拉格朗日定理和(精品)

返回,后页,前页,1,拉格朗日定理和,函数的单调性,一、罗尔定理与拉格朗日定理,二、函数单调性的判别,质来得到,f,在该区间上的整体性,质,.,中值定理,就可以根据,在区间,上,的性,中值定理是联系,与,f,的桥梁,.,有,了,返回,定理,6.,1,(,罗尔中值定理,),一、,罗尔定理,与,拉格朗日,定理,那么在开区间,(,a,b,),内必定,(,至少,),存在一点,使,(i),在闭区间,a,b,上连续,;,(ii),在开区间,(,a,b,),上可导,;,(iii),f,(,a,),=,f,(,b,).,(1),几何意义,据右图,平的,.,一点处的,切线也是水,看出,曲,线上至少有,的,.,由几何直,观可以,所以线段,AB,是水平,因为,点击上图动画演示,f,(,a,),=,f,(,b,),(2),条件分析,定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不,在,0,1,上满足条件,(ii),和,一定成立,.,数在,(0,1),上的导数恒为,1.,(iii),但条件,(i),不满足,该函,满足条件,(i),和,(iii),但条件,条件,(i),和,(ii),但条件,(iii),满足,处不可导,),结论也不成立,.,(ii),却遭到破坏,(,f,在,x,=,0,内的导数恒为,1.,却遭到破坏,该函数在,(0,1),-1,O,1,2,1,2,3,4,条件都不满足,却仍有,f,(0),=,0.,这说明罗尔定,理的三个条件是充分,条件,而不是必要条件,.,定理的证明,因为,f,(,x,),在,a,b,上连续,所以由连续函数的最大、,情形,1,M,=,m,.,此时,f,(,x,),恒为常数,它的导函数恒,f,(,)=0,.,小值,m.,下面分两种情形加以讨论,.,最小值定理,f,(,x,),在,a,b,上能取得最大值,M,和最,等于零,此时可在,(,a,b,),内随意取一点,就,有,情形,2,m,0,存在 使,由于,有,因,二、函数单调性的判别,改为严格不等号,则相应地称它为严格增,(,减,),.,下面的定理是本节中的两个主要定理,今后将不,若函数,若“”,断地使用,.,定理,6.3,证,定理,6.4,可微函数,f,(,x,),在区间,I,上严格递增的充,即,证,个区间,.,满足 的点集不含一,要条件是：,矛盾,.,充分性得证,.,注,请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理,.,必要性请读者自证,.,在实际应用中我们经常会用到下面这个事实,.,性质,作为应用，下面再举两个简单的例子,.,例,7,求证,证,恒有,例,8,设,f,(,x,)=,x,3,x,.,讨论函数,f,的单调区间,.,解,由于,因此,即,-1.5,-1,-0.5,0.5,1,1.5,-1.5,-1,-0.5,O,0.5,1,1.5,复习思考题,的证明相,比较,.,罗尔定理证明的主要方法是什么,?,试与达布定,理,