微分与求导的法则

,*,1,函数的和、差、积、商的微分,小结 思考题 作业,3.2,函数的求导法则,第,3,章 导数与微分,反函数的微分与求导法则,基本求导法则与导数公式,复合函数的微分与求导法则,与求导法则,2,定理,3.3,并且,则,它们的和、差、积、商,在点,x,处也可微,一、函数的和、差、积、商的,如果函数,u,(,x,),v,(,x,),都在点,x,处可微,3.2,微分和求导的法则,微分与求导法则,证,(1),可得,可微的定义,证毕,.,自己证,3,证,3.2,微分和求导的法则,导数的定义,证毕,.,4,3.2,微分和求导的法则,证,由,(2),乘积的导数公式,得,故,特别,即,5,推广,且,若,u,、,v,、,w,在点,x,处均可微,在同一点,x,处也可微,在法则,(2),中,3.2,微分和求导的法则,6,例,解,例,解,因为,函数和、差的求导法则,函数乘积的求导法则,3.2,微分和求导的法则,7,例,解,同理可得,所以,函数商的微分法则,3.2,微分和求导的法则,8,例,解,同理可得,:,即,函数商的求导法则,3.2,微分和求导的法则,9,例,证,由于斜率相等,知二切线平行,.,(1),求交点,分别为曲线在,A,B,点的切线斜率,.,(2),求导数,所作的曲线的切线彼此平行,.,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性,.,3.2,微分和求导的法则,3.2,微分和求导的法则,10,或,定理,3.4,且,二、反函数的微分与求导法则,可微,证,由,得到,反函数的导数等于直接函数导数的倒数,.,所以,定理的结论成立,.,11,例,解,单调、可微,直接函数,反函数,同理可得,因为,所以,3.2,微分和求导的法则,12,例,解,单调、可微,直接函数,反函数,同理可得,因为,所以,3.2,微分和求导的法则,13,注,如果利用三角学中的公式,:,也可得公式,也可得公式,3.2,微分和求导的法则,3.2,微分和求导的法则,14,定理,3.5,链导法则,且,或,而,则复合函数,y,=,f,g,(,x,),如果函数,u,=,g,(,x,),在点,x,可微,y,=,f,(,u,),在点,u,=,g,(,x,),可微,在点,x,可微,三、复合函数的微分与求导法则,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导,.,证,得到,证毕,.,15,推广,3.2,微分和求导的法则,16,因为,所以,求函数,例,解,3.2,微分和求导的法则,17,例,解,因为,所以,3.2,微分和求导的法则,18,例,解,例,解,3.2,微分和求导的法则,19,例,解,例,解,3.2,微分和求导的法则,20,练习,考研数学四, 4,分,解,3.2,微分和求导的法则,21,练习,解,3.2,微分和求导的法则,22,1.,常数和基本初等函数的导数公式,基本求导、微分法则,四、导数、微分公式与,3.2,微分和求导的法则,23,2.,常数和基本初等函数的微分公式,3.2,微分和求导的法则,24,3.2,微分和求导的法则,25,3.,函数的线性组合、积、商的求导法则,都可导,则,4.,函数的和、差、积、商的微分法则,3.2,微分和求导的法则,26,5.,反函数的求导、微分法则,或,且,可微,或,3.2,微分和求导的法则,27,链导法则,且,或,而,y,=,f,(,u,),在点,则复合函数,y,=,f,g,(,x,),在点,x,可微,如果函数,u,=,g,(,x,),在点,x,可微,u,=,g,(,x,),可微,6.,复合函数的求导与微分法则,初等函数的导数仍为初等函数,.,注,利用上述公式及法则初等函数求导问题可,完全解决,.,3.2,微分和求导的法则,28,解,练习,3.2,微分和求导的法则,29,例,解,所以,3.2,微分和求导的法则,30,解,注,则,上式中,是函数,f,对括号中的中间,变量求导,?,不表示,f,对,x,的导数,.,例,3.2,微分和求导的法则,31,解,练习,3.2,微分和求导的法则,32,解,练习,分析,这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及,复合函数求导法则,.,3.2,微分和求导的法则,33,答案,练习,练习,解,3.2,微分和求导的法则,34,练习,设函数,解,设,3.2,微分和求导的法则,35,(,注意成立条件,);,复合函数的求导与微分法则,五、小结,不能遗漏,);,(,对于,复合函数,反函数的求导与微分法则,注意一层层的复合结构,函数的积、商求导与微分法则,注意,记住基本初等函数的导数、微分公式,.,3.2,微分和求导的法则,36,思考题,(,是非题,),非,例如,处处可导,处不可导,但复合函数,处处可导,.,3.2,微分和求导的法则,37,作业,习题,3.2(62,页,),3.2,微分和求导的法则,