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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,杨思钦,*,一元二次不等式的解法,（一）,o,x,y,1,复习回顾,问题,1,：一元二次方程的解法有哪些呢？,问题,2,：同学们还记得二次函数吗？二次函数的形式是怎样的？你记得二次函数的性质吗？,2,提出问题,今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为,40,平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多,6,米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？,建立数学模型：分析：设绿化带长为,m.,则依题意有,.,整理得,.,3,问题：,（,1,）如何解一元二次方程,（,2,）二次函数 的图象是,什么曲线？,（,3,）一元二次方程 的,解与二次函数 的图象,有什么联系？,4,一元二次方程 的解实,际上就是二次函数,与,x,轴交点的横坐标。,下面我们来研究如何应用二次函数的图象,来解一元二次不等式。,5,首先，我们可以把任何一个一元二次,不等式转化为下列四种形式中的一种：,6,以上四个不等式中我们规定了,如果题目中给出的不等式中二次项系,数小于,0,，哪怎么办呢？,对了，我们只要在不等式两边同乘,-1,，,然后把不等式的方向改变一下，就可,化为以上四种形式中的一种。,下面我们就利用二次函数的图象来解,以上,4,个不等式。,7,设,f(x)=,a,x,2,+bx+c,(,a,0),且设方程,f(x)=0,在,0,时的两个根分别是,x,1,、,x,2,，且,x,1,x,2,。,下面我们一起来完成下表：,8,b,2,4,a,c,0,0,0,f(,x,),0,的解集,f(,x,),0,的解集,f(,x,)0,的解集,f(,x,)0,的解集,y=f(,x,),的图象,O,x,y,x,1,x,2,O,x,y,x,b,2,a,O,x,y,R,R,R,9,填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数形结合的思想。,由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤：,（,1,）把所给不等式化为四种标准形式之一；,（,2,）判断所对应二次方程的根的情况；若,有根，则求出其根。,（,3,）画出所对应的二次函数的图象；,（,4,）根据图象写出不等式的解集。,10,例,1,、求下列不等式的解集：,解,：（,1,）将原不等式变形为：,即,原不等式的解集为,解,：（,2,）将原不等式变形为,原不等式的解集为,解,：（,3,）将原不等式变形为,方程 所对应的,=-56,0,原不等式的解集为,R,。,解,：（,4,）将原不等式变形为,所对应的二次方程的,=0,，,原不等式的解集为,解,：（,5,）将原不等式变形为,所对应的二次方程的,=-44,0,，,原不等式的解集为,11,例,2,、已知关于,x,的不等式,的解集是,xx,-2,或,x,求 的解集。,分析：本题主要强化一元二次方程、一元,二次不等式与二次函数图象间的关系。,解法一：,由此可得,a,bc=(-2)(-5)(-2),且,a0,所求解的不等式为：,即,(x-2)(2x-1)0,解得,不等式 的解集为,解法二：由已知得,的两个根，且,a,0,，,解得,不等式 即为,即不等式 的解集为,小结：两种解法都是先试图找出,a,、,b,、,c,的,关系，再解出一元二次不等式的解集。,12,例,3,、不等式,对任意,xR,恒成立，求,a,与,m,之间的关系。,分析：不等式对任意,xR,恒成立，就是不等式的解集为,R,。对于二次不等式,的解集为,R,的条件为,解：将原不等式变形为,以上不等式对,xR,恒成立。,当,a-m+1=0,时，原不等式化为,x-1,0,，,与,xR,不符，应舍去。,当,a-m+10,时，,由得：,a,m,，则有,a-m,0 ,联立得,a,m,。,注意：二次项系数为,0,的情况一定要考虑，,而这往往是容易忽略的，一定要引起大,家的高度重视。,13,例,4,、解关于,x,不等式,解：原不等式可化为,它所对应的二次方程的两 根为,-2a,，,3a,。,当,-2a,3a,，即,a,0,时，,原不等式的解集为,x3a,x,-2a,；,当,-2a=3a,，即,a=0,时，原不等式的解集为 ；,当,-2a,3a,，即,a,0,时，原不等式的解集为,x-2a,x,3a,。,小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。,14,小结：,（,1,）根据数形结合的思想，利用二次,函数的图象解二次不等式。,（,2,）根据分类讨论的思想，正确选定,分类标准，解含参数的不等式。,15,同学们再见！,16,
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