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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八章 专题拓展,8.1归纳与猜想,中考数学,(河北专用),1,一、数字类,好题精练,1.,(2018石家庄长安质检,12)甲、乙两同学均从同一本书的第一页开始,按照顺序逐页依次在,每页上写一个数.甲同学在第1页写1,第2页写3,第3页写5,第一页写的数均比前一页写的,数多2;乙同学在第1页写1,第2页写6,第3页写11,每一页写的数均比前一页写的数多5.若,甲同学在某一页写的数为49,则乙同学在这一页写的数为,(),A.116B.120C.121D.126,答案C,甲同学每一页写的数均比前一页写的数多2,则第,x,页写的数为(2,x,-1),令2,x,-1=49,解,得,x,=25.说明甲同学在第25页写的数为49.乙同学每一页写的数均比前一页写的数多5,则第,n,页,写的数为(5,n,-4),故乙同学在第25页写的数为5,25-4=121,故选C.,2,2.,(2017江苏扬州,7,3分)在一列数:,a,1,a,2,a,3,a,n,中,a,1,=3,a,2,=7,从第三个数开始,每一个数都等于它,前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第2 017个数是,(),A.1B.3C.7D.9,答案B,依题意得,a,3,=1,a,4,=7,a,5,=7,a,6,=9,a,7,=3,a,8,=7,故周期为6,2 017,6=336,1,所以,a,2 017,=,a,1,=3.故选B.,3.,(2015安徽,13,5分)按一定规律排列的一列数:2,1,2,2,2,3,2,5,2,8,2,13,若,x,、,y,、,z,表示这列数中的连,续三个数,猜测,x,、,y,、,z,满足的关系式是,.,答案,xy,=,z,(只要关系式对前六项是成立的即可),解析,2,1,2,2,=2,3,2,2,2,3,=2,5,2,3,2,5,=2,8,2,5,2,8,=2,13,x,、,y,、,z,满足的关系式是,xy,=,z,.,3,二、算式类,(2017云南,16,6分)观察下列各个等式的规律:,第一个等式:,=1,第二个等式:,=2,第三个等式:,=3,请用上述等式反映出的规律解决下列问题:,(1)直接写出第四个等式;,(2)猜想第,n,个等式(用含,n,的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.,解析,(1)第四个等式为,=4.,(2)第,n,个等式为,=,n,.,证明:左边=,=,=,n,所以左边=右边,所以等式成立.,4,三、图形排列类,(2016重庆,10,4分)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第个图形,中一共有4个小圆圈,第个图形中一共有10个小圆圈,第个图形中一共有19个小圆圈,按此规律排列下去,第个图形中小圆圈的个数为,(),A.64B.77C.80D.85,答案D,通过观察,第个图形中小圆圈的个数为,+1,2,=4,第个图形中小圆圈的个,数为,+2,2,=10,第个图形中小圆圈的个数为,+3,2,=19,第个图形中小圆圈的个,数为,+4,2,=31,以此类推,第,个图形中小圆圈的个数为,+,n,2,当,n,=7时,+7,2,=85,故第个图形中小圆圈的个数为85.故选D.,5,四、数形结合类,1.,(2015河南,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆,O,1,O,2,O,3,组,成一条平滑的曲线.点,P,从原点,O,出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒,个单位长度,则第2 0,15秒时,点,P,的坐标是,(),A.(2 014,0)B.(2 015,-1),C.(2 015,1)D.(2 016,0),答案B,半圆的半径,r,=1,一个半圆的弧长=,又每两个半圆为一个循环,一个循环,内点,P,运动的路程为2.,2=503,3,点,P,位于第504个循环的第二个半圆弧的,中点位置(即第1 008个半圆弧的中点),此时点,P,的横坐标为503,4+3=2 015,纵坐标为-1,第2 015秒时,点,P,(2 015,-1).故选B.,6,2.,(2018石家庄质检,19)在平面直角坐标系,xOy,中,若干个半径为1个单位长度,圆心角是60,的扇,形按图中的方式摆放,动点,K,从原点,O,出发,沿着“半径,OA,半径,CD,半径,DE,”,运动,若点,K,在线段上运动的速度为每秒1个单位长度,在弧线上运动的速度为每秒,个单位长,度,设第,n,秒运动到点,K,n,(,n,为自然数),则,K,3,的坐标为,K,2 018,的坐标是,.,答案,;(1 009,0),解析,由题意得,的长=,=,所以点,K,在每个圆弧上运动的时间为,=1秒.当,n,=3,时,点,K,运动到点,C,过点,C,作,CM,x,轴,连接,BC,易得,BC,=1,BCM,=30,BM,=,BC,sin 30,=,CM,=,BC,cos 30,=,K,3,的坐标为,K,2,的坐标即点,B,的坐标为(1,0),K,4,的坐标即点,D,的坐,标为(2,0),K,6,的坐标即点,F,的坐标为(3,0),以此类推,点,K,2 018,的坐标为(1 009,0).,7,3.,(2016河北,19,4分)如图,已知,AOB,=7,一条光线从点,A,发出后射向,OB,边.若光线与,OB,边垂,直,则光线沿原路返回到点,A,此时,A,=90,-7,=83,.,当,A,83,时,光线射到,OB,边上的点,A,1,后,经,OB,反射到线段,AO,上的点,A,2,易知1=2.