简单超静定问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 简单超静定问题,6-1,超静定问题及其解法,6-2,拉压超静定问题,6-3,扭转超静定问题,6-4,简单超静定梁,61,超静定问题及其解法,一、,关于超静定的基本概念,二、,求解超静定问题的基本方法,一、,关于超静定的基本概念,超静定问题与超静定结构,未知力个数多于独立平衡方程数,超静定次数,未知力个数与独立平衡方程数之差,多余约束, 保持结构静定,多余的约束,静定问题与静定结构,未知力,(,内力或外力,),个数等于独立的平衡方程数,A,B,D,F,A,B,C,D,F,A,B,D,F,二、,求解超静定问题的基本方法,因为未知力个数,超过,了独立的平衡方程数，必须寻找补充方程。,寻找补充方程的途径：,利用结构的变形条件,结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：,1、结构的连续性,2、变形与内力的协调性,变形协调方程,补充方程,方法1：,寻找补充方程法,（适用于求解拉压超静定）,物理方程,变形比较法,（适用于求解超静定梁）,1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约 束反力。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。,相当系统的内力图，应力和变形即为原,超静定梁的结果。,方法2：,静平衡方程,补充方程,各杆的内力,各杆的应力、变形,6-2 拉压超静定问题,一、拉压超静定问题的求解,二、温度应力和装配应力,一、拉压超静定问题的求解,例题：,求图示杆的支反力,A,B,F,a,b,A,B,F,a,b,解：,AB,杆受力如图,由：,本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程,得：,现有两个未知力，本问题为,一次超静定问题,需要建立一个补充方程,A,B,F,a,b,A,B,F,A,B,F,A,B,变形条件：,物理条件：,补充方程：,A,B,C,D,1,2,3,F,l,图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为,E,1,A,1,3,杆的抗拉刚度为,E,3,A,3,，,受力如图。,求：各杆的内力。,例题,F,F,N3,F,N1,F,N,2,A,B,C,D,1,2,3,F,l,本问题为一次超静定,对节点,A,得到：,还需要建立一个,补充方程,解：,A,B,C,D,1,2,3,F,E,A,1,l,结构变形特点：,变形前三杆汇交于,A,点，变形后三杆仍交于,A,点。,由于结构和受力的对称性，,A,点只有垂直位移。,变形协调方程：,A,B,C,D,1,2,3,F,E,A,1,l,A,1,A,2,A,1,2,3,物理方程,A,1,A,2,A,1,2,3,由,变形协调,方程和,物理,方程，可得到补充方程。,A,B,C,D,1,2,3,F,E,A,1,l,平衡方程,补充方程,解得：,图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为,EA，AB,杆为刚杆 ，受力如图。,求：,各杆的内力。,F,A,B,1,2,l,a,a,a,例题,本问题为一次超静定,对杆,AB,F,A,B,F,A,B,1,2,l,a,a,a,得到:,解：,C,B,C,D,D,B,A,F,A,B,1,2,l,a,a,a,变形协调方程,由结构的变形图,得到,物理方程,补充方程,C,B,C,D,D,B,A,F,A,B,补充方程,静平衡方程,联解(,a) (c),得:,二、温度应力和装配应力,1.,温度应力,静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。,超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加应力。,温度应力：,超静定结构因温度变化而产生的应力。,A,B,A,B,两端固支的直杆,AB，,长度为,l,，,抗拉刚度为,EA,，热膨胀系数为,l,。,求：,温度升高,后杆内的应力。,A,B,l,例题,A,B,l,解：,A,B,本问题为一次超静定,静平衡方程,变形协调方程,物理方程,联解，得：,A,B,l,杆端的约束力为：,杆中的,温度应力,为：,温度应力与杆的横截面面积,A，,杆的长度,l,无关。,无法用加大横截面面积的方法来减小温度应力,A,B,l,杆中的,温度应力,为：,通过一组数据说明温度应力的大小：,钢材的热膨胀系数,求：温度升高 时的,温度应力。,解：,温度应力的大小是很大的，工程中应当设法,避免,。,温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免,常使用的方法：,1、结构中适当留一些,间隙,，（如钢轨,桥梁,水泥路面）,A,B,2、结构中适当采用,伸缩节,（如管道）,A,B,2.,装配应力,静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起结构几何位置的变化，内部不会产生应力。,超静定结构中当构件尺寸有误差时，会引起强迫装配，从而内部会产生附加应力。,图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会产生装配应力。,1,2,装配应力：,超静定结构因构件尺寸误差，引起强迫装配而产生的应力。,1,2,3,图示静不定结构，3杆短了，装配时会产生装配应力。,图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为,EA，,3杆比设计尺寸短了,。,求：强迫装配后，各杆的轴力。,A,B,C,D,1,2,3,l,例题,解：,对节点,A,得到：,还需要建立一个补充方程,F,N3,F,N1,F,N,2,A,本问题为一次超静定,A,B,C,D,1,2,3,l,A,B,C,D,1,2,3,l,A,B,C,D,1,2,3,l,A,A,1,A,2,A,3,变形协调方程,物理方程,补充方程,A,A,1,A,2,A,3,A,B,C,D,1,2,3,l,平衡方程,补充方程,解得：,A,B,C,D,1,2,3,l,求：3根杆的装配应力。