习题课微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二部分：微分方程,习题课,第十二部分 微分方程,一 重点与难点：,1.,什么是微分方程？常微分方程？线性微分方程？微分方程的阶？,2.,微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？,3.,熟练掌握几类一阶微分方程的解法,.,两类方程的推广,*,.,4.,掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法,.,5.,什么是线性微分方程？线性微分方程的解的结构是怎样的？,6.,熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法,.,7.,掌握（自由项为多项式、指数函数、正弦函数及余弦函数的积,与和的）二阶常系数非齐次线性方程的特解的待定系数法,.,8.,会用微分方程解决简单的几何与物理应用问题,.,二 例题与练习,1.,判断是非（是：,；非：,）,2.,选择题,3.,判断方程类型并给出解法,4,.,综合练习,微分方程中出现的,未知函数最高阶导数的阶数,叫微分方程,的,阶,。,1,.,什么是微分方程？常微分方程？怎样确定微分方程的阶？,什么是线性微分方程？,一、,重点与难点：,微分方程,就是联系自变量、未知函数以及它的导数的方程。,在微分方程中，,若自变量的个数只有一个，,称这种微分方,程为,常微分方程,。,(,若自变量的个数有两个或两个以上，称,偏微分方程。,),若微分方程中的未知函数及其各阶导数都是一次的，称方,程是,线性微分方程,。,2.,微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？,如果函数,y,=,(,x,),代入微分方程,后，使它成为一个恒等,式，称函数,y,=,(,x,),为,微分,方程的,解,。,如果微分方程 的解中含有任意常数，而且,(,独立的,),任意,常数的个数与方程的阶数相同，这种解叫微分方程的,通解,。,如果给了初始条件（或其它定解条件），确定了微分方,程通解中的任意常数，就得到微分方程的,特解,。,通解与特解都是,微分方程的解。,通解是函数族，特解是该函数族中的一个函数。,通解不一定是,微分方程的全部解。但是，对线性方程,，,其,通解就是,方程的全部解。,.,3.,几,类一阶微分方程的解法,方 程 类 型,解 法 及 解 的 表 达 式,(1),变量可分离的方程,(,简称,“可”,),.,.,(2),齐次方程,(,简称,“齐”,),.,.,(3),一阶线性方程,(,简称,“一”,),.,得通解：,.,(4),伯努利方程,(,简称,“贝”,),.,.,化为,“一”,：,.,(5),全微分方程,(,恰当方程,),.,.,化为,“可”,分离变量，两边积分,用常数变易法，,或,上述两类方程的推广,*,：,.,.,1,o,可化成“可”的方程：,2,o,可化成“齐”的方程：,.,化成,“可”,.,为,“齐”,.,为,1,o,.,.,.,4.,三种可降阶的高阶微分方程的解法,方 程 类 型,解 法 及 解 的 表 达 式,连续积分,n,次，可得通解：,.,.,.,(1),.,.,(2),.,.,.,（转,y,为自变量）,.,原方程化为：,5.,线性微分方程解的结构：,.,.,若具有,n,个线性无关的特解：,(1),线性齐次方程：,(2),线性非齐次方程：,(1),(2),6.,二阶常系数齐次线性方程的解法,齐次线性方程,特 征 根,特 征 方 程,特征方程判别式,两个不等实根,两个相等实根,一对共轭复根,通解：,.,.,.,7.,二阶常系数非齐次线性方程的特解,条件,不是特征根,是特征单根,是特征重根,.,.,.,.,.,.,二,.,例题与练习,.,1.,判断是非（是：,；非：,）,(),(),(),(),二,.,例题,.,1.,判断是非（是：,；非：,）,与练习,(),(),(),(),(),.,2.,选择题,C,D,A,2.,选择题,D,B,3.,判断方程类型并给出解法,可分离,.,齐次,.,一阶线性,伯努利，令,z,=,y,5,高阶,不显含,x,二阶线性常系数,二阶线性常系数,.,.,.,.,.,二阶线性常系数,.,.,.,.,解：,.,4.,综合练习,(4),求,下列方程满足初始条件的特解,:,(5),构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,4.,综合练习解答,解：,.,(1),求以下方程的通解：,“,可”,2,o,解：,.,解：,3,o,.,“,齐”,解：,4,o,.,“,不显含,x,”,“,可”,5,o,解：,.,“,一阶线性”,解：,6,o,.,“,全微分方程”,Q,R,(2),解：,P,(,x,y,),y,x,o,.,L,x,x,y,(3),解：,.,.,.,.,(4),求下列方程满足初始条件的特解,:,解：,.,“,伯努利方程”,解：,.,“,可”,2,o,(5),解：,.,构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解,(6),解：,.,.,解：,.,0,x,y,(1,0),(1,1),y,=0,d,y,=0,x,=1,d,x,=0,(6),.,