【教学课件】第六章采样离散控制系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 采样离散控制系统,6.1 引 言,目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越,多地参与系统的控制.而计算机所能接收和输出的信号只能是数,字信号,数字信号是关于时间t的离散信号.简单来说这种系统叫,采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示:,图中,S是采样开关,它以周期T开闭一次.当连续信号e(t)经过,采样开关S后,得到一时间t的离散信号,.上图中的其它信号,都是时间t的连续信号.于是定义:在系统中只要有一处的信号是,时间t的离散信号,即为时间t的断续函数时,此系统就叫采样离,散系统,简称离散系统.,由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离,散信号等特点,给对系统的研究带来一些新问题.下面先从研究,离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散,系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统,的思路与方法.,6.2 信号的采样和保持,6.2.1采样过程和离散信号的数学表达式,假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零,且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为,理想采样开关.如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单,位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列,见下图:,上图中,如,理想采样开关的输入为任一连续信号x(t),且当t0时,x(t)=0,则理想采样开关的输出如下图所示:,上图中,叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为:,对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的,单位脉冲序列可展开成下面级数:,式(3)中:,叫采样角频率,叫采样频率.将式,(3)代入式(1)得:,对式(4)进行拉氏变换:,令式(5)中的,得,的频,谱,表达式:,式(2)和式(5)是,的两种不同形式的拉氏变换表达式,式(2)中的,与,中的,建立了联系,而式(5)变成式(6),后,式(6)中的,是,的频,谱,并可证明,是,的,周期函数.前已交代过,采样前的连续信号,的拉氏变换式为,其频,谱,表达式为,因此式(6)中的,与采样前的连续信,号的频,谱,建立了联系.由于,是,的周期函数,所以离散信,号频,谱中每隔,重复出现采样前的连续信号的频,谱,即,连续信号,经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频,谱的,幅值是,采样前的连续信号频,谱幅值的1/T.因此式(2)和式(6)各有,各的使用场合.式(2)和式(5)虽都是无穷级数,但通常可将式(2),写成闭合形式,而却不能将式(5)写成闭合形式,下面举例说明,例:设,求,的拉氏变换式.,解:先用,式(2)求.,再用式(5)求.,由上例可见,的拉氏变换式为,只有一个s=0的极点,而,的拉氏变换式为,有无穷多个极点,这给分析离散系统带,来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要,专门介绍Z变换的原因.,一个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的,动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍,对系统的分析也较方便.以后讨论问题时,均以同步等周期采样,作为各个开关的动作方式,6.2.2 信号的复现和采样定理及保持器,实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将,离散信号转换成采样前的连续信号,如计算机控制系统中的D/A,转换器就起这一作用.问题是,经采样的离散信号能否复原成,采样前的连续信号?如能,应具备什么条件,用何装置实现?,本小节就讨论这些问题.,由下图,可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的,但离散信号所对应的连续信号却并不唯,一,而有无穷多个,请见左图.,图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连,连续信号,而经采样所得到的离散信号,是相同的,即一个离散信号可对应无穷,多个连续信号.如果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散,信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期,应小到什么程度?,香农采样定理:要由离散信号完全复现出采样前的连续信,号,必须满足:采样角频率,大于或等于两倍的采样器输入连,续信号频谱中的最高频率,即:,对,香农采样定理举例说明,设有叫钟形波的,连续信号,其,时域和幅频表达式为:,其幅频曲线如下图:,由式(6),离散的钟形波,其幅频曲线如下图:,若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器,其幅频特性表为:,幅频曲线如上图,钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量.主频,分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的1/T.因此,可完全复现连续信号.