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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1.2,节,行列式的性质,线性代数,主要内容,:,一、行列式的性质,二、行列式的计算,三、思考与练习,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的,转置行列式。,(transpose of determinant).,记,说明,:,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式,的性质凡是对行成立的对列也同样成立,.,推论：,行列式可按列展开，也可按行展开,性质,1,：,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,2,：,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以,一数,k,，等于用数,k,乘此行列式,.,推论,:,如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则,此行列式的值为零,性质,:,交换行列式两行（列）元素的位置行列式,变号,.,推论,1:,如果行列式有两行（列）完 全相同，则,此行列式为零,.,推论,2:,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此,行列式为零,推论,3:,行列式任一行（列）的所有元素与另一行,(,列,),对应元素的代数余子式乘积的和等于零,.,定理,1.2:,n,阶,行列式,D,的任意一行（列）的元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于,D,；某一行（列） 的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子 式乘积之和等于,.,1),已知四阶行列式,中第二列元素分别是,1,，,0,，,2,，,1,，,它们的余子式分别是,2,，,3,，,1,，,4,，则,2),若,3,阶行列式,D,的第二行元素分别为,1,，,2,，,0,，,第三行元素的余子式分别为,6,x,19,，则,x=,性质,:,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，,则该行列式等于两个行列式之和,.,例如,:,如果,那么,D,1,=( ),(A) 8 (B),12 (C) 24 (D),24,性质,:,把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一,数然后加到另一行,(,列,),对应的元素上去，行列 式不变,例如,:,二、行列式的计算,(1),降阶法：,例,1:,计算,解法,1,：,直接用,定理,1.2,按第一行,展开,=3,(,3+0+15 20+3+0,),(15 24 3+4 15+18,),(0+40 1 0+25+6,),2(030+1 0 25 6,),= 15,+5,70,+120,=40.,解法,2,：,利用性质,=40.,(2),三角形法：,利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角,形行列式，从而算得行列式的值,例,2,计算,.,例,3:,计算,解：,x,+1+,n,x,+,x,x,+,x,x,+,x,例,4:,计算,n,阶行列式,解,:,将,第 都加到第一列得,例,5:,解,:,将,第 一行的,-1,倍分别加到 第,2,3,n,行上,例,6,计算,例,7,计算,例,8,计算,例,9:,证明,:,证明,:,证,用,数学归纳法,例,10,证明范德蒙德,(,Vandermonde,),行列式,n-,1,阶范德蒙德行列式,三、小结,二、行列式的计算,一、行列式的性质,(1),降阶法,(2),三角形法,(3),每行（列）所有元素的和相同,(4),练习,1.2 (P18),1.,判断下列命题是否正确？,(1),若,n,阶行列式,D=0,，则,D,有两行元素相同,.,(2),若,n,阶行列式,D,有一行元素为零，则,D=0.,(3),若二阶行列式,D=0,，则,D,的两行元素对应成比例,(4),若一个,n,阶行列式,D,中为零的元素超过,个,则,D=0.,(,错,),(,对,),(,对,),(,对,),四、思考与练习题,
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