经典MATLAB数据分析与多项式计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,MATLAB数据分析与多项式计算,1 数据统计处理,2 数据插值,3 曲线拟合,4 离散傅立叶变换,5 多项式计算,6.1 数据统计处理,6.1.1 最大值和最小值,MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。,1求向量的最大值和最小值,求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：,(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。,(2)y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。,求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。,例6-1 求向量x的最大值。,命令如下：,x=-43,72,9,16,23,47;,y=max(x)%求向量x中的最大值,y,l=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置,2求矩阵的最大值和最小值,求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：,(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。,(2)Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。,(3)max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。,求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。,例6-2 分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,3两个向量或矩阵对应元素的比较,函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：,(1)U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。,(2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。,min函数的用法和max完全相同。,例6-3 求两个23矩阵x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。,6.1.2 求和与求积,数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：,sum(X)：返回向量X各元素的和。,prod(X)：返回向量X各元素的乘积。,sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。,prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。,sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。,prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。,例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。,6.1.3 平均值和中值,求数据序列算术平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：,mean(X)：返回向量X的算术平均值。,median(X)：返回向量X的中值。,mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。,median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。,mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。,median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。,例6-5 分别求向量x与y的平均值和中值。,6.1.4 累加和与累乘积,在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：,cumsum(X)：返回向量X累加和向量。,cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。,cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。,cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。,cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。,cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,例6-6 求s的值。,6.1.5 标准方差与相关系数,1求标准方差,在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。,std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim),其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。区别：1就是最后除以n，而不是n1。缺省flag=0，dim=1。,例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。,2相关系数,MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相,关系数矩阵。,corrcoef函数的调用格式为：,corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。,corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与,corrcoef(X,Y)的作用一样。,例6-8 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。,命令如下：,X=randn(10000,5);,M=mean(X),D=std(X),R=corrcoef(X),6.1.6 排序,MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。,sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：,Y,I=sort(A,dim),其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,例6-9 对二维矩阵做各种排序。,6.2 数据插值,6.2.1 一维数据插值,在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：,Y1=interp1(X,Y,X1,method),函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。,method是最邻近插值，linear线性插值；,spline三次样条插值；,cubic立方插值缺省时表示线性插值,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,例6-10 用不同的插值方法计算在/2点的值。,MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,例6-11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。,设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：,h=6:2:18;,t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;,XI=6.5:2:17.5,YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算,6.2.2 二维数据插值,在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method),其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。,同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,例6-12 设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。,例6-13 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。,命令如下：,x=0:2.5:10;,h=0:30:60;,T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;,xi=0:10;,hi=0:20:60;,TI=interp2(x,h,T,xi,hi),6.3 曲线拟合,在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。,polyfit函数的调用格式为：,P,S=polyfit(X,Y,m),函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。,polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将在节中详细介绍。,例6-14 已知数据表t,y，试求2次拟合多项式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。,6.4 离散傅立叶变换,6.4.1 离散傅立叶变换算法简要,6.4.2 离散傅立叶变换的实现,一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：,(1)fft(X)：返回向量X的离散傅立叶变换。设X的长度(即元素个数)为N，若N为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。,(2)fft(X,N)：计算N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为N，若X的长度小于N，则不足部分补上零；若大于N，则删去超出N的那些元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。,(3)fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。只是当参数dim=1时，该函数作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于X的每一行。,值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。,相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。,例6-15 给定数学函数,x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t),取N=128，试对t从01秒采样，用fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。,在01秒时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率