相似三角形的计算与证明

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1、(2013,四川绵阳,),如图,，,四边形,ABCD,是菱,形,，,对角线,AC=8cm，BD=6cm，DHAB,于,点,H，,且,DH,与,AC,交于,G，,求,GH,的长.,解：,四边形,ABCD,是菱形,ACBD,AO=4,cm,BO=3,cm,.,GAH=BAO,AHG=AOB=90,GAHBAO,2（2013,山东菏泽,）,如图所示,，,在,ABC,中,，,BC=6，E、F,分别是,AB、AC,的中点,，,动点,P,在射,线,EF,上,，BP,交,CE,于点,D，CBP,的平分线交,CE,于,Q，,当,CQ= CE,时,，,求,EP+BP,的长,.,解：,延长BQ交EF于点,G,G,1,2, E、F分别是AB、AC的中点,EGBC,2=G, CQBEQG,EG=2BC=12,1,2,1=2,2=G,1=G,PB=PG, EP+BP=EP+PG=EG=12,3.（2013,四川巴中,10分）,如图,，,在平行四边形,ABCD,中,，,过点,A,作,AEBC，,垂足为,E，,连接,DE，,F,为线段,DE,上一点,，,且,AFE=B,（1）,求证,：ADFDEC；,（2）,若,AB=8，AD=6 ，AF= 4 ，,求,AE,的长,证明,:(1),四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBC,B+C=180,4=3,1=B, 1+2=180,2=C, ADFDEC,8,8,6,4,ADFDEC,DE=12,解：,（2）,4(2013泰安),如图,，,四边形,ABCD,中,，AC,平分,DAB，ADC=ACB=90，E,为,AB,的中点,，,（1）,求证,：AC,2,=ABAD；,（2）,求证,：CEAD；,（3）,若,AD=4，AB=6，,求 的值,证明,:(1),1,2,1=2,ADC=ACB= 90,ADCACB, AC,2,=ABAD,1,2,（2）求证：CEAD,3, ACB=90,E是AB中点,CE=AE=EB,2=3,1=2,1=3,CEAD,解(3),4,6,3,CEAD,CFEAFD,AD=4,CE= AB=3,5、(2009,年安徽,),如图,，M,为线段,AB,的中,点,，AE,与,BD,交于点,C，DME=A=B=,，,且,DM,交,AC,于,F，ME,交,BC,于,G,(1),写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对,；,(2),连结,FG，,如果,=45，AB= 4 ，,AF=3，,求,FG,的长,EMFEAM,DMGDBM,AFMBMG,解,:(1),3,45,1,A=B=1=45,ACB=90,AC=BC,AB= ,AB=BC=4,AF=3,CF=1,M,为线段,AB,的中点,AFMBMG,解：（2）,6.(2009,泰安,),如图,，ABC,是直角三角形,，,ACB=90，CDAB,于,D，E,是,AC,的中点,，,ED,的延长线与,CB,的延长线交于点F,。,（1）,求证,：FD,2,=FB FC。,（2）,若,G,是,BC,的中点,，,连接,GD，GD,与,EF,垂直吗,？,并说明理由,。,A,B,C,D,E,F,G,证明,:(1),1,2,3,4,ACB=90，CDAB,2+4 =4+A=90 ,2=A, E是AC的中点,1=3,DE=AE,3=A,A,B,C,D,E,F,G,1,2,3,4,1=2,F=F,FDBFCD,FD,2,=FB FC,(2) GDEF,5,6,E是AC的中点,CD AB,GD=GC,5+ 6=90,2=5,1=2,1+6=90,GDEF,7、(2013,四川南充,8分),如图,，,等腰梯形,ABCD,中,，,ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P,为,BC,边上,一点,(,不与,B，C,重合,)，,过点,P,作,APE=B，PE,交,CD,于,E.,（1）,求证,：APBPEC；,（2）,若,CE=3，,求,BP,的长,.,证明,：(1),1,2,3,四边形ABCD是等腰梯形,B=3=C，AB=CD,2+3=1+B,1=2, APBPEC,1,3,2,3,3,x,7-,x,？