傅里叶变换与系统的频域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,西安电子科技大学电路与系统教研中心,第4-,138,页,电子教案,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、正交函数集,二、信号分解为正交函数,4.2 周期信号的傅里叶级数,一、周期信号的分解,二、奇、偶函数的傅里叶级数,三、傅里叶级数的指数形式,4.3 周期信号的频谱,一、周期信号的频谱,二、周期矩形脉冲的频谱,三、周期信号的功率,4.4 非周期信号的频谱,一、傅里叶变换,二、奇异函数的傅里叶变换,点击目录 ，进入相关章节,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性,二、奇偶性,三、对称性,四、尺度变换,五、时移特性,六、频移特性,七、卷积定理,八、时域微分和积分,九、频域微分和积分,十、相关定理,4.6 能量谱和功率谱,一、能量谱,二、功率谱,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.7 周期信号的傅里叶变换,一、正、余弦函数的傅里叶变换,二、一般周期函数的傅里叶变换,三、傅里叶系数与傅里叶变换,4.8 LTI系统的频域分析,一、频率响应,二、无失真传输,三、理想低通滤波器的响应,4.9 取样定理,一、信号的取样,二、时域取样定理,三、频域取样定理,点击目录 ，进入相关章节,4.10 序列的傅里叶分析,一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS),二、非周期序列的离散时间傅里叶,变换(DTFT),4.11 离散傅里叶变换及其性质,一、离散傅里叶变换(DFT),二、离散傅里叶变换的性质,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于,欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。,1807,年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。,1822,年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。,傅里叶分析等理论均由此创始。,（傅里叶级数（即三角级数）、,傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）,其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。,傅里叶简介,4.1 信号分解为正交函数,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,时域分析的要点,是，以,冲激函数,为,基本信号,，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而,y,f,(,t,) =,h,(,t,)*,f,(,t,)。,本章将以,正弦信号,和,虚指数信号,e,jt,为,基本信号,，任意输入信号可分解为一系列,不同频率,的正弦信号或虚指数信号之和。,这里用于系统分析的独立变量是,频率,。故称为,频域分析,。,矢量,V,x,= (,v,x1,v,x2,v,x3,)与,V,y,= (,v,y1,v,y2,v,y3,)正交的定义：,其,内积,为0。即,4.1 信号分解为正交函数,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为,正交矢量集。,如三维空间中，以矢量,v,x,=,（,2，0，0）、,v,y,=（0，2，0）、,v,z,=（0，0，2),所组成的集合就是一个,正交矢量集,。,例如,对于一个三维空间的矢量,A =(2，5，8),，可以用一个三维正交矢量集,v,x,，,v,y,，,v,z,分量的线性组合表示。即,A,=,v,x,+ 2.5,v,y,+ 4,v,z,矢量空间正交分解的概念可推广到,信号,空间,：在信号空间找到若干个,相互正交的信号,作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1 信号分解为正交函数,4.1 信号分解为正交函数,二、信号正交与正交函数集,1. 定义：,定义在(,t,1,，,t,2,)区间的两个函数,1,(,t,)和,2,(,t,),若满足,(两函数的内积为0),则称,1,(,t,)和,2,(,t,) 在,区间(,t,1,，,t,2,),内,正交,。,2. 正交函数集：,若,n,个函数,1,(,t,)，,2,(,t,)，,n,(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(,t,1,，,t,2,)内满足,则称此函数集为在,区间(,t,1,，,t,2,),上的,正交函数集,。,4.1 信号分解为正交函数,3. 完备正交函数集：,如果在正交函数集,1,(,t,)，,2,(,t,)，,n,(,t,)之外，不存在任何函数,(,t,)(0）满足,则称此函数集为,完备正交函数集,。,例如：,三角函数集,1，cos(,nt,)，sin(,nt,)，,n,=1,2, 和,虚指数函数集,e,jnt,，,n,=0，1，2，是两组典型的在区间(,t,0,，,t,0,+,T,)(,T,=2/)上的完备正交函数集。,(,i,=1，2，,n,),4.1 信号分解为正交函数,三、信号的正交分解,设有,n,个函数,1,(,t,)，,2,(,t,)，,n,(,t,)在区间(,t,1,，,t,2,)构成一个正交函数空间。将任一函数,f,(,t,)用这,n,个正交函数的线性组合来近似，可表示为,f,(,t,),C,1,1,+,C,2,2,+,C,n,n,问题：,如何选择各系数,C,j,使,f,(,t,)与近似函数之间误差在区间(,t,1,，,t,2,)内为最小。,通常使误差的方均值(称为,均方误差,)最小。