,A,与,B,行等价,则这两个矩阵的行向量组等价,矩阵等价与向量组等价的关系,向量组的等价,若向量组,B,b,1,b,2,b,l,中的每个向量都能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,若向量组,A,与,B,能相互表示,则称这两个向量组等价,下页,向量组的等价,若向量组,B,b,1,b,2,b,l,中的每个向量都能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,若向量组,A,与,B,能相互表示,则称这两个向量组等价,定理,2,向量组,B,b,1,b,2,b,l,能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示的充分必要条件是,R,(,A,),R,(,A,B,),注,(,A,B,),(,a,1,a,2,a,m,b,1,b,2,b,l,),推论,向量组,A,a,1,a,2,a,m,与向量组,B,b,1,b,2,b,l,等价的充分必要条件是,R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),下页,例2,设,a,1,(1,1,1,1),T,a,2,(3,1,1,3),T,b,1,(2,0,1,1),T,b,2,(1,1,0,2),T,b,3,(3,1,2,0),T,证明向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价,记,A,(,a,1,a,2,),B,(,b,1,b,2,b,3,),证明,将(,A,B,)化为行最简形,又,R,(,B,),R,(,A,B,),2,于是知,R,(,B,),2,因此,R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),根据定理2的推论 知,向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价,可见,R,(,A,),2,R,(,A,B,),2,故,R,(,B,),2,容易看出矩阵,B,中有不等于0的2阶子式,下页,定理,3,设向量组,B,b,1,b,2,b,l,能由向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示,则,R,(,b,1,b,2,b,l,),R,(,a,1,a,2,a,m,),证明,记,A,(,a,1,a,2,a,m,),B,(,b,1,b,2,b,l,),按定理的条件,根据定理2有,R,(,A,),R,(,A,B,),而,R,(,B,),R,(,A,B,),因此,R,(,B,),R,(,A,),例3,证明,n,维单位坐标向量组,E,e,1,e,2,e,n,能由,n,维向量组,A,a,1,a,2,a,m,线性表示的充分必要条件是,R,(,A,),n,证,根据定理2,向量组,e,1,e,2,e,n,能由向量组,A,线性表示的充分必要条件是,R,(,A,),R,(,A,E,),而,R,(,A,E,),R,(,E,),n,又矩阵(,A,E,)含,n,行,知,R,(,A,E,),n,合起来有,R,(,A,E,),n,因此条件,R,(,A,),R,(,A,E,)就量,R,(,A,),n,结束,