如采样角频率不满足采样定理,采样后钟,形波离散幅频谱见上图绿色波形,则可将,可见,由于幅频谱各分量互相,搭接,既使采用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号.,上述具有,锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用,零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似,零阶保持器,复现连续信号,如右图所示:,离散信号如下图:,零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一,个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的,脉动序列,如上图.,再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线,连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚,线表示的原连续信号,且采样周期越小,复现精度越高.,图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间,上滞后了T/2.经上分析,可得零阶保持器的传递函数为:,其频率特性表达式为,其频率特性曲线请见书上P.334图6.2.4,可见零阶保持器是一相位,滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似,地复原连续信号.D/A转换器就具有零阶保持器的作用,步近电,机也具有零阶保持器的作用.零阶保持器还可用阻容网络实现.,6.3 Z变换和Z反变换,6.3.1 Z变换定义和求法,由离散信号的拉氏变换式,可见,其含有,的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应,用Z变换可解决这一难题.为此在上式中,令,则定义,为,的Z变换,并以,下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换.,1.幂级数法,例1:求单位阶越函数的Z变换.,表示.有时为书写方便,也将,写成,解:,由,的Z变换,其中,是常量.,例2:求,解:,与,比较可知,表示相对时刻0滞后i个采样周期,或称滞后i拍,而,前的系数表示第i个采样时刻的采样值.这一,结论具有普遍性.,2.部分分式法,若x(t)由其拉氏变换式X(s)给出,且X(s)是s的有理函数并其分,母多项式便于分解因式时,可将X(s)展开成部分分式,即:,式中,是X(s)各不相同的单极点,是,的留数,而,所对应的时间函数为,由例2,上式的Z变换式是:,因此,相应于X(s)的像原,函数x(t)的Z变换为,例3:求,的Z变换式.,解:,3.留数法,若x(t)由其拉氏变换式X(s)给出,且X(s)是s的有理函数并其所,有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理,和复变函数中的留数定理求其Z变换.设,式(2)中:,表示,阶重极点,且,表示,的阶数.,为在极点,上的留数,当,为单极点时,留数为,当,为,阶重极点时,留数为,需注意的是,阶重极点只对应一个留数.,例:求,和,的Z变换.,解:,常用时间函数,的拉氏变换和Z变换见书上P.339表6.1,6.3.2 Z变换的基本定理,1.线性定理,实域位移定理,滞后定理,当,时,有,则上式为:,超前定理,当,时,有,则上式为:,3.初值定理,4.终值定理,终值定理的使用条件为:,的所有极点都在Z平面上的,单位圆内,也即当,时,是收敛的.,5.复域位移定理,例:求,的Z变换.,解:由于,用,替换左式中的z得,6.复域微分定理,7.差分定理,后向差分,前向差分,8.叠分定理,9.卷积定理,6.3.3 Z反变换,由X(z)求出x(kT)或x*(t)叫Z反变换,一般记为:,需特别强调的是,由X(z)经Z反变换求出的是x(kT)或x*(t),而不,是x(t).,1.幂级数法,当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法,将X(z)展开成z的幂级数,进而求得x(kT)或x*(t).,例:求,的原函数x*(t).,解:,采用幂级数法,对于稍复杂的X(z)很难写出x*(t)的通项式x(kT),所以也难写出x*(t)的闭合形式,2.部分分式法,当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式,便于分解成z的一次因式时,可用部分分式法把X(z)变成分式和的,形式,再由z变换表求出x(kT)或x*(t).由于z变换式中的分子一,般均含有z因子,因此在对X(z)进行部分分式前,先将X(z)/z,再,对X(z)/z进行部分分式,然后对X(z)/z部分分式和中的各项再乘,以z,最后得X(z)的分式和.,如X(z)/z含有r个相同的极点,(n-r)个各不相同的极点,则,X(z)/z的部分分式和为如下形式:,式(1)中:,是X(z)/z的单极点,是相应于,的待定系数,且,是X(z)/z的r重极点,r重极点有,r个待定系数,且,从而,例:求,的原函数.,解:,3.留数法,当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于,分解成z的一次因式时,可用留数法直接求出x(kT)或x*(t).如,(n-r)个各不相同的极点,含有r个相同的极点,则,需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数.,例:求,的原函数.,解:,课外习题:P.412第6.3题,第6.3题(1)(2)(3)用部分分式法,(4)(6)用留数法,6.4,离散系统,的数学模型,6.4.2离散系统数学模型的模式之一_脉冲传递函数,1.脉冲传递函数的定义,定义:线性定常离散控制系统,在零初始条件下,输出离散信,号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比,称为该系统的脉冲传,递函数,或叫Z传递函数,即:,G(z)的一般表达式为:,2.求法,常用求法有三种.,(1)由定义求G(z);,(2)由G(s)求G(z),对于连续系统可得右图:,如,则,从而,因为,所以由定义得:,上图为:,当输入信号为任意脉冲序列时,也可由上式求出G(z).但需特别,指出的是,例:某环节(或系统)的S域传递函数为:,求其Z,传递函数.,解:,(3)由离散系统结构图求,脉冲传递函数,A.开环系统的脉冲传递函数,开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍.,a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关,如下图所示:,则上图的脉冲传递函数为:,b.开环系统中串接环节之间无采样开关,如下图所示:,