均方误差为：,4.1 信号分解为正交函数,为使上式最小（系数,C,j,变化时），有,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：,即：,所以系数,4.1 信号分解为正交函数,代入，得最小均方误差,在用正交函数去近似,f,(,t,)时，所取得项数,越多,，即,n,越大，则均方误差,越小,。当,n,时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为,(Parseval),帕斯瓦尔方程（公式）,，表明：在区间(,t,1,t,2,)，,f,(,t,)所含能量恒等于,f,(,t,)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数,f,(,t,)可分解为无穷多项正交函数之和,4.2 傅里叶级数,4.2 周期信号的傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号,f,(,t,)，其周期为T，角频率,=2,/T，当满足,狄里赫利,(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为,f,(,t,)的,傅里叶级数。,系数,a,n,b,n,称为,傅里叶系数。,可见，,a,n,是,n,的偶函数，,b,n,是,n,的奇函数。,4.2 傅里叶级数,式中，A,0,=,a,0,上式,表明,：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。,其中，,A,0,/2为,直流分量,；,A,1,cos(,t,+,1,)称为,基波或一次谐波,，它的角频率与原周期信号相同；,A,2,cos(2,t,+,2,)称为,二次谐波,，它的频率是基波的2倍；,一般而言，,A,n,cos(,n,t,+,n,)称为,n,次谐波,。,可见,A,n,是,n,的偶函数，,n,是,n,的奇函数。,a,n,=,A,n,cos,n,，,b,n,= ,A,n,sin,n,，,n,=1,2,将上式同频率项合并，可写为,4.2 傅里叶级数,例1,：将图示方波信号,f,(,t,)展开为傅里叶级数。,解：,考虑到,=2,/T，可得：,4.2 傅里叶级数,信号的傅里叶级数展开式为：,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,二、波形的对称性与谐波特性,1,.,f,(,t,)为偶函数对称纵坐标,b,n,=0，展开为余弦级数。,2,.,f,(,t,)为奇函数对称于原点,a,n,=0，展开为正弦级数。,实际上，任意函数,f,(,t,)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即,f,(,t,) =,f,od,(,t,) +,f,ev,(,t,),由于,f,(-,t,) =,f,od,(-,t,) +,f,ev,(-,t,) = -,f,od,(,t,) +,f,ev,(,t,) 所以,4.2 傅里叶级数,3,.,f,(,t,)为奇谐函数,f,(,t,),=,f,(,t,T/2),此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：,a,0,=,a,2,=,b,2,=,b,4,=0,4,.,f,(,t,)为偶谐函数,f,(,t,),=,f,(,t,T/2),此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即,a,1,=,a,3,=,b,1,=,b,3,=0,4.2 傅里叶级数,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式,的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用,指数形式,的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cos,x,=(,e,jx,+,e,jx,)/2,上式中第三项的,n,用,n,代换，,A, n,=A,n,，, n,= ,n,，,则上式写为,4.2 傅里叶级数,令,A,0,=,A,0,e,j,0,e,j,0,t,，,0,=0,所以,令复数,称其为,复傅里叶系数,，简称傅里叶系数。,4.2 傅里叶级数,n = 0, 1, 2，,表明：,任意周期信号,f,(,t,)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。,F,n,是频率为,n,的分量的,系数，,F,0,=,A,0,/2为直流分量。,4.2 傅里叶级数,例2,：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。,解：,4.2 傅里叶级数,指数型傅里叶级数为：,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种,特征量,随信号频率变化的关系，称为,信号的频谱,，所画出的图形称为信号的,频谱图,。,周期信号的频谱,是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即,将A,n,和,n,的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为,振幅频谱图,和,相位频谱图,。因为n0，所以称这种频谱为,单边谱,。,也可画|F,n,|和,n,的关系，称为,双边谱,。若F,n,为实数，也可直接画F,n,。,4.3 周期信号的频谱,例：,周期信号,f,(,t,) =,试求该周期信号的基波周期,T,，基波角频率,，画出它的单边频谱图，并求,f,(,t,) 的平均功率。