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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章多指标决策,3.1,概述,3.2,多指标决策基本概念,3.3,指标的标准化处理,3.4 无信息的决策原则,3.5 线性加权和法,3.6加权系数的确定方法,3.7熵技术,3.1,概述,1,、单目标：实数大小比较，多目标：多维向量比较,2,、例,图,3.1,五个方案的比较,3.1,概述,(,续）,从图,3.1,可知，方案,1,、,2,和,3,可以被方案,4,和,5,淘汰。但是，方案,4,和,5,无法判断其优劣。此时，决策者有三个选择,1,）认为方案,4,和,5,都是好方案，从中任选一个方案进行实施,2,）认为方案,4,和,5,都是好方案，然后把它们再综合出一个新的好方案进行实施；,3,）根据某种意义的最优原则，继续从方案,4,和,5,中选择一个满意的方案进行实施。,用多目指标决策的术语，方案,1,、,2,和,3,称为劣解，方案,4,和,5,称为非劣解，又称有效解，决策者最后选择的那个实施方案称为满意解。,3,、多目指决策基本步骤,1,）从可行解中淘汰劣解；,2,）从非劣解集合中选取一个满意解,3.2,多指标决策基本概念,一、实例,考虑一个购买战斗机问题。现有,4,种飞机可供选择，决策者根据战斗机的性能和费用，考虑了,6,项评价指标。如表,3.1,所示。,表,3.1,购买战斗机问题决策矩阵,显然，这是一个多指标多方案的决策问题，决策者必须根据自己的偏爱，在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策。,3.2,多指标决策基本概念（续）,二、多指标决策和多目标规划,1,、多指标决策：具有多指标多方案的决策问题,2,、多目标规划：具有多个目标和约束条件的数学规划。,3,、多目标决策和多目标规划的差别：见表,3.2,所示。,多指标决策,其主要特征是具有有限个离散的方案。,它,在决策论、经济学、统计学、心理学、管理学科中有广泛的应用,。,3.2,多指标决策基本概念（续）,三,、,多指标决策三个构成要素,1、有,n,个评价指标,f,j,，（1,j,n）,2、,有,m,个决策方案,A,i,，（1,i,m）,3、,有一个决策矩阵,D=(x,i,j,),m,n,，（1,i,m，1,j,n）,四、解的意义,定义1 单指标排序下的最,大,值和最,小,值,（,假定多指标都是求,max）,3.2,多指标决策基本概念（续）,定义2 理想点,F*,和最优解,A*,令,F,*,=(f,1,*,f,2,*,.,f,n,*,)，,称,F,*,为多指标决策的理想点。如果在,m,个备选方案中，方案,A*,的,n,个指标恰好等于,f,j,*,，,则,A*,就是最优解.,定义3 优势原则和劣解 如果2个备选方案,A,s,和,A,t,有关系式,则称方案,A,s,优于,A,t,，,记为,A,s,A,t,，,这时方案,A,t,就是劣解，可将其淘汰。,定义4 非劣解 对于某一方案,A,k,，,如果不存在其他方案,A,i,优于它(,i=1,2,.,m,i,k)，,则称,A,k,为非劣解，或称有效解,3.2,多指标决策基本概念（续）,定义5 满意解 根据决策者的偏好信息，从非劣解中选择出来最优非劣解，一般来说它总是某种意义下的最优非劣解,推论1 如果,m,个方案只有一个非劣解，则其它,m-1,个方案一定是劣解,推论2 如果,m,个方案只有,r,个非劣解，则其它,m-r,个方案一定是劣解（1,r,m）,五,、非劣解的平均个数,表 3.3 非劣解的平均数,N,与方案个,m,和指标数,n,统计关系表,3.3,指标的标准化处理,一、标准化处理方法,假定原决策矩阵为,D=(x,i j,),m,n,，,经过标准化处理后得到的矩阵为,R=(r,i j,),m,n,1、,向量归一化,优点：1）0,r,i j,1,（1,i,m，1,j,n）,2）,对于每一个指标,f,j,，,矩阵,R,中列向量的模为1,3.3,指标的标准化处理,（,续）,2、线性比例变换,优点 1）0,r,i j,1,（1,i,m，1,j,n）,2）,计算方便 3）保留了相对排序关系,3、极差变换,优点 1）0,r,i j,1,（1,i,m，1,j,n）,2）,对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为0,3.3,指标的标准化处理,（,续）,二、模糊指标变量化,1、效益指标,2、成本指标,图3.2 模糊效益指标的量化,图3.3 模糊成本指标的量化,3.3,指标的标准化处理,（,续）,三、计算实例,考虑一个购买战斗机为题，有4种飞机，选择评价指标有6个。如3.1节中表3.1所示。试对这些指标进行标准化处理。,表,3.1,购买战斗机问题决策矩阵,3.3,指标的标准化处理,（,续）,1,、,定性指标量化,首先将第5个指标（可靠性）和第6个指标（灵敏度）进行定量化处理。这两个都是效益指标。根据图3.2可知，它们的量化值如表3.4。,表3.4 可靠性和灵敏度指标的量化,3.3,指标的标准化处理,（,续）,1）采用向量归一化处理公式，可得,3.3,指标的标准化处理,（,续）,2）采用线性比例变换公式，可得,3.3,指标的标准化处理,（,续）,2）采用线性比例变换公式，可得,3.4 无信息的决策原则,一、最大最小原则（,Max Min,）,如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为,按最大最小原则得到,所以最优方案,A,*,=A,3,3.4 无信息的决策原则,（,续）,二、最大最大原则（,Max Max,）,如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得,所以，最优方案,A,*,=A,1,或,A,*,=A,2,或,A,*,=A,3,3.4 无信息的决策原则,（,续）,三、折中系数法,如取,=0.6,，则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得,所以最优方案,A,*,=A,3,。