空间两直线的位置关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.6,空间两直线的相关位置,空间两直线的相关位置：,设直线 过点 ，其方向矢量为,直线 过点 ，其方向矢量为,和 两直线共面的充要条件是： 和 三个矢量共面,即：三矢量的混合积为0。,1。相交：,3。重合：,2。平行：,4。两直线异面的充要条件是：,两直线的夹角：,因此，在直角坐标糸中，,即：,两直线垂直的充要条件是：,两异面直线的距离,显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。,与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂线,。,两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面直线间线段的长。,空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。,因此，两异面直线之间的距离,两直线的公垂线方程,公垂线 可以看作由过点 ，以 为方位矢量的平面及过点 ，以 为方位矢量的平面的交线。,因此，公垂线 的方程为：,例1。求通过点P（1，1，1）且与两直线,都相交的直线的方程。,解：,过 ， 过,设所求直线的方向矢量为v=(X,Y,Z),由,可得：X：Y：Z=0：1：2,所求直线的方程为：,则,p,例2。已知两直线,（1）证明：两直线为异面直线；,（2）求两直线间的距离；（3）求两直线的公垂线方程。,解：（1）,两直线异面,（2）,（3）将数据代入公垂线方程，,即,它也可表示为：,这条公垂线的方程就是z轴。,得,习题讲解,P。132 1。 解：,X轴的方程为：,（*）,（1）,当 不全为0，且,因此，方程（*）有唯一解，即x轴与已知直线相交。,（2）当 且 不全为0，方程（*）为矛盾方程，无解。因此，x轴与已知直线平行。,（3）当 =0，方程（*）为恒等式，方程（*）有无穷多解。因此，x轴与已知直线重合。,将它代入已知直线的方程，得：,此时方程组 （*）中 只有一个独立方程。,P。133 6。,解：,即 直线 通过原点O。,P。133 9。（1）解：,直线1：,直线2：,直线2过点N（0，-3，-4），其方向矢量,设所求直线的方向矢量为v,因v/ ,所以v=8,7,1,它与直线1的交点设为M（9，b，39）,注意到NM， 共面，因此,解之，得,因此，所求直线的方程为：,M,N,v,x,y,z,o,P。133 9。（2）解：,设所求直线L与 的交点为P，它所对应的参数为,L与 的交点为Q，它所对应的参数为,则交点P的坐标为：,交点Q的坐标为：,QP就是所求直线的方向矢量，即：,解之，得：,由此可求出直线L的方程。,P.133 10,过P（2，1，0）作平面垂直已知直线，其方程为：,即：,直线和平面的交点M可由联立方程：,解出，,MP为所求直线。,所求直线方程为：,其方向向量为：,得：,作业：P.132 2.(1); 3.(1),(3); 4; 5.(2);,3.7,空间直线与点的相关位置,L,d,v,空间直线与点的相关位置：,直线L：,（1）点M在直线L上，即点M的坐标满足直线L的方程；,求点M到直线L的距离：,其中：v=X,Y,Z,（2）点M在不直线L上，即点M的坐标不满足直线L的方程；,与点,具体计算公式见P。134,1,习题讲解,P。134 1。直线,通过原点的条件是什么？,解：,作业：P。134 2。,3。8,平面束,定义：,有轴平面束,空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，并称L那条直线为平面束的轴。,定理：如果两个平面,其中 和 是不全为零的实数（证见P。135136）。,交于一条直线L，,在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：,那么，以L为轴的有轴平面束的方程是：,平行平面束,空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。,（1）如果两个平面,为平行平面，,其中 和 是不全为零的实数,且,（否则左端恒为零）,（2）由平面,所决定的平面束的方程是,其中 为任意实数。（这是常用的形式）,那么，平行平面束的方程是：,空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退化到平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概念：,中心直线束：,如果给定了平面上的两条直线，,若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直线束，那个点叫做直线束的中心。,若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。,方程,当两直线相交时，表示中心直线束，其中 不全为零；,当两直线平行时，表示平行直线束，其中,下例用“有轴平面束”概念来求解是非常方便的。,例1：求通过直线L：,且与平面,相垂直的平面方程。,解：,过直线L的平面束方程为：,即：,由于所求平面与已知平面垂直，因此,即,取,（1）,代入（1），得,P.139 4.,解：,L：,过直线L的平面束方程为：,即：,由于点P（4，1，2）到所求平面的距离为d=3,因此，,解之，得,因此，所求平面的方程是：,P。139 8。,直线方程L：,的糸数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面xoz,内？,解：,如果直线L在坐标面xoz,内，那么：坐标面xoz一定是在过直线L的平面束上。,过L的平面束方程为：,即：,坐标面xoz的方程为：y=0,即：,所以，,如果直线以对称式方程表示：,那么，如前所述，两直线共面的充要条件是：,如直线以一般方程表示：,我们将证明，两直线共面的充要条件是：,证明：,通过直线 的任意平面可表示为：,通过直线 的任意平面可表示为：,要使两直线共面，就是说存在不全为零的实数 使上面两个平面代表同一平面。,经整理得到一个以 为变量的如P。138 所示的四元一次线性方程组。,注意到 不全为零，即要求四元一次线性方程组有非零解，因此，糸数行列式必须为零，命题得证。,也就是说，存在不等于零的实数m,使下列恒等式成立：,作业 P。139 2；3；6,