,解,首先应用三角公式改写,f,(,t,)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T,1,= 8,的周期T,2,= 6,所以f(t)的周期,T = 24,，基波角频率,=2/T = /12,根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=,4.3 周期信号的频谱,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出,f,(,t,)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：,4.3 周期信号的频谱,二、周期信号频谱的特点,举例：,有一幅度为1，脉冲宽度为,的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令,Sa,(,x,)=sin(,x,)/,x,(,取样函数,）,4.3 周期信号的频谱, n = 0 ,1，2，,F,n,为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,所以,，,m,为整数。,特点,：,(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,(a) T一定，,变小，此时,（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：,1,/,=（2,/,）/(2,/T)=T/,增多。,(b),一定，T增大，间隔,减小，频谱变密。幅度减小。,如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的,离散频谱,就过渡到非周期信号的,连续频谱,。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,4.2 傅里叶级数,三、周期信号的功率Parseval等式,含义：,直流和,n,次谐波分量在1,电阻上消耗的平均功,率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,表明：,对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在,频域中求得的信号功率相等。,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。,前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔,趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。,为了描述非周期信号的频谱特性，引入,频谱密度,的概念。令,(单位频率上的频谱）,称,F(j)为频谱密度函数,。,4.4 傅里叶变换,考虑到：T，无穷小，记为,d,；,n ,（由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式“,-,”,傅里叶反变换式“+”,F(j)称为f(t)的,傅里叶变换,或,频谱密度函数,，简称,频谱,。,f(t)称为F(j)的,傅里叶反变换,或,原函数,。,根据傅里叶级数,4.4 傅里叶变换,也可简记为,F(j) =,F,f(t),f(t) =,F,1,F(j),或,f(t) F(j),F(j)一般是复函数，写为,F(j) = | F(j)|e,j,(),= R() + jX(),说明：,(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数,f,(,t,)的傅里叶变换存在的,充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数,f(t) = e,t,(t),，,0,2. 双边指数函数,f(t) = e,t,0,4.4 傅里叶变换,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数,(t)、,(t),4.4 傅里叶变换,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，,(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。,可构造一函数序列f,n,(t)逼近f,(t),，即,而f,n,(t)满足绝对可积条件，并且f,n,(t)的傅里叶变换所形成的序列F,n,(j,)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F,(j,)为,这样定义的傅里叶变换也称为,广义傅里叶变换,。,4.4 傅里叶变换,构造,f,(t)=e,-,t,，, 0,所以,又,因此，,12(),另一种求法,： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,6. 符号函数,4.4 傅里叶变换,7. 阶跃函数,(t),构造,4.4 傅里叶变换,归纳记忆：,1.,F,变换对,2. 常用函数,F,变换对：,(,t,),(,t,),e,-,t,(,t,),g,(,t,),sgn,(,t,),e,|,t,|,(,t,),1,1,2,(,),4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),Proof:,then,If,4.5 傅里叶变换的性质,For example,F,(,j,) = ?,Ans,:,f,(t) =,f,1,(,t,) ,g,2,(,t,),f,1,(,t,) = 1 2(),g,2,(t) 2Sa(),F,(,j,) = 2(),-,2Sa(),-,4.5 傅里叶变换的性质,二、奇偶性(Parity),If,f,(,t,) is real, then,So that,(1),R,()=,R,() ,X,() = ,X,(),|,F,(,j,)| = |,F,(,j,)| ,() = ,(),(2) If,f,(,t,) =,f,(-,t,) ,then,X,() = 0,F,(,j,) =,R,(),If,f,(,t,) = -,f,(-,t,) ,then,R,() = 