,F,G,解,：(2),作AFAC于F，DGBC于G,四边形AFGD是矩形,AF=DG,FG=AD=3,AB=CD, B=60,ABFDCG(,HL,),BF=CG=2,APBPEC,BP,2,-7BP+12=0,BP=3或BP=4,8、(2013,湖南株洲,),已知在,ABC,中,ABC=90,AB=3，BC=4，,点,Q,是线段,AC,上的一个动点,，,过,点,Q,作,AC,的垂线交线段,AB（,如图,1）,或线段,AB,的,延长线,(,如图,2),于点,P.,当点,P,在线段,AB,上时,，,求证,：AQPABC；,当,PQB,为等腰三角形时,，,求,AP,的长,.,图1,图2,证明,：(1),ABC=90,PQAC,APQ =ABC,A=A,AQPABC,解:(2),图1,连接CP,如图1，当PQB为等腰三角形时,QPB90,QPB只能为顶角，PQ=PB,PQAC, ABC=90,CP=CP,PQCPBC,CQ=CB=4,AQ=AC-CQ=1,AQPABC,图1,图2,如图2，当P在AB延长线上时,QPB90,当PQB为等腰三角形时,BP=BQ,1,2,1=P,P+A=1+2=90,2=A,AB=BQ=BP,AP,=2AB,=6,9、(2013,四川宜宾,10,分,),如图,1，,在,RtABC,中,，,BAC=90，ADBC,于点,D，,点,O,是,AC,边上的,一点,，,连接,BO,交,AD,于,F，OEOB,交,BC,边于点,E,(1),求证,：ABFCOE；,(2),当,O,为,AC,边中点,， =2,时,，,如图,2，,求 的值,；,(3),当,O,为,AC,边中点,， =,n,时,，,如图,2，,请直接写出 的值,图1,图2,图1,证明：,(1),1,2,3,4,BAC=90，,ADBC,BOOE,2+3=3+1=90,C+ABD=ABD+4=90,2=1,4=C,ABFCOE,(2)作,OG,AC,，交,AD,的延长线于,G,G,AC=2AB，O是AC边的中点,AB=OC=OA,由(1) 知ABFCOE,ABFCOE,BF=OE,G,BAD+DAC=90,BAD+ABD=90,DAC=ABD,又BAC=AOG=90，,AB=OA,ABCOAG,OG = AC = 2AB,OG,OA,BAC=90,ABOG,ABFGOF,10、(2013,年福建莆田,8,分,),定义,：,如图,1，,点,C,在,线段,AB,上,，,若满足,AC,2, BCAB，,则称点,C,为线段,AB,的黄金分割点,；,如图,2，ABC,中,，ABACl，,A36，BD,平分,ABC,交,AC,于点,D,（5分）,求证,：,点,D,是线段,AC,的黄金分割点,；,（3分）,求出线段,AD,的长,图1,图2,证明：,1,2,A=36,AB=AC=1,ABC=C=,BD平分ABC,3,1=,2=A,=36,3,=1+A=72 ,=C,AD=BD=BC,图2,2,3,1,C=C,BCDACB,即BC,2,AC,CD,AD,2,AC,CD,点,D,是线段,AC,的黄金分割点, AD,2,AC,CD ,AC=1,AD,2,=AC,(AC-AD),AD,2,=,1-AD,11、(2013,年广东珠海,9,分,),如图,，,在,RtABC,中,，,C=90，,点,P,为,AC,边上的一点,，,将线段,AP,绕点,A,顺时针方向旋转,(,点,P,对应点,P),当,AP,旋转至,AP,AB,时,，,点,B、P、P,恰好在同一直线上,，,此时,作,PEAC,于点,E.,(1),求证,：CBP=ABP；,(2),求证,：AE=CP；,(3),当,，BP=5,时,，,求线段,AB,的长,.,证明(1):,C=90,APAB,P E AC,AP=AP,1,2,3,4,5,BC PE ,4=,5=PPA,1=3, 3+5=2+PPA =90 ,2=3,1=2,1,2,3,4,5,证明(2):,F,作PFAB与F,7,8,6,PFA=AEP,=90,6+8=,7+8=90,6=7,AP= AP,AFPPEA,PF=AE,PCBC，PFAB , 1=2,PF=PC,AE=CP,解(3):, BC PE,BCPPPE,设PE=,2,x,CP=AE=,3,x,AP=AP =5,x,1,2,3,4,5,F,7,8,6,PE,2,+P E,2,=P P,2,x,=1,AP =5,多条线段具有某一关系，用一个字母,表示其中的一条线段，其余的线段就,可用这个字母的代数式表示出来。