高等工程力学杆弹塑性解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,1,、材料拉伸和压缩时的应变应变曲线,（,1,）,低碳钢拉伸试验曲线：,a,p,e,b,o,s,d,c,b,e,3.1,力学模型的简化,2,（,4,）包辛格效应,(,反向屈服效应,):,具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。,通常,且,若,称为理想包辛格效应。,（,5,）真实应力,应变曲线讨论：,A,0,：,试件初始截面积,:,为名义应力,A,：,试件变形后截面积,:,为真实应力,利用体积不可压缩假设：,则,3,4,作图：,故有,1,-,5,2,、弹塑性力学中常用的简化力学模型,(2),、线性强化弹塑性力学模型,(1),、理想弹塑性模型：,6,(3),、幂强化力学模型：,(4),、刚塑性力学模型（,理想塑性模型）,在应力到达屈服极限之前应变为零。,7,理想弹塑性材料：,g,t,1.,弹性极限扭矩,x,y,z,o,M,t,r,t,s,x,y,o,M,e,R,弹性解：,屈服条件：,3.2,圆轴的弹塑性分析,2.,弹塑性阶段,t,s,x,y,o,M,e,R,x,y,o,M,p,R,t,s,r,p,3.,塑性极限扭矩,x,y,o,M,p,R,t,s,r,p,x,y,o,M,l,R,t,s,4.,残余应力：,当扭矩加至,M,p,后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。,M,p,:,卸去的应力：（按弹性计算）,残余应力：,r,t,r,R,r,p,1,、问题的提出：,当作用在梁上的载荷增加时。将进入弹塑性变形。,小变形：,2,、,基本假设：,应力：,平面假设。,3.3,梁的弹塑性分析,P,不计剪力影响,3,、极限弯矩,弹性极限,M,M,当,当,极限弯矩,均布载荷简支梁,1,、弹性分析：,由于,弹性极限载荷,2,、弹性极限载荷,:,中间弯矩：,随着载荷,q,的增大,梁中间截面上下两点首先进入屈服,.,由于,3,、弹塑性分析：,随着,q,的增大，塑性区将自梁中间上下两边开始对称地扩大。弹塑区的分界面随,x,的不同而不同。,中间截面：,应力对中性轴的矩：,中间截面：,截面上应力对中性轴的矩：,刚进入屈服时：,全部进入屈服时：,塑性铰,:,当截面全部进入塑性状态之前,梁的挠度受弹性区约束，变形仍处于弹性变形量级,即处于弹塑性小挠度状态。,极限载荷分析,:,全塑性截面,:,截面弯矩,:,从而有,:,当中间截面进入全塑状态时,截面上应力对中性轴的矩：,在任一,x,截面，,塑性区,:,则有：,可整理成：,或写成：,记：,上式为一双曲线方程，说明弹、塑性区交界线为一双曲线。,在任一,x,截面，,上式为一双曲线方程，说明弹、塑性区交界线为一双曲线。,渐近线,:,即,p,=1,渐近线方程,渐近线方程,为弹性极限,为全塑截面,p,的范围,:,弹性极限,由方程,即,全塑截面,得,由方程,即,考虑,的截面位置,:,例 简支梁受集中载荷,P,的作用,弹性极限,故弹性极限,:,弹塑性状态,:,有,:,或,:,即,:,弹塑性分界线为一抛物线。,iii,极限分析：,中央塑性铰形成时，有：,iv,塑性铰范围,考虑 的截面位置：,可得：,代入：,一、基本概念,1,、极限分析的任务和假设：,结构的极限状态：当外载荷一旦达到某一极限值时，结构变成几何可变结构。这时变形将无限制地增长，而使结构失去承载能力将无限制地增长。,极限分析又称破损分析（破坏分析）,结构极限分析理论：,加载,塑性变形规律 极限状态,弹塑性理论只解决少数简单问题。,弹塑性理论：,（弹性）（弹塑性）（极限状态）,加载,确定弹塑性的极限承载能力的两类方法：,3.4,结构的塑性极限载荷分析,极限分析的任务：,求出结构极限的载荷,研究在极限载荷作用下结构中的应力分布规律,找出结构在极限状态下的破损机构。,基本假设：,材料是理想刚塑性的。即采用刚塑性材料模型，不考虑材料的弹性性质和强化反应。,变形足够小。变形前后都能使用同一平衡方程，而且材料的几何关系是线性的。,在获得极限载荷前，结构不失去稳定性。,所有外载荷都按同一比例增加，即满足简单加载（或称比例加载）的条件。,2,、极限分析的基本原理和方法,静力容许的应力场：凡是满足平衡条件和力的边界条件，并且不破坏极限条件的应力场称为静力容许的应力场。