0,F,(,j,) =,jX,(),4.5 傅里叶变换的性质,三、对称性(Symmetrical Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,（1）,in (1),t,，,t,then,（2）,in (2) ,-, then,F,(,jt,) 2,f,() end,F,( j,t,) 2,f,(),4.5 傅里叶变换的性质,For example,F,(j) = ?,Ans:,if,=1,4.5 傅里叶变换的性质,四、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,where “,a,”,is a nonzero real constant.,Proof:,F,f,(,a t,) =,For,a, 0,F,f,(,a t,) ,for,a, 0,F,f,(,a t,) ,That is,f,(,a,t,) ,Also,letting,a,=,-,1,f,(,- t,) ,F,(,-,j,),4.5 傅里叶变换的性质,For example,f,(t) = ,F,(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a =,-,1,so that,4.5 傅里叶变换的性质,五、时移性质(Time shifting Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,where,“,t,0,” is real constant.,Proof,:,F,f,(,t,t,0,) ,4.5 傅里叶变换的性质,For example,F,(j) = ?,f,1,(,t,) =,g,6,(,t,-5) ,f,2,(,t,) =,g,2,(,t,-5),g,6,(,t,- 5) ,g,2,(,t,- 5) ,F,(j) =,+,Ans,:,f,(,t,) =,f,1,(,t,) +,f,2,(,t,),4.5 傅里叶变换的性质,For example,Given that,f,(t),F,( j), find,f,(at b) ?,Ans:,f,(t b),e,-,jb,F,( j),f,(at b) ,or,f,(at) ,f,(at b) =,4.5 傅里叶变换的性质,六、频移性质(Frequency Shifting Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,where,“,0,” is real constant.,F,e,j,0,t,f,(,t,),= F, j(,-,0,) end,For example 1,f,(t) = e,j3t,F,(j) = ?,Ans:,1 2(),e,j3t,1 2(,-,3),4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,f,(t) = cos,0,t,F,(j) = ?,Ans:,F,(j) = (-,0,)+ (,+,0,),For example 3,Given that,f,(t) ,F,(j),The modulated signal,f,(t) cos,0,t ,?,4.5 傅里叶变换的性质,七、卷积定理(Convolution Property),1、Convolution in time domain：,If,f,1,(,t,) ,F,1,(j)，,f,2,(,t,) ,F,2,(j),Then,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,) ,F,1,(j),F,2,(j),2、Convolution in frequency domain：,If,f,1,(,t,) ,F,1,(j)，,f,2,(,t,) ,F,2,(j),Then,f,1,(,t,),f,2,(,t,) ,F,1,(j)*,F,2,(j),4.5 傅里叶变换的性质,Proof:,Using time shifting,So that,4.5 傅里叶变换的性质,For example,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里叶变换的性质,八、时域的微分和积分,(Differentiation and Integration in time domain),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,f,(n),(t) =,(n),(t)*f(t) (j ),n,F,(j),f,(,-,1),(t)=,(t)*f(t) ,4.5 傅里叶变换的性质,f(t)= 1/t,2,?,For example 1,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,Given that f,(t),F,1,(j),Proof,f (t),F,1,(j) +,f(-)+ f()(),Proof,So,Summary:,if,f,(n),(t),F,n,(j)，and,f(-)+ f() = 0,Then,f (t),F,(j) =,F,n,(j)/ (j),n,4.5 傅里叶变换的性质,For example 3,Determine f (t),F,(j),Ans:,f ”(t) =,(t+2) 2 (t) + (t 2),F,2,(j)=,F,f ”(t) = e,j2, 2 + e,j2,= 2cos(2) 2,F,(j) =,Notice:,d(t)/dt = (t), 1,(t), 1/(j),4.5 傅里叶变换的性质,九、频域的微分和积分,(Differentiation and Integration in frequency domain),If,f,(,t,) ,F,(j) then,(,jt,),n,f,(,t,) ,F,(,n,),(,j,),where,For example 1,Determine,f,(,t,) =,t,(,t,),F,(j)=?,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,Notice:,t,(t),=,(t),*,(t),Its wrong,.,Because,(,),(,) and (1/j,),(,) is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,十、相关定理(,Correlation Theorem,),If,then,Proof:,两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这就是,相关定理,。