《模态分析》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 结构动力分析、特征对求解,有限元法理论与应用,第十一章 结构动力分析、特征对求解,第二节 结构动力学平衡方程,第一节 结构动力学问题主要功能,返回,第三节 特征方程的求解,第四节 行列式搜索法,第五节 子空间迭代法,第一节 结构动力学问题主要功能,在工程实际中，结构受到的载荷常常是随时间变化的动载荷，只有当结构由此载荷而产生的运动非常缓慢，以致其惯性力小到可以忽略不计时，才可以按静力计算，因此，静力问题可以看为是动力问题的一种特例。一般工程中为了简化计算常把许多动力问题简化为静力问题处理。随着科技的发展，工程中对动态设计要求越来越多。工程结构所受的常见动载荷有谐激振力、周期载荷、脉冲或冲击载荷、地震力载荷、路面谱和移动式动载荷等。由于受这些随时间变化的动载荷的作用，由此而引起结构的位移、应变和应力等响应也是随时间变化的。有些结构虽受的动载荷幅值并不明显，但当动载荷的频率接近于结构的某一阶固有频率时，结构就要产生共振，将引起很大的振幅和产生很大的动应力。以致使结构发生破坏或产生大变形而不能正常工作。因此对某些工程问题，必须进行动力分析。,结构动力分析、特征对求解,返回,求解特征方程，计算结构的固有频率和振型，为进一步计算动力响应（振型叠加法等）作好准备，也可以直接用于确定结构可,能发生的共振频率和轴系的临界转速，还可以考虑梁、板单元的几何非线性对结构振动的影响。,结构动力分析、特征对求解,目前，国内外著名程序Nastran、ANSYS、ABAQUS、Radioss 、LSDYNA等主要动力分析功能有以下五种：,特征值问题的求解（模态分析）,历程响应分析,用振型叠加法计算结构在强迫力和强迫位移（包括,基础运动）下瞬态响应。,返回,结构动力分析、特征对求解,响应谱分析与随机振动分析,用逐步积分法求历程响应,频率响应分析,根据给定的反应谱曲线，采用振型叠加法对基础的随机,的强迫位移进行结构的最大位移和最大应力分析，可用,于求解冲击载荷条件下的结构响应。,不用求解特征方程的特征值和特征向量，而用Wi1son,法直接对动力方程进行数值积分，求解结构在强迫力和,强迫位移下的瞬态响应。,计算由于基础作谐运动引起的结构稳态响应，确定结构,的幅频特性与相频特性，也可以模拟结构在振动台上的,振动试验,返回,第二节 结构动力学平衡方程,结构动力分析、特征对求解,在静力分析中结构的平衡方程为：,（11-1）,当 这样一组力时，结构的动力方程,就很容易写出：,（11-2）,式中，,M,结构的总质量矩阵； ,C,为阻尼矩阵；,K,结构的总刚度矩阵； ,u,结构的位移向量；,R,（,t,）强迫力列阵。,如果结构承受基础加速度 而产生的惯性载荷，则动力平衡方程为：,式中， 是结构相对于基础的位移向量；,是结构的牵连加速度向量。,返回,第三节 特征方程的求解,结构动力分析、特征对求解,一般程序是采用两种方法来求解特征方程的，当结构的自由度较少，其总刚的上三角元素可一次放入内存时，可采用行列式搜索法，若结构的自由度较多时，总刚的上三角元素一次不能全放入内存，则需分块存宁，程序自动转入采用子空间迭代法求解特征方程。,考虑在无阻尼的自由振动系统中，结构的动力方程为：,（11-4）,设： 代入上式得：,令 为特征值， 为特征向量，则,返回,结构动力分析、特征对求解,若 存在非零解，必有：,求解（11-6）式可得出特征值 ，再将求得的 依次,代入下式：,可解得特征向量（振型） ，其中 为特征值,所对应的特征向量。特征向量 可取 和 ，使之正交归一化。,当考虑几何非线性影响时，结构的特征方程（11-5）式可改写为：,式中，,K,G,为结构的几何刚度矩阵。,方程（11-8）式与方程（11-5）式在解法上没有什么不同，因而无需另作讨论。需要注意的是由方程（11-8）式解得的特征值 时，表示结构已经失稳。,（11-6）,（11-7）,（11-8）,返回,第四节 行列式搜索法,结构动力分析、特征对求解,求解（11-5）特征方程行列式搜索法的基本思想是：利用Sturm序列的性质，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的位移，然后用移位逆迭代求特征向量，同时使特征值精化，遇到重根的情况，对特征向量施行格雷姆-施密特征正交化，以保证不发生丢根。