变化率问题导数的概念

单击此处编辑母版文本样式,第一章 导数及其应用,第一章 导数及其应用,本 章 概 览,导数是高等数学的基础，是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、增长率以及用料最省、利润最大等实际问题的最有力的工具定积分也是微积分的核心概念之一，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变力做功等都可以归结为定积分的问题,本章中，利用丰富的背景和大量实例，学习导数和定积分的基本概念与思想方法；,通过导数研究了函数的性质(单调性、极值和最值)，解决了生活中的最优化问题等实践活动，并通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会了导数与定积分之间的内在联系,本章的重点有三个：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能运用导数公式、运算法则求导数；二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大(小)值和最大(小)值；三是利用导数的方法解决实际应用问题本章的难点有两个：一是对导数概念的理解、导数方法的应用；二是对定积分的定义、思想方法的认识.,变化率问题导数的概念,1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程,2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数,3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.,1.平均变化率,3函数,f,(,x,)在,x,x,0,处的导数,自我校对：,1.函数,y,f,(,x,)的自变量,x,由,x,0,改变到,x,0,x,时，函数值的改变量,y,为(),A,f,(,x,0,x,)B,f,(,x,0,),x,C,f,(,x,0,),x,D,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),解析：,分别写出,x,x,0,和,x,x,0,x,对应的函数值,f,(,x,0,)和,f,(,x,0,x,)，两式相减，就得到了函数值的改变量,y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,)，故应选D.,答案：,D,2若一质点按规律,s,8,t,2,运动，则在时间段22.1中，平均速度是(),A4 B4.1,C0.41 D1.1,答案：,B,3函数,f,(,x,)在,x,x,0,处的导数可表示为(),答案：,A,答案：,3,x,5求函数,y,x,2,在点,x,1处的导数,(1)函数,f,(,x,)在,x,1,，,x,2,处有定义；,(2),x,2,是,x,1,附近的任意一点，即,x,x,2,x,1,0，但,x,可正可负；,(3)注意变量的对应，若,x,x,2,x,1,，则,y,f,(,x,2,),f,(,x,1,)，而不是,y,f,(,x,1,),f,(,x,2,)；,(4)平均变化率可正可负，也可为零,2根据导数的定义，求函数,y,f,(,x,)在,x,0,处的导数的步骤,(1)求函数的增量,y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,)；,3对导数概念的理解,某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义：,(3)若设,x,2,x,1,x,.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义,解,f,(,x,)2,x,2,3,x,5，,y,f,(,x,1,x,),f,(,x,1,),2(,x,1,x,),2,3(,x,1,x,)5(2,x,3,x,1,5),2(,x,),2,2,x,1,x,3,x,2(,x,),2,(4,x,1,3),x,.,(2)当,x,1,4，,x,0.1时，,y,2,0.1,2,(4,43),0.10.021.91.92，,点拨,求函数,f,(,x,)的平均变化率的步骤是：,(1)根据,x,1,和,x,2,值写出自变量的增量,x,；,(2)由,y,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,1,x,),f,(,x,1,)计算函数增量；,例2,一质点的运动方程为,s,83,t,2,，其中,s,表示位移，,t,表示时间,(1)求质点在1,1,t,这段时间内的平均速度；,(2)求质点在,t,1时的瞬时速度,分析,通常以某一具体函数为载体，利用求导的,“,三步曲,”,，进行计算,解,解法一：(导数定义法),f,(2),y,|,x,2,1.,点拨,根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法,解,解法一：(导数定义法),例4,设函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导，试求下列各极限的值,分析,给出某抽象函数在某点,x,0,处可导的条件，求另一抽象函数在某点,x,0,处的导数，或求另一抽象函数在某点,x,0,处的极限,点拨在导数的定义中，增量,x,的形式是多种多样的，但不论,x,选择哪种形式，,y,也必须选择与之相对应的形式利用函数,f,(,x,)在,x,x,0,处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题,答案,22,只有当函数在某点的左导数、右导数同时存在并且相等时，才能说函数在该点处的导数存在，即函数在该点可导,点拨,判断,f,(,x,)在,x,1处的左导数、右导数是否同时存在且相等,