对自相关函数：,4.6 能量谱和功率谱,4.6 能量谱和功率谱,一、能量谱,1. 信号能量的定义：,时间（-,）区间上信号的能量。,信号(电压或电流),f,(,t,)在1,电阻上的瞬时功率为|,f,(,t,)|,2,在区间（-,T,T）的能量为,如果信号能量有限，即0E,，信号称为能量有限信号，简称,能量信号,。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。,证明:,4.6 能量谱和功率谱,2. 帕斯瓦尔方程,（能量方程）：,4.6 能量谱和功率谱,在频带,df,内信号的能量为,E,(,),df,，因而信号在整个频率区间（-, ）的总能量为：,上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱,E,(,) 为：,3. 能量密度谱,E,(,)：,(Energy-density Spectrum),为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为,能量频谱,或,能量谱,。,能量频谱,E,(,),定义为单位频率的信号能量。,例,1,：,计算信号的能量,解:,4.6 能量谱和功率谱,由,相关定理,：,信号的能量谱,E,(,) 与自相关函数,R,(,)是一对傅里叶变换,信号的能量谱,E,(,) 是的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。,单位：,Js。,4.6 能量谱和功率谱,二、功率谱,由信号能量和功率的定义可知，若信号能量,E,有限，则,P,=0；若信号功率,P,有限，则,E,=,。,1. 信号功率：,定义为时间（-,）区间上信号,f,(,t,)的,平均功率，用,P,表示。,如果信号功率有限，即0,P,，信号称为功率有限信号，简称,功率信号,。如阶跃信号，周期信号等。,如果,f,(,t,)为实函数，则,4.6 能量谱和功率谱,功率有限信号的能量趋于无穷大，即,从,f,(,t,)中截取|,t,|,T,/2的一段，得到一个截尾函数,f,T,(,t,)，它可以表示为：,如果,T,是有限值，则,f,T,(,t,)的能量也是有限的。令,f,T,(,t,)的能量,E,T,可表示为：,由于,4.6 能量谱和功率谱,f,(,t,)的平均功率为：,当T增加时，,f,T,(,t,)的能量增加，|,F,T,(,j,) |,2,也增加。当T时，,f,T,(,t,) ,f,(,t,) ，此时|,F,T,(,j,) |,2,/T可能趋于一极限。,比较得：,2.,功率密度谱：,类似于能量密度谱，定义功率密度谱,函数,P,(,) 为单位频率的信号功率。从而平均功率：,4.6 能量谱和功率谱,信号的功率谱,P,(,) 是的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。,单位：,Ws。,自相关函数：,3.,功率密度谱与自相关函数的关系：,若,f,1,(,t,)和,f,2,(,t,)是,功率有限信号,，此时相关函数的定义为：,4.6 能量谱和功率谱,两边取傅里叶变换，得：,比较前面推导：,功率有限信号的功率谱函数,P,(,) 与自相关函数,R,(,)是一对傅里叶变换。,4.7 周期信号的傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,一、正、余弦的傅里叶变换,12(),由频移特性得,e,j ,0,t, 2(,0,),e,j ,0,t, 2(+,0,),cos(,0,t)=,(e,j ,0,t,+ e,j ,0,t,)/2 ,(,0,) +(+,0,),sin(,0,t)=,(e,j ,0,t,+ e,j ,0,t,)/(2j) ,j(+,0,) ( ,0,),4.7 周期信号傅里叶变换,二、一般周期信号的傅里叶变换,例1,：周期为T的单位冲激周期函数,T,(t)=,解,：,(1),4.7 周期信号傅里叶变换,例2,：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解,：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f,0,(t)的周期拓展。即,f(t) =,T,(t)* f,0,(t),F(j) = ,() F,0,(j),F(j) =,本题 f,0,(t) = g,2,(t),(2),(2)式与上页(1)式比较，得,这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。,4.7 复习：傅里叶变换,归纳记忆：,1.,F,变换对,2. 常用函数,F,变换对：,(,t,),(,t,),e,-,t,(,t,),g,(,t,),sgn,(,t,),e,|,t,|,(,t,),1,1,2,(,),4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其,基本信号,为 e,j,t,一、基本信号,e,j,t,作用于LTI系统的响应,说明,：频域分析中，信号的定义域为(，)，而t= 总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。