,一、 Sturm序列的性质,关于Sturm序列以及它的性质，这里不做详细叙述，,只提一下我们将要用的结论。,记,（11-9）,为特征方程（11-5）的特征多项式，一般地，,返回,结构动力分析、特征对求解,是一,n,次多项式，它的,n,个另点，即为特征方程（11-5）的,n,个特征值。,将矩阵 进行三角分解（ 为某一给定的实数），并由此计算该矩阵的行列式值：,（11-10）,（11-11）,其中,d,ii,为对角矩阵,D,的各对角元素。,根据Strum序列的性质，可以推断， 的三角分解的矩阵因子,D,中的负元素的个数恰等于特征方程（11-5）的比 小的特征值的个数，反之若 ，则对角阵,D,中心有,i,个负元素。,返回,结构动力分析、特征对求解,二、 割线法求特征多项式的根,是 的,n,次多项式，若以变量 为横坐标轴，则 在平面上是一,n,曲线，与横坐标轴,n,次相交，有,n,个另点（重根按重数计），如图11-1。,图 11-1 特征多项式,返回,结构动力分析、特征对求解,设正数 是多项式 全部根的下界，即 中没有比,小的根，取 ， ，则按割线公式,（11-12）,可得到 的更接近的近似值，一般地，若 ， 是 的两个近,似值， ，用加速割线迭代计算下一个近似值 的,公式为：,这里 是常数，当 时，就是标准的割线迭代，当 时，,（11-13）,返回,结构动力分析、特征对求解,，但是收敛可能较慢。由于我们的目的是求一个接近,的移位，并不是由此完全确定 的值，因此算法中使用 ,达到加速收敛的效果，称为加速割线法。在程序中，当迭代,得到的近似值与前一个值很接近时，（即校正现在的移位已,相当小）， 被加倍。,由于 ，迭代可能跳过一个根或多个根，但是由于利,用了Strum序列的特性，通过对三角分解的负对角元的个数的,检查可以发觉。,当 或 时，迭代停止。,返回,结构动力分析、特征对求解,三、 逆迭代（反幂法）求最小特征对,我们知道对标准的特征方程 施行幂法，迭代的结果将收敛到最大的特征值所对应的特征向量。但是在工程实践中，感兴趣的是与低频相对应的特征向量，即要求最小的特征对，所以运用反幂法。,对特征方程 ，施行反幂法，相当于对 ,运用幂法求解最大特征对,该特征对即为我们要求的 的最小特征对。,在实际运算中，当然并不用矩阵求逆，而是在求解中，给定初始逆代向量 ，在每个迭代步 ，进行以下计算 ：,返回,结构动力分析、特征对求解,只要 不与 关于,M,正交，即 ，则当 时，,且满足,在实际的计算程序中，其具体运算步骤如下：,取 作为初始迭代向量,令,（11-14）,设第,K,次迭代时有方程,（11-15）,求解方程（11-15），得 。,返回,结构动力分析、特征对求解,取,若初始迭代向量 ，则当 时，,设第,l,次迭代达到精度，即,（11-16）,（11-17）,（11-18）,则取,返回,逆迭代法收敛于第一阶振型，在求出第一阶振型后，必须,从 中把第一阶振型的影响清除掉,经过迭代,才会向第,二阶振型收敛，在求出第二阶振型后，再从 中清除第一、,二阶振型的影响，迭代才会向第3阶振型收敛，一般地说，在,求出第r阶振型后，必须从 中把第一到r阶振型的影响全部,清除掉，迭代计算才向第r+1阶振型收敛。,结构动力分析、特征对求解,不难验证由此得到的特征向量 ，满足,（11-19）,返回,结构动力分析、特征对求解,四、 格雷姆施密特（GramSchmidt）正交化,若特征方程（11-5）的两个特征值互异，即 ，那么,它们对应的特征向量必关于,M,正交，即 。对于,特征值施重根的情况，例如 ，则 为,r,重,根，对应于它的特征向量有且仅有,r,个是线性无关的，为了在,重根处用逆迭代计算处,r,个,M,正交的特征向量，不发生遗漏，,采用格雷姆施密特正交化。