若,A,1,A,2,AO,光线又会沿,A,2,A,1,A,原路返回到点,A,此时,A,=,.,若光线从点,A,发出后,经若干次反射能沿原路返回到点,A,则锐角,A,的最小值=,.,答案,76;6,解析,由题图可知1=2=90,-,O,=83,AA,1,A,2,=180,-1-2=14,A,=90,-,AA,1,A,2,=,90,-14,=76,.,设光线从点,A,发出后,经,n,次反射能沿原路返回到点,A,记光线自,A,(,A,0,)发出后与边的交点依次为,A,1,A,2,A,3,A,n,即,A,n,-1,A,n,O,=90,则,A,n,A,n,-1,A,n,-2,=14,A,n,-3,A,n,-2,A,n,-1,=28,A,n,-4,A,n,-3,A,n,-2,=42,依次,为14,的,n,倍(,n,=1,2,3,),21=180,-14,n,即1=90,-7,n,A,=1-7,=83,-7,n,当,n,=11,时,A,最小,为6,.2,8,4.,(2018河北,22,9分)如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶,上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.,尝试,(1)求前4个台阶上数的和是多少;,(2)求第5个台阶上的数,x,是多少.,应用求从下到上前31个台阶上数的和.,发现试用含,k,(,k,为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.,解析,尝试(1)-5-2+1+9=3.,(2)由题意,得-5-2+1+9=-2+1+9+,x,解得,x,=-5.,应用与(2)同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数依次循环排列.,31=7,4+3,前31个台阶上数的和为7,3+(-5-2+1)=15.,发现4,k,-1.,9,思路分析,尝试:(1)直接列式,计算算式的值即可;(2)根据任意相邻四个台阶上数的和相等列,出方程,得解.应用:同(2)的方法求出第6,7,8个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每,四个一循环,进而求出从下到上前31个台阶上数的和.发现:根据台阶上的数每四个一循环,可,知数“1”所在的台阶数间隔为4,即可求解.,方法指导,对于数字(或图形)循环变换类规律题,求经过,N,次变换后对应的数字(或图形)的解,题步骤:1.通过观察这组数字(或图形),得到该组数字(或图形)经过一个循环变换需要的次数,记为,n,;2.用,N,除以,n,当能整除时,第,N,次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中最后一,次变换后对应的数字(或图形);当商,b,余,m,(0,m,n,)时,第,N,次变换后对应的数字(或图形)就是一,个循环变换中第,m,次变换后对应的数字(或图形).,10,五、阅读理解类,(2014河北,20,3分)如图,点,O,A,在数轴上表示的数分别是0,0.1.,将线段,OA,分成100等份,其分点由左向右依次为,M,1,M,2,M,99,;,再将线段,OM,1,分成100等份,其分点由左向右依次为,N,1,N,2,N,99,;,继续将线段,ON,1,分成100等份,其分点由左向右依次为,P,1,P,2,P,99,.,则点,P,37,所表示的数用科学记数法表示为,.,答案,3.7,10,-6,解析,将线段,OA,分成100等份,则,OM,1,=,=0.001,再将线段,OM,1,分成100等份,则,ON,1,=,=0.000 01,再将线段,ON,1,分成100等份,则,OP,1,=,=0.000 000 1.所以,OP,37,=0.000 000 1,37=0.000 003 7,则点,P,37,所表示的数用科学记数法可表示为3.7,10,-6,.,评析,科学记数法是将一个数写成,a,10,n,的形式,其中1,|,a,|10,n,为整数.,11,六、归纳应用类,(2016安徽,18,8分),(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:,(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含有,n,的代数式填空:,1+3+5+,+(2,n,-1)+(,)+(2,n,-1)+,+5+3+1=,.,解析,(1)由规律可知第一空填4,2,第二空填,n,2,.,(2)由(1)可知题图中第(,n,+1)行的黑点个数为2,n,+1,故第一空填2,n,+1;而1+3+5+,+(2,n,-1)+(2,n,+1),=(,n,+1),2,=,n,2,+2,n,+1,1+3+5+,+(2,n,-1)=,n,2,故第二空填2,n,2,+2,n,+1.,12,一、数字类,(2016湖南邵阳,10,3分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规,律,最后一个三角形中,y,与,n,之间的关系是,(),A.,y,=2,n,+1B.,y,=2,n,+,n,C.,y,=2,n,+1,+,n,D.,y,=2,n,+,n,+1,教师专用题组,答案B,根据3=1+2,1,6=2+2,2,11=3+2,3,总结规律为,y,=,n,+2,n,故选B.,13,二、算式类,1.,(2018安徽,18,8分)观察以下等式:,第1个等式:,+,+,=1,第2个等式:,+,+,=1,第3个等式:,+,+,=1,第4个等式:,+,+,=1,第5个等式:,+,+,=1,按照以上规律,解决下列问题:,(1)写出第6个等式:,;,(2)写出你猜想的第,n,个等式:,(用含,n,的等式表示),并证明.,14,解析,(1),+,+,=1.,(2分),(2),+,+,=1.,(4分),证明:左边=,=,=,=1=右边.,(8分),思路分析,(1)分析给出的5个等式发现,等式左边是三个分数的和,第1个分数的分子都是1,分,母与等式的序号相同;第2个分数的分子比等式的序号小1,而分母比等式的序号大1;第3个分数,正好是前两个分数的乘积,等式的右边均为1.据此可写出第6个等式.(2)根据(1)中发现的规律,可写出第,n,个等式,并根据分式的运算进行证明.,15,2.,(2015湖南郴州,16,3分)请观察下列等式的规律:,=,=,=,=,则,+,+,+,+,=,.,答案,解析,原式=,+,+,+,+,=,=,=,.,评析,本题属阅读理解型规律探究题,从所给信息中找出规律是解题关键,属中档题.,16,三、图形排列类,1.,(2017重庆A卷,10,4分)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成
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