,4.8 LTI系统的频域分析,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号e,j,t,时，其响应,而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j,)，常称为系统的频率响应函数。所以：,y(t) = H(j,) e,j,t,H(j,)反映了响应y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* e,j,t,4.8 LTI系统的频域分析,二、一般信号,f,(,t,),作用于LTI系统的响应,e,j,t,H(j,) e,j,t,F(j,) d,e,j,t,F(j,)H(j,) d,e,j,t,齐次性,可加性,f(t),y(t) =,F,1,F(j,)H(j,) ,Y(j,) = F(j,),H(j,),4.8 LTI系统的频域分析,频率响应,H(j,)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j,)与激励f(t)的傅里叶变换F(j,)之比，即,H(j,),称为,幅频特性,（或,幅频响应,）；,(),称为,相频特性,（或,相频响应,）。,H(j,),是,的偶函数，,(,)是,的奇函数。,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,4.8 LTI系统的频域分析,对周期信号还可用傅里叶级数分析法：,周期信号,若,则,可推导出,4.8 LTI系统的频域分析,例,：某LTI系统的,H(j,),和()如图，,若,f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t),，求系统的响应。,解法一,：用傅里叶变换,F(j,) = 4() + 4(5) + (+5),+ 4(10) + (+10),Y(j,) = F(j,)H(j,) =,4() H(0) + 4(5) H(j,5,) + (+5) H(-j,5,),+ 4(10) H(j,10,) + (+10) H(-j,10,) ,H(j,),=,H(j,),e,j(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) =,F,-1,Y(j,) = 2 + 2sin(5t),4.8 LTI系统的频域分析,解法二,：用三角傅里叶级数分析法求解,f(t)的基波角频率 =5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(,t) + 4cos(2,t),H(0) =1， H(j) = 0.5e,-j0.5,， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(,t 0.5,),=,2 + 2sin(5t),4.8 LTI系统的频域分析,三、频率响应,H(j,)的求法,1.,H(j,) =,F,h(t),2.,H(j,) = Y(j,)/F(j,),由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。,由电路直接求出。,例1,：某系统的微分方程为,y,(t) + 2y(t) = f(t),求f(t) = e,-t,(t)时的响应y(t)。,解,：微分方程两边取傅里叶变换,j,Y(j,) + 2Y(j,) = F(j,),4.8 LTI系统的频域分析,f(t) = e,-t,(t),Y(j,) = H(j,)F(j,),y(t) = (e,-,t, e,-,2t,)(t),例2,：如图电路，R=1，C=1F，以u,C,(t)为输出，求其h(t)。,解,：画电路频域模型,h(t)= e,-,t,(t),4.8 LTI系统的频域分析,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是,信号的传输,，一类是,滤波,。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）,定义,：信号,无失真传输,是指系统的输出信号与输入信号相比，只有,幅度的大小,和,出现时间的先后不同,，而没有波形上的变化。即,输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为,y(t) = K f(tt,d,),其频谱关系为,Y(j,)=Ke, j,t,d,F(j,),4.8 LTI系统的频域分析,系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j,)的要求是：,(a),对h(t)的要求,：,h(t)=K,(t t,d,),(b),对H(j,)的要求,：,H(j,)=Y(j,)/F(j,)=Ke,-,j,t,d,即,H(j,),=K ,(,)= ,t,d,上述是信号无失真传输的,理想,条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2),无失真传输条件,：,4.8 LTI系统的频域分析,例,：系统的幅频特性|,H,(j,)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A),f,(,t,) = cos(,t,) + cos(8,t,),(B),f,(,t,) = sin(2,t,) + sin(4,t,),(C),f,(,t,) = sin(2,t,) sin(4,t,),(D),f,(,t,) = cos,2,(4,t,),4.8 LTI系统的频域分析,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为,理想低通滤波器,。,c,称为截止角频率。,理想低通滤波器的频率响应可写为：,(1),冲激响应,h(t)=,-,1,g,2,c,(,)e,-jt,d, =,可见，它实际上是,不可实现的非因果系统 (why?),。