数学建模案例分析--线性代数模型-住房贷款

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,*,第,6,讲 代数模型,住房贷款问题,11/26/2024,数学建模,一、住房贷款问题,随着经济的发展，金融正在越来越多的进入普通人的生活，比如贷款、保险、养老金和信用卡等。个人住房抵押贷款就是其中重要的一项。下表是从,2006,年,8,月,19,日起开始施行的贷款利率,。,利率,年限,公积金,(,年利率,),商业性,(,月利率,),年 限,调整前,2006.4.28,调整后,2006.8.19,调整前,2006.4.28,调整后,(,下限可以到,0.85),2006.8.19,1-5,年,4.14%,4.14%,6.12%,(,下限,5.51),6.48%,(,下限,5.51),6-30,年,4.59%,4.59%,6.39%,(,下限,5.75),6.84%,(,下限,5.81),11/26/2024,数学建模,商业银行的贷款还贷方式为三种形式，,一次性还本付息法,(,只适用于一年期的贷款,),；,等额本金还款法,和,等额本息还款法,。而等额本息还款法和等额本金还款法两者相比较，则在贷款期限越长时，等额本息还款法所需要支付的利息较多，但等额本息还款法在计算上比等额本金还款法较为容易，因此商业银行通常在客户未谈及时，基本采用的为,等额本息还款法,。,试根据最新贷款利率制定一张完整的个人住房商业贷款,(,万元,),还款表，贷款期从一年至,30,年，表中应包括以下各项：货款期,(,年、月,),、年利率、月利率，月还款额和本息总额。,11/26/2024,数学建模,城市住房公积金是政府用于解决行政事业单位职工及中低收入的居民住房问题的专项基金。城市住房基金从同级财政现在用于住房建设、维修、管理和补贴的资金，当地提取住房固定资产投资方向调节税、房地产税、土地使用权出让金，以及出售属于国有资产的住房回收资等渠道筹集。,二、住房贷款背景知识,1.,住房公积金贷款,建立职工住房公职金是我国推行住房制度改革的一项措施，目的在于由国家、集体、个人三方共同负担，解决职工住房困难。,11/26/2024,数学建模,建立职工住房公积金的作用：,（,1,）,筹集住房资金；,（,2,）,提高职工个人购房、建房能力；,（,3,）,使房屋福利分配制向房屋货币化分配转变。,按照规定，凡是缴存公积金的职工均有享受此种贷款的权利，均可按公积金贷款的有关规定，申请公积金贷款。,住房公积金是一种义务性住房储金。它是按照国家政策规定，通过,个人存储、单位资助,的办法建立的一笔属于个人的住房消费资金，专项用于个人支付住房方面的费用。,11/26/2024,数学建模,住房公积金贷款的优点,:,贷款利率低，目前比商业贷款低,1,个百分点左右。在相同担保方式下，贷款中的费用一般也比商业贷款低，而在住房公积金贷款中采用抵押加保险的较高费用的担保方式时，贷款费用一般比商业贷款高，但贷款费用和利息负担之和仍要比商业贷款低，而且保险公司要承担相应的责任和风险。,实际贷款期限要比商业贷款长，虽然两种贷款文件规定最长贷款期限目前都是,30,年，但一般商业贷款实际不会放到,30,年。,抵押率高，住房公积金贷款最高可以贷到房价的,90,，而商业贷款最高只能达到,80,。,11/26/2024,数学建模,2.,住房商业贷款,个人住房商业贷款是我国公民因购买商品房而向银行申请的一种贷款，依据有关银行规定，凡符合下列两种情况之一的，即可申请贷款品种：一是参加住房储蓄的居民；二是住房出售商和贷款银行有约定，由房地产担保企业为居民购房贷款向银行提供担保。,商业贷款合同必须由售房人、购房人、贷款银行三方共同签订合同，方能生效。个人住房商业贷款金额限制在总房价的,70%,，在申请商业贷款之前，个人必须先付出总房价,30%,的购房款。,11/26/2024,数学建模,由于委托律师，手续相对于公积金贷款一般更简便一些，但住房公积金贷款目前也可以委托代理公司帮助办理。由于住房公积金贷款是委托贷款，商业贷款办理速度一般相应也更快一些。最高贷款额度比住房公积金贷款要高，住房公积金贷款目前最高只能贷到,39,万元。在住房公积金贷款采用抵押加保险的担保方式时，商业贷款前期贷款费用一般比住房公积金贷款要少。