,总结与体会：,B,C,D,A,E,F,12、(2013,泸州,),如图,，,点,E,是矩形,ABCD,的边,CD,上一点,，,把,ADE,沿,AE,对折,，,点,D,的,对称点,F,恰好落在,BC,上,，,已知折痕,AE=10,cm,，,且,tan,EFC= ，,求该矩形的周长,。,1,2,3,解：,四边形,ABCD,是矩形,B=C=D=90, ADE与AFE关于,AE轴对称,D=AFD,AF=AD=BC,1+2=2+3=90,1=3,B,C,D,A,E,F,1,2,3,BF=3,x,AB=4,x,BC=5,x,FC=BC-BF=2,x,AF,2,+EF,2,=AE,2,该矩形的周长为：,A,B,C,D,13、(2013,湖北鄂州,),如图,，RtABC,中,，,BAC=90，ADBC,于点,D，,若,BD,CD=3,2，,求,tan,B,的值,。,ADBC，BAC=90，,解：,B+BAD=90，,BAD+ DAC=90，,B=DAC, BDA= ADC,= 90,BDAADC, BD,CD=32,设BD=3,x,CD=2,x,AD,2,=6,x,2,14、,如图,，,在,ABC中,，,AB=AC=5,BC=8,D,是,边,AB,上一点,，,且,tan,BCD= .,（1）,试求,sin,B,的值,；,（2）,试求,BCD,的面积,.,解,:(1),作AEBC交BC于E,E,AB=AC=5,BC=8,BE=CE=4,F,(2)作DFBC于F,设DF=,x,则,CF=2,x,BF=8-2,x,AEBC, DFBC,DFAE,BFDBEA,设DF=,x,则,CF=2,x,BF=8-2,x,F,15、(2013,四川南充,),如图,，,正方形,ABCD,的边长为,2 ，,过点,A,作,AEAC，AE=1，,连接,BE，,求,tan,E,的值,。,F,M,N,作,EFBA,交,BA,的延长线于,F,解：,正方形,ABCD,的边长为,2,AE=1, AEAC,AMEF,BAMBFE,F,M,N,AMNCBN,AC=4,AN+NC=4,16、,如图,ABC,中,，D,是,BC,中点,，AD=AC,DEBC,垂足为,D，DE,与,AB,相交于点,E，,EC,与,AD,相交于点,F.,求证,：ABCFCD。,若,S,FCD,=5,BC=10,求,DE,的长,。,A,B,C,D,E,F,1,2,证明：,DB=DC,EDBC,BE=EC,B=2,又AD=AC,ACB=1,ABCFCD,作AGBC于G,G, ABCFCD,S,ABC,=20, S,ABC,= BC AG=20,AG=4,DG=CG=2.5,又EDBC,AGBC,EDAG,BDEBGA,17、(2011,资阳,),如图,1，,在梯形,ABCD,中,，,已知,ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，,在线段,BC,上任取一点,E，,连结,DE，,作,EF,DE，,交直线,AB于,点,F,(1),若点,F,与,B,重合,，,求,CE,的长,；(3,分,),(2),若点,F,在线段,AB,上,，,且,AF=CE，,求,CE,的长,；(4分),(3),设,CE=,x,，BF=,y,，,写出,y,关于,x,的函数关系式,(,直接写出结果即可,)(2分),图1,图2（备用图）,解,：（1）,当F与B重合时，四边形AFEB是矩形,CE=BC-BE=BC-AD=3,(2),作DGBC于G,四边形ABGD是矩形,B=1=90,0,1,2,3,4,3+4=90,DEEF,2+3=90,2=4,DGEEBF,设BF=,m,则AF=CE=7-m,EG=4-m,BE=5+m,AB=DG=7,m,1,=2,m,2,=-10(不合题意，舍去）,CE=5,y=,DGEEBF,18、（2012,安徽,）,如图,1，,在,ABC中，D、E、F,分别为三边的中点,，G,点在边,AB,上,，BDG,与四,边形,ACDG,的周长相等,，,设,BC=,a,、AC=,b,、AB=,c,.,（1）,求线段,BG,的长,；,（2）,求证,：DG,平分,EDF;,（3）,连接,CG，,如图,2，,若,BDG,与,DFG,相似,，,求证,：BGCG.,（图1）,（图2）,解：(1),D、C、F分别是,ABC三边中点,BDG与四边形ACDG周长相等, BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG,又BG+AG+AC=,b,+,c,(2),D、C、F分别是,ABC三边中点,DF+BF=,BG,=BF+FG,DF=FG,DEAB,1,2,3,1=3,DEAB,2=3,1=2,DG平分EDF,1,2,3,(3),BDG与DFG,1=B,1=3,3=B,BD=DC=DG,BGCG,19、,如图,，RtABC,中,，C=90，AB=2,点,P,为,BC,上一动点,，PDAB,PD,交,AC,于点,D,连结,AP,(1),求,AC、BC,的长,(2),设,PC,的长为,x, ADP,的面积为,y,当,x,为,何值时,，,y,最大,？