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,单击此处编辑母,版,文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,单击此处编辑母,版,标题样式,第二类拉格朗日方程及其应用,第,8,章,2024年11月26日,第,1,节,第二类拉格朗日方程,广义坐标中的达伦伯,-,拉格朗日原理,理想完整约束,系统：广义坐标为,q,1,q,2,q,N,质点,i,矢径：,质系动力学普遍方程：,广义惯性力,完整系统,广义主动力和广义惯性力相互平衡！,拉格朗日关系式,对,t,求导,对 求导,对,q,k,求导,第二类拉格朗日方程,如主动力都是有势力：,第二类拉格朗日方程,L = T V ,拉格朗日函数,，或,动势,主动力为势力时的拉格朗日方程,主动力既有势力又有非势力,第二类拉格朗日方程,拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数，是最少量方程,不需要考虑理想约束的约束反力,只需要分析速度，不需分析加速度,拉格朗日方程是标量方程,拉格朗日方程的特点,应用拉格朗日方程的解题步骤为,判断系统是否为完整约束，主动力是否有势，以决定能否应用拉格朗日方程以及应用何种形式的拉格朗日方程。,确定系统的自由度数，选择合适的广义坐标。,按所选的广义坐标，写出系统动能、势能或广义力。,把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程应用举例,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为,m,的均质曲柄,AB,带动行星齿轮,II,在固定齿轮,I,上纯滚动。齿轮,II,的质量为,m,2,，半径为,r,2,。定齿轮,I,的半径为,r,1,。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为,M,的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。,例,1,取曲柄的转角,为广义坐标。,例,1,解,用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程,例,2,例,2,解,取,x,和,为广义坐标,系统的势能为,系统的动能为,系统的拉格朗日函数为,例,2,解,用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。,O,x,C,例,3,例,3,解,取,x,和,x,r,为广义坐标。,例,3,解,半径为,R,的圆环在力偶矩为,M,的力偶作用下以角速度,匀速转动，质量为,m,的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对,y,轴的转动惯量为,J,，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩,M,。,例,4,解除匀速转动约束，代之于约束反力。系统具有两个自由度，取,和,为广义坐标。,例,4,解,将约束条件 和 代入上式，即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩,M,为,例,4,解,已知：,m,M,k,a,。,求：系统运动微分方程。,例,5,例,5,解,选,x,x,r,为广义坐标,T H E E N D,返回,
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