抛物线及其标准方程(河南省优质课)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,抛物线及其标准方程,在研究二次函数图象时有开口向上或向下两种情形的抛物线,.,y,x,o,初中的学习中我们认识,抛物线吗,?,在哪里学习过呢,?,生活中存在着各种形式的抛物线,卫星天线,探 照 灯,彗星轨迹,那么满足什么条件的点的轨迹是抛物线呢,?,观察图形发现抛物线是一种圆锥曲线,那么能不能用圆锥曲线的统一定义来定义它呢,?,思考,:,M,F,l,0,e,1,l,F,M,e,1,回忆,:,1.,圆锥曲线中椭圆定义是什么,?,2.,圆锥曲线中双曲线定义是什么,?,到一个定点,F,的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数,e(,0,e,1,),的动点,M,的轨迹,.,到一个定点,F,的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数,e(e,1,),的动点,M,的轨迹,.,当,e,=1,时，即,|,MF,|=|,MN,|,，点,M,的轨迹是什么？,.,F,l,N,M,思考,:,合作体验,:,如图,取一条长为,AC,的绳子,一端点固定在点,A,上,另一端点固定在定点,F,上,把笔尖放在,P,点上,沿着直线 上下移动三角形作出点,P,移动的轨迹图形,.,抛物线的定义,F,M,l,N,定点,F,叫做抛物线的,焦点,平面内到一个定点,F,和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做,抛物线,。,定直线 叫做抛物线的,准线,若,则点,M,的轨迹是抛物线,。,如何求,M,点,的轨迹方程？,F,M,l,H,想一想,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,F,M,l,N,想一想,:,如图,设定点,F,到定直线,l,的距离为,p,（,p,0,）,如何建立直角坐标系,求出点,M,的轨迹方程,?,x,y,o,F,M,l,N,K,F,M,l,N,K,F,M,l,N,K,定点,F,到定直线,l,的距离,(FK),为,p,（,p,0,）,x,y,o,x,y,o,（,1,）,由,|,MF,|=|,MN,|,，,得,即得,y,2,=2,px,-,p,2,（,2,）,由,|,MF,|=|,MN,|,，,得,即得,y,2,=2,px,设,M,（,x,，,y,）,（,3,）,由,|,MF,|=|,MN,|,得,即得,这些都是,M,点的轨迹方程,可见建系不同方程不同,那么哪个最简洁可以作为抛物线的标准方程呢,?,而,p,的几何意义是,:,焦点到准线的距离,把方程,y,2,=2,px,（,p,0,）,叫做抛物线的标准方程,其中 焦点,F,（，,0,），准线方程,x,=-,p,2,p,2,K,O,l,F,x,y,.,定义,:,一条抛物线，由于它在坐标平面内,的位置不同，方程也不同，所以抛物线,的标准方程还有其它形式,.,图形,标准方程,焦点坐标,准线方程,四种抛物线的标准方程对比,感悟归结,:,1,、,焦点在,一次项字母,对应的坐标轴上,.,3,、一次项的系数的,符号,决定了抛物线的 开口方向,.,2,、焦点坐标的,非零坐标,是一次项系数的,.,4,、准线方程对应的,数,是一次项系数的 的,相反数,.,例,1,已知抛物线的标准方程是,y,2,=6,x,，,求它的焦点坐标和准线方程；,解,:2,P,=6,P,=3,所以抛物线的焦点坐标是（，,0,）,准线方程是,x,=,是一次项系数的,是一次项系数的,的相反数,（,2,）,x,2,=,y,焦点坐标为（,0,，），,准线方程是,y=,解：（,1,）,x,2,=,y,，焦点坐标为（,0,，），,准线方程是,y=,变式,：,写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程：,（,1,）,6y+5,x,2,=0,；（,2,）,y=6,ax,2,（,a,0,）,.,感悟,：,求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程,例,2,已知抛物线的焦点坐标是,F,（,0,，,-2,）,求它的标准方程。,解,:,因为焦点在,y,的负半轴上,所以设所,求的标准方程为,x,2,=-2,p,y,由题意得 ，即,p,=4,所求的标准方程为,x,2,=-8y,分析,:,因为焦点坐标是（,0,，,-2,）,所以抛物线开口方向是,y,轴的负方向,它的方程形式为,x,2,=-2,p,y.,（,1,）焦点是,F,（,-2,，,0,），它的标准方程,_.,（,2,）准线方程是,y,=-2,，它的标准方程,_.,（,3,）焦点到准线的距离是,4,它的标准方程,_.,变式,:,y,2,=-8,x,x,2,=8,y,x,2,=8,y,、,y,2,=8,x,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例,3:,求过点,A,（,-3,，,2,）的抛物线的标准方程。,A,O,y,x,解,:,（,1,）,当抛物线的焦点在,y,轴,的正半轴上时，把,A,（,-3,，,2,）,代入,x,2,=2,py,，得,p,=,（,2,）当焦点在,x,轴的负半轴上时，,把,A,（,-3,，,2,）代入,y,2,=,-,2,px,，,得,p,=,抛物线的标准方程为,x,2,=,y,或,y,2,=,x,巩固提高：,已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程,先定位,，,后定量,实际应用,已知抛物线型拱桥的顶点距水面,2m,时测量水面宽为,8m,当水面升高,1m,后水面宽度为多少,?,解,:,如图,:,建立直角坐标系,设抛物线方程为,x,y,O,8,小 结 ：,1,、掌握抛物线的标准方程类型与图象的,对应关系以及判断方法,2,、掌握抛物线的定义,、,标准方程和它,的焦点坐标、准线方程,3,、注重数形结合和分类讨论的思想。,谢谢!,