,商业贷款的优点,:,由于住房公积金贷款比商业贷款多了保险的担保方式，不一定必须开发商担保，所以商业贷款中开发商提供保证担保的更多一些。,11/26/2024,数学建模,3.,等额本息还款法,等额本息还款方式是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款,(,包括本金和利息,),，这样由于每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。,4.,等额本金还款法,等额本金还款法,(,递减法,),就是借款人每月以相等的额度偿还贷款本金,利息随本金逐月递减,每月还款额亦逐月递减。,11/26/2024,数学建模,(1),计算方法不同,等额本息还款法为借款人每月以相等的金额偿还贷款本息。,等额本金还款法为借款人每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减。,5,、两种还贷方式比较,(2),两种方法支付的利息总额不一样,在相同贷款金额、利率和贷款年限的条件下，“本金还款法”的利息总额要少于“本息还款法,”。,11/26/2024,数学建模,(4),还款前后期的压力不一样,因为“本息还款法”每月的还款金额数是一样的，所以在收支和物价基本不变的情况下，每次的还款压力是一样的；“本金还款法”每次还款的本金一样，但利息是由多到少、依次递减，同等情况下，后期的压力要比前期轻得多。,(3),还款前几年的利息、本金比例不一样,“本息还款法”前几年还款总额中利息占的比例较大,(,有时高达,90%,左右,),，“本金还款法”的本金平摊到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高时也就各占,50%,左右。,11/26/2024,数学建模,另外，等额本息还款法操作起来比较简单，每月金额固定，不用再算来算去。一般来讲，,等额本息还款法适用于现期收入少,，负担人口少，预期收入将稳定增加的借款人，如部分年轻人，而等额本金还款法则适合有一定积蓄，但家庭负担将日益加重的借款人，如中老年人。,11/26/2024,数学建模,三、,等额本息贷款还款表的制定,1.,问题,一个人购房进行商业贷款，并按照等额本息还款方式还款，试制定一张完整的个人住房商业贷款,(,万元,),还款表，贷款期从一年至,30,年，表中应包括以下各项：货款期,(,年、月,),、年利率、月利率，月还款额和本息总额。,2.,变量假设,M,：,贷款总额,n,：,贷款时间,(,月,),R,：,贷款年利率,r,：,贷款月利率,m,：,月还款数,A,k,：,贷款后第,k,个月时欠款余数,11/26/2024,数学建模,3.,模型建立,A,k+1,=,A,k,+,r A,k,- m,k=0,1 , , n,(1),这是一个,差分方程,，其中,A,0,=M,（,贷款总额），,n,为贷款时间,(,月,),。,由于贷款第,k,个月时欠款余数为,A,k,元，月还款,m,元，那么到了第,k+1,个月，,A,k,变化到,A,k+1,除了还款数,m,以外,还有利息，根据月利率,r,，则到了第,k+1,个月增加的利率是,rA,k,由此可以得到下面的关系式：,11/26/2024,数学建模,3.,模型求解,如果贷款时间为,n,个月，则逐月还款后，到第,n,个月的还款余额即为,A,n,=,0,(2),在这里我们主要是为了求解每月的还款额,m,，为此令,B,k,=A,k,-A,k-1,，,k=1,2 , , n,(3),于是由,A,k+1,=,A,k,+,r A,k,- m,A,k,=,A,k-1,+,r A,k-1, m,二式相减得到：,B,k+1,=(1+r)B,k,k=1,2 , , n,(4),可以递推出,B,k+1,= B,1,(1+r),k,k=1,2 , , n,(5),11/26/2024,数学建模,于是由,B,k,=A,k,-A,k-1,可以推出,A,k,=B,k,+A,k-1,= B,k,+B,k-1,+A,k-2,= . = B,k,+B,k-1,+.+B,1,+A,0,再由,(5),得到,A,k,-A,0,= B,1,+B,2,+ . + B,k,=,B,1,1+(1+,r,)+.+,(1+,r,),k-1,B,k,= B,1,(1+r),k-1,11/26/2024,数学建模,于是由,可以解得,(6),取,k=n,并令,A,n,=0,，解得月还款额：,(7),也就是,每月等额还本付息额,=,其中：还款期数,=,贷款年限,12,。