,图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为,EA，,3杆比设计尺寸短了,，若：3根杆均为圆钢杆,例题,A,B,C,D,1,2,3,l,解：,3根杆的装配内力为：,3根杆的,装配应力,为：,A,B,C,D,1,2,3,l,3根杆的,装配应力,为：,利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转超静定问题。,A,C,B,l,a,b,两端固定的圆轴，受力如图。,求：两端的约束力偶矩。,6-3,扭转超静定问题,A,C,B,轴受力如图,一次超静定,变形条件：,T,联解（1）（2），得：,图示两种材料的组合杆，扭转刚度分别为：,端头受一扭转力偶矩,作用 。,求：各杆所受的力偶矩。,例题,物理方程：,将（3）、（4）代入（2），得补充方程,杆受力如图,变形条件：,解：,联解（1）、（5）,解得：,6-4,简单超静定梁,一、概述,三、简单组合结构的超静定问题,二、简单超静定梁,迄今为止，所研究梁的支反力都可以利用静平衡方程直接求得 ,静定梁,支反力的数量 = 独立的平衡方程的数量,静定梁的条件为：,实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常用的方法为增加梁的支座 ,超静定梁,支反力的数量,独立的平衡方程的数量,对于,超静定梁：,一、概述,实例: 细长工件的 车削加工。,F,二、简单超静定梁,为了提高加工精度，增加尾顶针。,力学模型:,M,A,F,Ay,F,B,F,Ax,一次,超静定梁,A,B,l,a,F,C,求解超静定梁的方法:,变形比较法,1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立相当系统。,本问题中，解除支座,B，,代以多余约束反力,F,B,。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,本问题中，梁的变形条件为：,3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。,A,B,l,a,F,C,A,B,l,a,F,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,C,解题过程如下：,对于相当系统有：,解得：,A,B,l,a,F,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,C,A,B,l,a,F,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,C,作出梁的弯矩图,M,M,A,M,C,A,B,l,F,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,C,特殊地，当 时，,若未加尾顶针,B，,此时梁上的最大弯矩为：,M,M,A,M,C,A,B,l,F,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,C,特殊地，当 时，,梁上最大挠度为：,未加尾顶针时梁上的最大挠度为,合理地增加多余约束可以明显减小梁上的弯矩和变形。,变形比较法,1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立 相当系统。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,3、求出多余约束反力后，按,静定梁求解。,相当系统的内力图，应力和变形即为原,超静定梁的结果。,相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。,A,B,q,l,作出图示梁的剪力图和弯矩图。,例题,F,B,M,A,F,Ay,F,Ax,取相当系统如图：,A,B,q,l,由梁的变形条件：,解得：,M,取另一相当系统如图：,由梁的变形条件：,A,B,q,M,A,解得：,M,q,l,A,B,求图示梁的最大弯矩。,在某些高次超静定问题中,合理地应用,对称性,分析可以降低超静定次数。,该问题理论上说，是三次超静定问题。,在忽略,x,方向的轴向力时，该问题简化为是二次超静定问题。,可取相当系统如图：,q,l,A,B,M,B,q,l,A,B,M,B,由梁的变形条件：,解得：,M,A,B,q,取另一相当系统如图：,M,B,M,A,对于本问题，由对称性分析可知：,该问题可简化为一次超静定问题。,进而可得到：,M,例题（例6-8，,p194）,梁的抗弯刚度,外载荷,A,C,B,q,4m,3m,2m,F,D,求作梁的剪力图和弯矩图。,解：,A,C,B,q,4m,3m,2m,F,D,本问题为,一次超静定梁,解除,B,端的转动约束，,代以多余约束力偶,得相当系统如图。,C,F,D,B,A,B,q,C,F,D,B,A,B,q,A,C,B,q,4m,3m,2m,F,D,变形条件为：,C,F,D,B,A,B,q,由：,得：,解得：,对相当系统，可以求出各支座的支反力：,A,C,B,q,4m,3m,2m,F,D,求出支反力后，即可以按照静定梁的方法，画出梁的剪力图和弯矩图。,32.05,47.95,18.40,11.64,25.68,31.80,23.28,q,l,A,B,C,a,三、简单组合结构的超静定问题,例：,求,BC,杆的内力。,q,l,A,B,取相当系统如图：,结构的的变形条件为：,得到：,解得：,C,B,a,l,A,B,F,C,D,例：,两杆的,EI,相同求:,取相当系统如图：,A,B,F,C,C,D,结构的的变形条件为：,得到：,对于,AB,梁, 解得：,两梁的,EI,相同,杆 的,EA,均为已知，,求:,A,B,F,D,l,a,例题,A,B,F,D,相当系统如图：,结构的的变形条件为：,解：,