,并求出最大值,。,解：C=90,AC=2,PDAB,tanB=tanDPC,20、(2010资阳)如图，在直角梯形,ABCD,中，已知,AD,BC,，,AB,=3，,AD,=1，,BC,=6，,A,=,B,=90. 设动点,P,、,Q,、,R,在,梯形的边上，始终构成,以,P,为直角顶点的等腰直角三角形,，,且,PQR,的一边与梯形,ABCD,的两底平行,.(,9分,),当点,P,在,AB,边上时，在图中画出一个符合条件的,PQR,(,不必说明画法,),；,(2),当点,P,在,BC,边或,CD,边上时，求,BP,的长,.,A,B,C,D,解：,（1）如图所示,（2）如图，当点,P,在,BC,上时,作,QEBC,于,E,DFBC,于,F,E,F,3,x,x,x,x,6-2x,四边形,ABPD、BEQR,是矩形,QEDF,PQR,是等腰直角三角形,设,BF=EF=QE=PB=,x,则,DF=AB=3,CE=2,x,CEQCFD,（2）如图，当点,P,在,DC,上时,H,连结,BP，,作,DHBC,于,H,PQR,是等腰直角三角形,四边形,PQBR,是正方形,PRDH,设,BR=PQ=PQ=BQ=,m,则,CR=6-,m,DH=AB=3,BH=AD=1,CRPCHD,21、(2012,四川巴中,12,分,）,如图，在平面直角坐标系,中，点,A、C,分别在,x,轴,、,y,轴上,，,四边形,ABCO,为矩,形，,AB=16,点,D,与点,A,关于,y,轴对称,，,tan,ACB= ,点,E、F,分别是线段,AD、AC,上的动点,（,点,E,不与点,A、,D,重合,），,且,CEF=ACB.,求,AC,的长和点,D,的坐标,；,说明,AEF,与,DCE,相似,；,当,EFC,为等腰三角,形时,，,求点,E,的坐标,。,解：,四边形ABCO是矩形,AB=OC=16,B=90,点D与点A关于,y,轴对称,OD=OA=BC=12,D(12,0),1,2,3,4,5,6,OA=OD,OCAD,BCAD,解：,CA=CD,4=3=2=1,又,1,+6=,4,+5,5=6,AEFDCE,解：,当EFC为等腰三角形时,有,CE=CF、CE=EF、FC=FE,三种可能情况,1,2,3,4,5,6,EFC为等腰三角形,当,CE=CF,时，1=CFE,1=CFE=2=3,这与CFE3矛盾,CE=CF不成立,当,CE=EF,时，,AEFDCE,AE=CD=20,OE=AE-OA,=20-12=8,E(8,0),1,2,3,4,5,6,当,EF=CF,时，ECF=1=3,CE=AE=OE+OA,OE,2,+16,2,=(12+OE),2,又OE,2,+OC,2,=CE,2,满足条件的点E的坐标为：E(8,0)、E( ,0),22、（2012四川宜宾）如图，在ABC中，已AB=AC=5，,BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿,B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。,（1）求证：ABEECM;,（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；,（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。,ABEECM,（1）证明：,AB=AC,B=C,1,2,3,ABCDEF,B=1,1+2=B+3,3=2,（2）,解：1=B=C，,且4C，,14,1,2,3,4,5,当,4=5,时，,AE=ME, ABEECM,CE=AB=5,BE=1,当,1=5,时，,AM=ME,5=B,C=C,CAECBA,1,2,3,（3）解：设BE=,x,ABEECM,当BE=,x,=3=,BC时，,AEBC,EMAC,23、(2012,自贡,12,分,),如图,，,在菱形,ABC,中,，,AB=4,BAD=120,AEF,为正三角形，点,E、,F,分别在菱形的边,BC、CD,上滑动，且,E、F,不,与,B、C、D,重合,。