,(8),11/26/2024,数学建模,如果向商业银行贷款,1,万元，即,A,0,=M,=10000,元，贷款两年，即,n=,24,，根据最新商业贷款年利率,R=6.48,%,，则求得月利率,r,=R/12=6.48%/12=5.4,。将这些数据代入上式得到月还款额,每月还款,445.37,元，两年后还清。共计还款,445.37,24=10688.93,元,两年的利息共计,688.93,元。由此可以制定出商业贷款等额本息还款表。,11/26/2024,数学建模,年份,月数,年利率,(%),月利率,(),月还款额,本息总额,总利息,1,12,6.48,5.40,到期一次,还本付息,10648.0000,648.0000,2,24,6.48,5.40,445.3721,10688.9310,688.9310,3,36,6.48,5.40,306.3990,11030.3642,1030.3642,4,48,6.48,5.40,237.0573,11378.7503,1378.7503,5,60,6.48,5.40,195.5678,11734.0690,1734.0690,6,72,6.84,5.70,169.7228,12220.0422,2220.0422,7,84,6.84,5.70,150.1459,12612.2520,2612.2520,8,96,6.84,5.70,135.5423,13012.0618,3012.0618,9,108,6.84,5.70,124.2539,13419.4190,3419.4190,10,120,6.84,5.70,115.2855,13834.2647,3834.2647,11,132,6.84,5.70,108.0040,14256.5335,4256.5335,12,144,6.84,5.70,101.9872,14686.1538,4686.1538,13,156,6.84,5.70,96.9426,15123.0483,5123.0483,14,168,6.84,5.70,92.6615,15567.1342,5567.1342,15,180,6.84,5.70,88.9907,16018.3230,6018.3230,表一：商业贷款等额本息还款表,11/26/2024,数学建模,年份,月数,年利率,(%),月利率,(),月还款额,本息总额,总利息,16,192,6.84,5.70,85.8152,16476.5214,6476.5214,17,204,6.84,5.70,83.0472,16941.6310,6941.6310,18,216,6.84,5.70,80.6183,17413.5490,7413.5490,19,228,6.84,5.70,78.4744,17892.1684,7892.1684,20,240,6.84,5.70,76.5724,18377.3781,8377.3781,21,252,6.84,5.70,74.8772,18869.0635,8869.0635,22,264,6.84,5.70,73.3603,19367.1064,9367.1064,23,276,6.84,5.70,71.9978,19871.3860,9871.3860,24,288,6.84,5.70,70.7701,20381.7783,10381.7783,25,300,6.84,5.70,69.6605,20898.1574,10898.1574,26,312,6.84,5.70,68.6551,21420.3948,11420.3948,27,324,6.84,5.70,67.7419,21948.3606,11948.3606,28,336,6.84,5.70,66.9105,22481.9232,12481.9232,29,348,6.84,5.70,66.1522,23020.9498,13020.9498,30,360,6.84,5.70,65.4592,23565.3068,13565.3068,如果贷款,20,万，期限,20,年，则每月还款,76.572420=1531.45,元，,共计还款,18377.378120=367547.56,元，利息共计,167547.56,元。