,3.5,线性加权和法,1,、,加权,公式：,线性加权和法,是在标准化决策矩阵,R=(r,i j,),m,n,基础上进行的，它先对,n,个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数,然后,按如下原则选择满意方案,A,*,：,如在购买战斗机问题中，分别取6个指标的重要性权系数为,w,1,=0.2，w,2,=0.1，w,3,=0.1，w,4,=0.1，w,5,=0.2，w,6,=0.3，,则，,则根据其标准化决策矩阵可得,U(A,1,)=0.835 U(A,2,)=0.709 U(A,3,)=0.852 U(A,4,)=0.738,Max U(A,1,)，U(A,2,)，U(A,3,)，U(A,4,)=U(A,3,)=0.702,所以最优方案,A,*,=A,3,。,3.6,加权系数的确定方法,一、专家法,1,、分别填表并计算有关参数,表,3.5,指标权系数计算表,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,2,、开会讨论,首先让那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分讨论以达到对各目标重要性的比较一致的认识。,二、二项系数加权法,假设已知,n,个指标重要性的优先序。不失一般性，我们可按对称的方式将给定的优先序重新调整，使得中间位置的指标最重要，同时重要性分别向两边递减。则当,n=2k,时，排序为,而当,n=2k+1,时排序为,令二项展开式的各项系数作为着,n,个指标的权系数,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,三、相对比较法,如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程度，则可采用相对比较法确定各指标的权系数。例如将指标,f,1,和,f,2,进行比较，如果决策认为指标,f,1,的重要性程度是指标,f,2,的四倍，则取,w,12,=0.8，w,21,=0.2。,其余类推。并令,w,jj,=0，j=1,2,.,n。,这样，各指标的权系数可按如下公式确定。,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,例：,4,种电报设备选择,假设某工厂要新投产一电报设备，选定4个评价指标为造价、功耗、速率和可靠性。共制作了4种样机。现要决定其中一种进行批量生产。4种样机的各项指标如表3.7.,表3.7 4种样机的各项指标表,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,解、1）指标成标准化 先利用线性比例变换将上表的各方案指标变换成标准化决策矩阵，如表3.8所示。其中，造价和功耗为成本指标，速率和可靠性为效益指标。,表3.8 4种样机的各项指标的标准化值表,3.6,加权系数的确定方法,（,续）,2）确定各指标的权系数,假设各指标的两两相对重要性程度如表3.9所示,表3.9 各指标的两两相对重要性程度表,根据表3.9的各指标的两两相对重要性程度，,可得,w,1,=(0.6+0.7+0.8)/6=0.350,w,2,=(0.4+0.6+0.7)/6=0.283,w,3,=(0.3+0.4+0.6)/6=0.217,w,4,=(0.2+0.3+0.4)/6=0.150,3）,求各方案的综合评价值,（,利用线性加权和公式,）,U(A,1,)=0.756 U(A,2,)=0.7332 U(A,3,)=0.645 U(A,4,)=0.580,Max U(A,1,)，U(A,2,)，U(A,3,)，U(A,4,),=Max 0.756,0.7332,0.645,0.580=0.756,所以最优方案,A,*,=A,1,。,3.7熵技术,熵技术是确定多指标决策问题中各指标权系数的一种方法。它是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数。考虑,m,个方案，,n,各指标的多指标决策问题的决策矩阵,D,则利用熵技术确定各目标的权系数步骤如下：,1,、由标准化,决策矩阵,R=(r,i j,),m,n,求,P,i j,2、求指标,f,j,输出的熵,3、求偏差度,d,j,=1-E,j,j=1,2,n,4、,求各目标的权系数,w,j,，,当决策者没有明显偏好时的权系数,5、利用,w,j,求修正权系数,j,假设决策者对指标,f,j,已有一偏好的权系数,j,，,则可利用,w,j,进一步修正权重,j,，,得到较准确地估计,6、例购买战斗机问题的标准化决策矩阵为,1）求,P,i j,2)分别计算每个指标,f,j,的熵,E,j,偏离度,d,j,及权重,w,j,3)如果决策者对6个指标已有如下优先权重,=（0.2，0.1，0.1，0.1，0.2，0.3),则可得,=（0.0657，0.1041，0.0067，0.0420，0.3616，0.4199),
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