向量组的正交性

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量组的正交性,一、向量的内积：,1.定义1：设有向量,2.向量的单位化,二、向量的夹角。,三、向量的正交性：,1.定义2.,2.定义3.,为正交向量组。,也称为单位正交组或标准正交组。,3.正交向量组的性质,定理:,回忆:如何证明一组向量线性无关?,证:,(,i=,1,2,m,),问题:线性无关的向量组是否为正交组?,不是!,例1,已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交,基.,四 向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,则有,五 规范正交基,例如,空间的标准正交基也不唯一,六、向量组的正交规范化：,正交化,单位化,施密特正交化过程,Schimidt,例,用施密特正交化方法，将向量组,正交规范化.,解,先,正交化,，,取,再,单位化,，,得规范正交向量组如下,几何解释,七、正交矩阵：,1.定义4：,2.性质：,3.正交矩阵的判定:,方法一、用定理。,方法二、用定义。,正交,不正交,性质,正交变换保持向量的长度不变,证明,定义,若 为正交阵，则线性变换 称为正,交变换,八、正交变换：,这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,性质,正交变换保持向量的内积不变,1将一组基规范正交化的方法：,先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将,其单位化,小 结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,Ex,