,11/26/2024,数学建模,针对公积金贷款,1-5,年的年利率为,R=4.14%,，,6-30,年的年利率为,R=4.59%,，按照公式,(7),可以制作出同样的公积金贷款等额本息还款表，留作练习。,(7),表二：公积金贷款等额本息还款表,年份,月数,年利率,(%),月利率,(),月还款额,本息总额,总利息,1,12,4.14,3.45,到期一次,还本付息,10414.0000,414.0000,2,24,4.14,3.45,3,36,4.14,3.45,4,48,4.14,3.45,5,60,4.14,3.45,184.7977,11087.8608,1087.8608,6,72,4.59,3.825,11/26/2024,数学建模,四、等额本金贷款还款表,1.,问题,一个人购房进行商业贷款，并按照等额本金还款方式还款，试制定一张完整的个人住房商业贷款,(,万元,),还款表，贷款期从一年至,30,年，表中应包括以下各项：货款期,(,年、月,),、年利率、月利率，月还款额和本息总额。,2.,变量假设,M,：,贷款总额,n,：,贷款时间,(,月,),R,：,贷款年利率,r,：,贷款月利率,m,：,月还款数,A,k,：,贷款后第,k,个月时欠款余数,11/26/2024,数学建模,3.,模型的建立,根据等额本金还款方式，每月的还款金额计算公式为,每月还款额,=,(9),也就是,(10),其中,(11),因为每月归还的本金,M/n,是等额的，所以到第,k,个月归还的本金总额由,(11),计算。,11/26/2024,数学建模,4.,具体计算,假设某人贷款一万元，期限两年，并计划按照等额本金还款方式进行还款，试建立一张还款计划表。,%zhufangdk02.m,M=10000;,n=input(,请输入贷款月数,n=),%,贷款时间,R=input(,请输入贷款利率,R=),%,商业贷款：,1-5,年,6.48%,，,6-30,年,6.84%,R=R/100;,%,公积金贷款：,1-5,年,4.14%,，,6-30,年,4.59%,r=R/12;,k=1:24;,m=M/n+(M-(k-1)*M/n)*r,；,fprintf(%d,个月每月的还款金额,n),m=m,解：,已知商业贷款,1-5,年的利率为,R=6.48%,贷款总额,M=10000,元,贷款时间,n=24,个月，根据计算公式编写出每个月还贷的计算程序。,11/26/2024,数学建模,表三：商业贷款等额本金还款表,(2,年贷款,1,万元,),月数,年利率,(%),月利率,(),月还款额,月还款本金,月还款利息,累积还款总额,1,6.48,5.40,470.6667,416.6667,54.0000,470.6667,2,6.48,5.40,468.4167,416.6667,51.7500,939.0834,3,6.48,5.40,466.1667,416.6667,49.5000,1405.2501,4,6.48,5.40,463.9167,416.6667,47.2500,1869.1668,5,6.48,5.40,461.6667,416.6667,45.0000,2330.8335,6,6.84,5.70,459.4167,416.6667,42.7500,2790.2502,7,6.84,5.70,454.1667,416.6667,37.5000,3244.4169,8,6.84,5.70,454.9167,416.6667,38.2500,3699.3336,9,6.84,5.70,452.6667,416.6667,36.0000,4152.0003,10,6.84,5.70,450.4167,416.6667,33.75.00,4602.417,11,6.84,5.70,448.1667,416.6667,31.5000,5050.5837,12,6.84,5.70,445.9167,416.6667,29.2500,5496.5004,13,6.84,5.70,443.6667,416.6667,27.0000,5940.1671,11/26/2024,数学建模,两年后该贷款人还款总额为,10672,元，所还利息为,672,元。,如果两年贷款,10,万元，则两年后还款总额为,1067210=106720,元。