,4.8 LTI系统的频域分析,(2),阶跃响应,g(t)=h(t)*,(t)=,经推导，可得,称为正弦积分,特点,：有明显失真，只要,c,，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为,吉布斯现象,。,g,max,=0.5+Si()/=1.0895,4.8 LTI系统的频域分析,3、物理可实现系统的条件,就,时域特性,而言，一个,物理可实现的系统,，其冲激响应在t0时必须为0，即 h(t)=0 ,t0,即,响应不应在激励作用之前出现,。,就,频域特性,来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为,佩利-维纳准则,。（,必要条件,）,从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,4.9 取样定理,4.9 取样定理,取样定理,论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用,离散样本值,表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理,在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁,。为其互为转换提供了理论依据。,一、信号的取样,所谓“,取样,”就是利用,取样脉冲序列s(t),从连续信号,f,(,t,)中“抽取”一系列,离散样本值,的过程。,这样得到的离散信号称为,取样信号,。,4.9 取样定理,如图一连续信号,f,(,t,),用取样脉冲序列,s,(,t,)(,开关函数,）进行取样，,取样间隔,为,T,S,，,f,S,=1/,T,S,称为,取样频率,。,得取样信号,f,S,(,t,) =,f,(,t,),s,(,t,),取样信号,f,S,(,t,)的频谱函数为,F,S,(,j,)=(1/2,),F,(,j,)*,S,(,j,),4.9 取样定理,冲激取样,若s(t)是周期为T,s,的冲激函数序列,Ts,(t),则称为,冲激取样,。,如果f(t) 是,带限信号,即f(t)的频谱只在区间（,-,m,，,m,)为有限值，而其余区间为0 。,设f(t)F(j,)，取样信号f,S,(t)的频谱函数,F,S,(j,)= (1/2,)F(j,)* ,S,s,(),S,=2/T,S,s(t)=,Ts,(t) ,S,s,(),4.9 取样定理,=,*,=,上面在画取样信号f,S,(t)的频谱时，设定,S,2,m,这时其频谱,不发生混叠,，因此能设法(如利用低通滤波器)，从,F,S,(j,)中取出F(j,)，即,从f,S,(t)中恢复原信号f(t),。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。,4.9 取样定理,二、时域取样定理,当,S,2,m,时，将取样信号通过下面的低通滤波器,其截止角频率,C,取,m,C,S,-,m,。即可恢复原信号。,由于 f,s,(t)= f(t)s(t) = f(t),H(j,) h(t) =,为方便，选,C,= 0.5,S,则Ts,C,/=1,4.9 取样定理,所以,根据f(t)=f,S,(t)*h(t) ，有,只要已知各取样值f(nT,s,),就出唯一地确定出原信号f(t)。,时域取样定理,：,一个频谱在区间（-,m,，,m,)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔T,s,T,s,2f,m,，,或者说，,取样间隔不能太大，必须T,s,1/(2f,m,);,否则将发生混叠。,通常把最低允许的取样频率,f,s,=2,f,m,称为,奈奎斯特（Nyquist)频率,，把最大允许的取样间隔,T,s,=1/(2,f,m,)称为奈奎斯特间隔。,频域取样定理,：,根据,时域与频域的对偶性,，可推出频域取样定理。,一个在时域区间（,-,t,m,t,m,)以外为0的,时限信号,f,(,t,)的频谱函数,F,(,j,)，可唯一地由其在均匀频率间隔,f,s,f,s,1/(2,t,m,)上的样值点,F,(,jn,s,)确定。,4.9 取样定理,例1,有限频带信号,f,1,(,t,)的最高频率为,m1,(,f,m1,),，,f,2,(,t,)的最高频率为,m2,(,f,m2,),，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率,f,s,与奈奎斯特间隔,T,s,。,4.9 取样定理,4.9 取样定理,解：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,4.9 取样定理,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,4.9 取样定理,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,4.9 取样定理,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,4.9 取样定理,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,例2,4.9 取样定理,解：,4.9 取样定理,由,对称性,可知：,所以：,此外：,4.9 取样定理,所以：,4.10 序列的傅里叶分析,4.10 序列的傅里叶分析,一、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）,具有周期性的离散时间信号可以表示为,f,N,(,k,),其下标,N,表示其周期为,N,，即有,对于连续时间信号，,周期信号,f,T,(,t,),可以分解为一系列角频率为,n,(,n,=1,1, 2, ,),的虚指数,e,jn,t,(其中,=2/,T,为基波角频率),之和。,类似地，,周期为,N,的序列,f,N,(,k,),也可展开为许多虚指数,e,jn,k,=,e,jn,（,2,/N,）,k,（其中,=2/,N,为基波数字角频率,）,之和。,4.10 序列的傅里叶分析,需要注意的是，这些虚指数序列满足,即它们也是周期为,N,的周期序列。