常微分方程奇解与包络

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,singularly solution,2.4,奇 解,/Singularly solution/,2.4,奇解,包络和奇解,克莱罗方程（,Clairant Equation,）,本节要求：,1,了解奇解的意义；,2,掌握求奇解的方法。,主要内容,利用通解和特解可以构造解：,从图形可以看到，有无数,条积分曲线过初始点。,解：容易看到,y,=0,是解，并且满足给定的初始条件,例,1,得通解,由,x,y,定义,2.3,如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的,奇解,。奇解对应的积分曲线称为,奇积分曲线,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：,是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。,奇解：,在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的,奇解,。,注,：,奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例,单参数曲线族,R,是常数，,c,是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族 的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平,行线族等都是没有包络的。,注,:,并不是每个曲线族都有包络,.,例如,:,单参数曲线族,:,(,其中,c,为参数,),表示一族同心圆,.,如图,从图形可见,此曲线族没有包络,.,二、不存在奇解的判别法,假设方程,(1.9),的右端函数,在区域,上有定义，如果,在,D,上连续且,在,D,上有界,(,或连续,),，那么由本章定理,2.2,，方程的,任一解是唯一的，从而在,D,内一定不存在奇解。,有定义的区域,D,内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上,.,进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。,如果存在唯一性定理条件不是在整个,定理,2.6,方程,(1.9),的积分曲线族,(,C,),的包络线,L,是,(1.9),的奇积分曲线,。,证明：应用定理,2.1,积分曲线与线素场的关系的充要条件,三 求奇解（包络线）的方法,C-,判别曲线法,P-,判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-,判别曲线法,结论,：,通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去,C,而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数,C,求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线,L,在其上每一点,(,x,(,C,),y,(,C,),处均与曲线族中对应于,C,的曲线 相切。,注意：,C-,判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例,1,求直线族,的包络，这里 是参数，,p,是常数。,解：,对参数 求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,x,y,o,p,例,2,求直线族,的包络，这里,c,是参数。,解：,对参数,c,求导数,联立,得,从 得到,从 得到,因此，,C-,判别曲线中包括了两条曲线，易,检验，,是所求包络线。,x,y,o,2,p,-,判别曲线,结论,：,方程 的奇解包含在下列方程组,消去,p,而得到的曲线中。,注意：,p,-,判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例,3,求方程,的奇解。,解：,从,消去,p,，得到,p,-,判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而 是方程的解，且正好是通解的包络。,例,4,求方程,的奇解。,解：,从,消去,p,，得到,p,-,判别曲线,经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意：,以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得,p,-,判,别曲线和,C-,判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3,克莱罗方程,形式,其中,是,p,的连续函数。,解法,通解,奇解,结果,:,Clairaut,方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是,Clairaut,方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解,.,例,5,求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去,c,，得到奇解,从,x,y,O,如图,:,此方程的通解是直线族,:,而奇解是通解的包络,:,例,6,求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于,2,。,解,设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去,c,，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,直线族及其包络线,利用,Maple,可以得到这个方程的解曲线如下,:,注意,:y=3x,和,y=-3x,是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切,.,restart:,with(plots):,for j from-5 to-1 do,plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):,yj:=%:,end do:,for j from 1 to 5 do,plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):,yj:=%:,end do:,plot(3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):,yy:=%:,plot(-3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):,yyy:=%:,display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);,本节要点,：,1.,奇解的定义。,2.,不存在奇解的判别方法。（,1,）全平面上解唯一,（,2,）不满足解唯一的区域上没有方程的解,3.,求奇解的包络线求法。,满足,C,判别式。在非蜕化条件下，从,C,判别式解出的曲线,课堂练习：,1,求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数,a,。,2,求解方程，并划出积分曲线图。,作业：,P109,1(2),，,2.,