所还利息总额为,67210=6720,元。,月数,年利率,(%),月利率,(),月还款额,月还款本金,月还款利息,累积还款总额,14,6.84,5.70,441.4167,416.6667,24.7500,6381.5838,15,6.84,5.70,439.1667,416.6667,22.5000,6820.7505,16,6.84,5.70,436.9167,416.6667,20.2500,7257.6672,17,6.84,5.70,434.6667,416.6667,18.0000,7692.3339,18,6.84,5.70,432.4167,416.6667,15.7500,8124.7506,19,6.84,5.70,430.1667,416.6667,13.5000,8554.9173,20,6.84,5.70,427.9167,416.6667,11.2500,8982.834,21,6.84,5.70,425.6667,416.6667,9.0000,9408.5007,22,6.84,5.70,423.4167,416.6667,6.7500,9831.9174,23,6.84,5.70,421.1667,416.6667,4.5000,10253.0841,24,6.84,5.70,418.9167,416.6667,2.2500,10672.0008,11/26/2024,数学建模,五、后记,从某种意义上说，购房还贷，等额本金法,(,递减法,),未必优于等额本息法,(,等额法,),，到底选择什么样的还贷方法还要因人而异。,“,等额本息还款法,”就是借款人每月始终以相等的金额偿还贷款本金和利息，偿还初期利息支出最大，本金就还得少，以后随着每月利息支出的逐步减少，归还本金就逐步增大；,1.,等额本息还款法和等额本金还款法的比较,“,等额本金还款法,”,(,递减法,),就是借款人每月以相等的额度偿还贷款本金，利息随本金逐月递减，每月还款额亦逐月递减。,11/26/2024,数学建模,两种还款方法都是随着剩余本金的逐月减少，利息也将逐月递减，都是按照客户占用管理中心资金的时间价值来计算的。,由于“,等额本金还款法,”较“,等额本息还款法,”而言同期较多地归还贷款本金，因此以后各期确定贷款利息时作为计算利息的基数变小，所归还的总利息相对就少,。,11/26/2024,数学建模,举例来说，,A,、,B,两人同时申请个人住房公积金贷款,10,万元，期限,10,年，合同生效时间为,2005,年,6,月,20,日。,A,选择等额本息还款法，,B,选择等额本金还款法,。,如不考虑国家在利率方面的调整因素，,A,每月的还款额相同，都为,1032.05,元，期满后共需偿付本息,123846,元。,B,第一个月还款额为,1200.83,元，以后随着每月贷款期末余额的减少而逐月减少还款额。最后一个月还款额为,836.40,元，期满后共需偿付本息,122233.90,元。,所以，在相同贷款金额、利率和贷款年限的条件下，“等额本金还款法”的利息总额要少于“等额本息还款法”，以贷,10,万,10,年为例，,B,比,A,要少支付利息,1612.10,元。,11/26/2024,数学建模,究竟采用哪种还款方式，专家建议还是要根据个人的实际情况来定。,2.,适合自己的才是最好,“等额本息还款法”每月的还款金额数是一样的，对于参加工作不久的年轻人来说，选择“等额本息还款法”比较好，可以减少前期的还款压力。,对于已经有经济实力的中年人来说，采用“等额本金还款法”效果比较理想。在收入高峰期多还款，就能减少今后的还款压力，并通过提前还款等手段来减少利息支出,。,但是，等额本息还款法操作起来比较简单，每月金额固定，不用再算来算去。,11/26/2024,数学建模,六、本讲小结,1.,等额本息还款计算公式,每月等额还本付息额,=,2.,等额本金还款计算公式,每月还款额,=,11/26/2024,数学建模,七、本讲练习题,1.,查阅国家最新商业贷款和公积金贷款的利率。,2.,按照公积金贷款最新利率,1-5,年的,XX%,，,6-30,年的,XX%,制定贷款一万元还款期限,30,年的还款计划表。,3.,按照按照商业贷款最新利率,(,没有浮动,)1-5,年的,XX%,，,6-30,年的,XX%,制定贷款一万元还款期限,30,年的还款计划表。,11/26/2024,数学建模,