,因此，周期序列,f,N,(,k,)的傅里叶级数展开式仅为有限项（,N,项），若取其第一个周期,n,=0,1,2,N,-1，则,f,N,(,k,) 的展开式可写为,4.10 序列的傅里叶分析,称为,离散傅里叶系数。,称为,周期序列的离散傅里叶级数。,为书写方便，令,并用DFS表示离散傅里叶系数（正变换），以IDFS表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），则有,4.10 序列的傅里叶分析,例1：,求图示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式。,解：,取求和范围为0,3,4.10 序列的傅里叶分析,所以，离散傅里叶级数展开式为,4.10 序列的傅里叶分析,二、非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT),与连续时间信号类似，周期序列,f,N,(,k,)在周期,N,时，将变成非周期序列,f,(,k,),同时,F,N,(,n,)的谱线间隔(,2, /,N,)趋于无穷小，成为连续谱。,当,N,时，,n,n,( 2,/,N,)趋于连续变量,(,数字角频率,单位为rad,)。定义非周期序列,f,(,k,)的,离散时间傅里叶变换,(Discrete Time Fourier Transform, DTFT),为:,可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换,F,(,e,j,)是,的连续周期函数，周期为2,。通常它是复函数，可表示为：,4.10 序列的傅里叶分析,定义非周期序列,f,(,k,)的,离散时间傅里叶逆变换为:,(Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT),通常用以下符号表示对序列,f,(,k,)求离散时间傅里叶正变换和逆变换:,离散时间傅里叶变换存在的充分条件是,f,(,k,)要满足绝对可和，即,4.10 序列的傅里叶分析,例2：,求下列序列的离散时间傅里叶变换。,解：,4.10 序列的傅里叶分析,幅频特性和相频特性分别为,4.10 序列的傅里叶分析,f,2,(,k,)的频率特性为:,4.11 离散傅里叶变换及其性质,4.11 离散傅里叶变换及其性质,离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列,f,(,k,)的,离散时间傅里叶变换(DTFT),是连续函数，而其逆运算为积分运算，因此，无法直接用计算机实现。显然，要在数字计算机上实现这些变换，必须把连续函数改换为离散数据，同时，把求和范围从无限宽收缩到一个有限区间。,离散傅里叶级数变换(DFS),无论在时域还是在频域，只对,N,项求和，故可以用数字计算机进行计算。可以借助离散傅里叶级数的概念，把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理，从而定义了,离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT),。,4.11 离散傅里叶变换及其性质,一、离散傅里叶变换（DFT）,设长度为,N,的有限长序列,f,(,k,)的区间为0,N,-1，其余各处皆为零。即,为了引用周期序列的有关概念，我们将有限长序列,f,(,k,)延拓乘周期为,N,的周期序列,f,N,(,k,)，即,或者把有限长序列,f,(,k,)看成周期序列,f,N,(,k,)的一个周期，即,4.11 离散傅里叶变换及其性质,对于周期序列,f,N,(,k,)，其第一个周期,k,=0到,N,-1的范围定义为“,主值区间,”，故,f,(,k,)可以看成,f,N,(,k,)的主值区间序列。,设有限长序列的长度为,N,(在,k,=0到,N,-1的范围)，则,f,(,k,)的离散傅里叶变换及其逆变换定义分别为,4.11 离散傅里叶变换及其性质,写成矩阵形式，即,简记为,其中，,4.11 离散傅里叶变换及其性质,二、,F,(,n,)(DFT)与,F,N,(,n,) (,DFS)的关系,若将,f,(,k,)，,F,(,n,)分别理解为,f,N,(,k,)，,F,N,(,n,)的主值序列，那么DFT变换对和DFS变换对的表达形式完全相同。实际上，DFS是按照傅里叶分析严格定义的，而有限长序列的离散傅里叶变换,F,(,e,j,)是连续的、周期为2,的频率函数。为了使傅里叶变换可以利用计算机实现，人为地把,f,(,k,)延拓成周期序列,f,N,(,k,)，,f,(,k,)成为主值序列。,这样，将,f,N,(,k,)的离散、周期性的频率函数,F,N,(,n,)的主值序列定义为,f,(,k,)的离散傅里叶变换,F,(,n,)。,所以，离散傅里叶变换(DFT)并非指对任意离散信号进行傅里叶变换，而是为了利用计算机对有限长序列进行傅里叶变换而规定的一种专门运算。,4.11 离散傅里叶变换及其性质,三、,F,(,n,) (DFT)与,F,(,e,j,),(DTFT)的关系,由于将有限长序列,f,(,k,)看作周期为,N,的周期序列,f,N,(,k,)的主值序列，故,与有限长序列傅里叶变换的定义进行比较得,：,4.10 序列的傅里叶分析,例3：,求图示矩形脉冲序列,f,(,k,)的离散傅里叶变换。,解：,画出离散频谱,F,(,n,)。,4.11 离散傅里叶变换及其性质,四、离散傅里叶变换的性质,1.线性,若,则对任意常数,a,、,b,，有,证明：,4.11 离散傅里叶变换及其性质,2.对称性,若,则,证明：,将上式的,n,和,k,互换，得到：,可见：,4.11 离散傅里叶变换及其性质,3.时移特性,若,则,定义：圆周移位,(也称为循环移位，或简称为圆移位),4.11 离散傅里叶变换及其性质,有限长序列圆周移位图示,4.11 离散傅里叶变换及其性质,证明：,若,则,时移特性的定理内容：,所以：,4.11 离散傅里叶变换及其性质,4.频移特性,若,则,与连续时间信号类似，可以看作调制信号的频谱搬移，因而也称为,“调