,假定在逆迭代中已得到,S,个特征向量 ，现在要,扩充产生一个向量 ，它与 全部,M,正交，可任,给 与 线性无关，令,返回,结构动力分析、特征对求解,式中常数,a,i,可利用正交条件 ， 定出，,也就是在（11-20）式的两边左乘 ，并注意到：,即得,（11-21）,这样，在遇到重根时，用 代替 作为逆迭代的初始迭代,向量，对于第K次逆迭代类似地用 代替 作为迭代向,量作逆迭代，由于 满足与 正交的条件， 将,收敛到特征向量 。,返回,第五节 子空间迭代法,结构动力分析、特征对求解,子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶部分特,征对的有效方法。它实质上是李兹法（,Rayleigh,-,Ritz,）,和同时逆迭代法联合应用的结果。,1）取,q,个初始迭代向量，,q,NF,。（,NF,-为所求低,阶特征对）,2）用,q,个向量同时逆迭代和,Ritz,分析得到特征值和,特征向量的“最好”的近似值。,3）在迭代收敛后，用,Sturm,序列检查去验证要求的,特征值和特征向量。这方法相当于在,q,维子空,间进行迭代因此称为子空间迭代法。,返回,结构动力分析、特征对求解,一、 子空间迭代的基本思想,假定特征方程（11-5）的,q,个较小的特征值为 以及对应,的特征向量为 ，用矩阵的形式表示则有,其中,（11-22）,并且它们满足正交条件：,如果用,q,个线性无关的向量作为列构成初始迭代矩阵 ，即,q,个向量同时进行逆迭代，第,K,次迭代的公式为：,返回,结构动力分析、特征对求解,利用李兹（,Ritz,）法进行正交化具有收敛快的特点。如果,已选取,q,个线性无关的向量（称为李兹基向量），以它们为列,构成矩阵 ，令：,（11-23）,两边左乘 得：,（11-24）,（11-25）,（11-26）,则有,记,其中 是李兹坐标组成的,q,阶方阵，将 作为方程（11-22）,的特征矩阵 的近似值，以（11-23）代入（11-22），则有：,返回,结构动力分析、特征对求解,这是一个,q,阶的方程组， ， 是,K,、,M,的投影矩阵。,这样求解,n,阶特征方程的前,q,个特征值的问题就化为求解,q,阶特征方程（11-26）的全部特征值得问题了。当求出方程,（11-26）的特征值和相应的特征向量 和 以后，方程22的,前,q,个特征值的近似值为 ，相应得特征向量的近似值为：,根据方程（11-26）的特征向量 的正交性，即,则有,即由李兹法得到的 的各列是,M,正交的。,把同时逆迭代与李兹法结合起来，重复交叉进行，直至,达到预定的精度。,返回,结构动力分析、特征对求解,二、迭代步骤,第,k,次迭代的公式为,形成投影矩阵,（11-27）,（11-28）,（11-29）,（11-30）,（11-31）,程序用广义雅可比法解,q,阶特征方程（11-31）得 ，然后取,（11-32）,只要初始矩阵 的所有各列不同时与 的,任何一个正交，则当 时， ， 。,返回,结构动力分析、特征对求解,设第,l,次迭代达到精度，即,则取,（11-33）,式中 ， ， 分别时矩阵 ， ， 的第,i,个列向量。,求,n,阶特征方程的前,NF,个特征值和特征向量时，需选取,q,个初始迭代向量，,q,NF,。,q,必须大于,NF,是出于迭代收敛速度,的考虑，因为 第,j,个列向量收敛到 的收敛率为 ，如,果,q,大，则收敛得越快，即迭代次数减少，但是,q,越大，子空,间的维数就越大，每次迭代的运算次数就要增加，因此需要,综合考虑。经验认为取,q,=,min,（2,NF,，,NF,+8）比较好，因此它,一般为程序中隐含值。,q,也可以由用户输入。,返回,结构动力分析、特征对求解,三、用Sturm序列检查是否发生丢根,设第,l,次迭代达到精度，那么我们就已计算到,NF,个特征值的近似值 ，其相应的精确值可以认为在下式给出的邻域内：,由此关系式可以确定所有特征值的精确值的上界 ，然后应用,Sturm,序列的特性进行检查，即对,K,-,M,作三角分解,D,的负元素的个数等于,NF,，则说明没有漏根，已计算的特征值和特征向量为我们所要求的。,当需要求的特征对的数目相当多，（例如大于50），经验表明用基本的子空间迭代法随着特征对数目的增加，求解收敛非常慢，需要大量的子空间迭代。此时建议利用移位和超松弛技术来改进子空间迭代法，这里不再多述。,返回,