,*当结构处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的，但静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。,机动容许的位移场：凡是满足几何约束条件、并使外力做正功的位移场，称为机动容许的位移场。,*极限状态时的位移场必定是机动容许的位移场，而机动容许的位移场不一定是真实的极限位移场。,下限定理：在所有的与静力容许的应力场所对应的载荷中，最大的载荷为极限载荷。,上限定理：在所有的与机动容许的位移场所对应 的载荷中，最小的载荷为极限载荷。,讨论：,由下限定理，如果整个结构满足平衡条件，并且不破坏极限条件，结构将不破坏，由此可以得到极限载荷的下限。,由上限定理，如果结构按某一形式破坏，即存在着内力功不大于外力功的状态，由于此时结构已经破坏，可以得到极限载荷的上限。,根据极限分析的上下限定理，可以有两种计算极限载荷的方法，即静力法和机动法：,静力法：根据静力容许的应力场求极限载荷的下限值，取其中最大者。,机动法：假定破坏机构求极限载荷的上限值，取其中最小者。,完全解：既是上限又是下限的解，即为真实的的极限载荷。,二、杆系结构的塑性极限载荷分析简例,1,、屈服条件：,桁架：截面上应力均匀分布。时屈服,梁：截面上应力分布为：,M,b,2,h,y,弹性极限,塑性极限,弹塑性状态,弹塑性状态梁截面上应力的合力为：,弯矩,弹性极限弯矩（,=,h,）：,塑性极限弯矩（,=0,）：,讨论：,塑性极限承载能力比弹性极限承载能力大,50,%,。,以上结论以矩形梁截面为参考，由此得到矩形梁截面形状系数为,1.50,。按类似的方法，可知圆截面梁的形状系数为,1.70,，而工字梁的形状系数约为,1.151.17,。,2,、几个简例：,承受集中力作用的静定梁：,l,l,P,中央截面弯矩,随着,P,的增加，弹性极限,弹性极限载荷,塑性极限载荷,x,c,塑性铰,弹性区,弹塑性区,考察梁中间塑性铰形成时的弹塑性区分界：,由,塑性铰形成时，梁中央处,此时,则可得,机动法：,形成塑性铰时，,内力功,外力功,静力法：,由此可得,完全解,为：,讨论：塑性铰与结构铰链的区别：,（,1,）一般情况下真实铰不承受力矩作用，塑性铰受定值弯矩,M,p,.,（,2,）,塑性铰是单向铰，反向时消失。,（,3,）完全解的三个条件：,平衡；,M,M,p,；,形成破坏机构：,r,=,n,+1.,其中,n,为静不定次数，,r,为塑性铰个数。,o,P,承受集中力作用的超静定梁：,（,1,）一端固定、一端简支梁：,l,l,P,A,B,R,B,弹塑性分析法：,此时,P,1,+,P,R,A,1,R,B,1,由于处形成塑性铰，成为静定梁，当,当,处再形成塑性铰时，,塑性极限载荷为,根据弯矩图，当 时，,静力法：、处形成塑性铰，,平衡方程：,解出：,机动法：,R,l,l,P,A,B,R,B,P,外力功,内力功,解出：,完全解为：,由,（,2,）两端固定梁：,n,=2,，,r,=3,l/2,l/2,P,A,B,P/2,P/2,P,静力法：,解,出：,机动法：,外力功,内力功,解出：,完全解为：,由,显然,*讨论：两端固定梁受均布载荷：,l,q,A,B,R,B,R,A,一端固定、一端简支梁受均布载荷作用：,静,不定次数,n,=1,，,需塑性铰个数,r,=2,A,处形成塑性铰后，系统静定。,考虑,C,处弯矩：,若,C,处形成塑性铰，即有：,41,l,q,A,B,R,B,R,A,考虑,C,处弯矩：,若,C,处形成塑性铰，即有：,或,考虑到弯矩二次曲线在,C,处取极值，应有：,可解,出：,*讨论用机动法求解,三杆桁架的塑性极限载荷分析：,静力,法：,3,2,杆,截面面积,A,得,屈服时：,有,破坏机构为：,2,杆屈服，,1,、,3,杆同时屈服，只有一种可能。,故,有：,*讨论：静不定次数,1,，塑性铰,2,，若,1,、,2,杆屈服，,3,杆也屈服；若只有,1,、,3,杆屈服，,2,杆不屈服，结构不破坏；若只有,2,杆屈服，,1,、,3,杆不屈服，结构不破坏。,机动法：,1,端固定，,5,端简支,消去,H,、,R,，,可得,单跨刚架的塑性极限载荷分析,静不定次数,n=,2,，塑性铰,r,=3,个，可能在,1,、,2,、,3,、,4,处。,列出平衡方程：,44,讨论：,：当,2,、,3,、,4,处形成塑性铰时：,即,：当,1,、,2,、,4,处形成塑性铰时,或,梁机构,层机构,或,45,当在,1,，,3,，,4,处形成塑性铰时，（考虑梁机构与层机构的迭加）,（,1,点）,可得问题的完全解：,复合机构,外力功,内力功,（,3,点）,（,4,点）,