,证明：不论,E、F,在,BC、CD,上如何滑动,，,总有,BE=CF;,当点,E、F,在,BC、CD,上滑动时，分别探讨四边形,AECF,和,CEF,的面积是否发生变化？如果不变，,求出这个定值；如果变化，,求出最大（或最小）值,。,证明：,连接AC,四边形ABCD是菱形,BAD=120,AB=BC=CD=AB,ADBC,ABCD,B=180-BAD=60,ABC是等边三角形,AC=AB,又AEF是正三角形,AE=AF,1+2=2+3=60,1=3,ABEACF,BE=CF,作AGBC于G,四边形AECF的面积不发生变化,ABEACF,S,四边形AECF,=S,ABC,S,ABC,= BC AG=,S,四边形AECF,=,CEF的面积有变化,作EHDC的延长线于H,设BE=CF=,x,则EC=,4-,x,BAD=BCD=120,ECH=60,当,x,=2时，,S,EFC,的面积最大为,24、,在,RtABC,中,，A=90,AB=6,AC=8,D、E,分别是边,AB、AC,的中点,，,点,P,从点,D,出发沿,DE,方,向运动，过点,P,作,PQBC于Q,过点,Q,作,QRBA,交,AC于R,当点,Q,与点,C,重合时,，,点,P,停止运动,，,设,BQ=,x,，QR=,y,.,求点,D,到,BC,的距离,DH,的长,；,求,y,关于,x,的函数关系式,（,不要求写出自变量的,取值范围）,是否存在点,P，,使,PQR,为,等腰三角形,？,若存在，请,求出所有满足要求的x的值；,若不存在，请说明理由,。,解：,A=90，DHBC,A=BHD=90,B=B,BHDBAC,AB=6,AC=8,D是AB中点,BD=3,QRAB,CQRCBA,假设存在，仍然分,PQ=PR,PQ=RQ,PR=QR,三种情况解答,当A、P、Q三点在一条直线上时,点D、E分别是AB、AC的中点,AP=PQ,PQAB,ARQ=BAC=90,AP=,PQ=PR,AQBC,BQABAC,x,=3.6,当,PQ=RQ,时,CQRCBA,x,=6,当,PR=RQ,时,R在PQ的垂直平分线上,E是AC的中点，RQAB,R是EC的中点, CQRCBA,x,=7.5,25、,如图，已知,ABC,是边长为,6,cm,的等边三角形,，,动点,P、Q,同时从,A、B,两点出发，分别沿,AB、BC,匀速运动，其中点,P,运动的速度是,1,cm,/,s,点,Q,运动的,速度是,2,cm,/,s,当点,Q,到达点,C,时,，P、Q,两点都停止,运动，设运动时间为,t,(,s,),解答下列问题,：,当,t=2,时,，,判断,BPQ,的形状，并说明理由,；,设,BPQ,的面积为,S(,cm,2,),求,S,与,t,的函数关系式,；,作,QRBA,交,AC,于点,R,连结,PR,当,t,为何值时,，,APRPRQ?,当t=2时，,BPQ是等边三角形,作QDPB于D,ABC是等边三角形,BQ=2t,B=60,BD=t,QD=,AP=t,BP=AB-Ap=6-t,QRAB,，,ABC,为等边三角形,CRQ,为等边三角形,AR=BQ=2t,BD=AP=t,当 时,APRPRQ,A=B,APR=PRD,APRBDQ,DPR=PDQ=90,四边形PDQR是矩形,RQ,=PD=AB-AP-BD,=6-2t,t=1.2,当t=1.2s时,APRPRQ,26、,如图，四边形,ABCD,中,，AD=CD,DAB=,ACB=90,过点,D,作,DEAC,垂足作为,F,DE,与,AB,相交于点,E.,(1),求证,：AB AF=CB CD,(2),已知,AB=15,cm, BC=9,cm, P,是射线,DE,上的动点,，,设,DP=,xcm,(,x,0),四边形,BCDP,的面积为,ycm,2,:,求,y,关于,x,的函数关系式,；,当,x,为何值时,，PBC,的周长,最小,，,并求出此时,y,的值,。,证明：(1)DEBC,B=3,AFD=ACB=90,又DAB=ACB=90,1+B=2+3=90,1=2,AFDBCA,又AD=CD,(2)S,四边形BCDP,= (BC+PD) CF,AF=CF=6,cm,当,PC+PB,最短时,PBC,的周长最小,当,PC+PB,最短时,PBC,的周长最小,AD=CD,AEAC,点C与点A关于DE对称,AB交DE于E,点P与点E重合时,PC+PB=AB最短,AD=10,cm,x,=12.5,cm,y,=312.527,=64.5,cm,2,当x=12.5,cm,时，,PBC的周长最小,