资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 单自由度系统的受迫振动,第,2,章单自由度系统的受迫振动,目录,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.2,周期激励作用下的受迫振动,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.4,响应谱,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,第,2,章单自由度系统的受迫振动,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.1,振动微分方程,2.1.2,受迫振动的振幅,B,、相位差的讨论,2.1.3,受迫振动系统力矢量的关系,2.1.4,受迫振动系统的能量关系,2.1.5,等效粘性阻尼,2.1.6,简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,天津大学,受迫振动,激励形式,系统在外界激励下产生的振动。,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。,简谐激励是最简单的激励。,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.1,振动微分方程,简谐激振力,H,为激振力的幅值，,w,为激振力的圆频率。以平衡位置,O,为坐标原点，,x,轴铅直向下为正，物块运动微分方程为,具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程,，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,简谐激励的响应全解,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解,齐次,解,:,x,1,(,t,),特解,:,x,2,(,t,),有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,2.1.1,振动微分方程,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,x,2,(,t,)-,有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：,2.1.1,振动微分方程,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。,稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。,2.1.1,振动微分方程,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.2,受迫振动的振幅,B,、相位差 的讨论,在低频区和高频区，当 ,1,的区域,(,高频区或惯性控制区,),，,，,，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,3,、,1,的附近区域,(,共振区,),，,急剧增大并在,1,略为,偏左处有峰值。通常将,1,，即,p,n,称为共振频率。,阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，,1,时，总有，,/2 ,这也是共振的重要现象。,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.2,受迫振动的振幅,B,、相位差 的讨论,例 题,例,质量为,M,的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为,e,，偏心质量为,m,。转子以匀角速,w,转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为,k,的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为,c,。,解,：取电机的平衡位置为坐标原点,O,，,x,轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力,Mg,、弹性力,F,、阻尼力,F,R,、虚加的惯性力,F,Ie,、,F,Ir,，受力图如图所示。,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,根据达朗贝尔原理，有,=,h,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,电机作受迫振动的运动方程为,当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率,p,n,时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,阻尼比,z,较小时，在,l,= 1,附近，,b,值急剧增大，发生共振。,由于激振力的幅值,me,2,与,2,成正比。,当,0,时，,0,，,B,0,；当,1,时，,1,，,B,b,，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。,幅频特性曲线和相频特性曲线,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,例,2.2,在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为,c,，物块的质量为,m,，弹簧的弹性常量为,k,。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为,试求物块的运动规律。,建立物块的运动微分方程,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,利用复指数法求解，用 代换,并设方程的解为,放大系数,例 题,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.3,受迫振动系统力矢量的关系,已知简谐激振力,稳态受迫振动的响应为,现将各力分别用,B,、,的旋转矢量表示。,应用达朗贝尔原理，将,弹簧质量系统,写成,式,2-11,不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形图,2-7,。,惯性力,阻尼力,弹性力,激振力,（,a,）,力多边形,(b),z,1,(c),z,= 1,(d),z,1,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.3,受迫振动系统力矢量的关系,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.4,受迫振动系统的能量关系,从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。,受迫振动系统的稳态响应为,周期,1.,激振力,在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在一周期内做功为 ，做功最多。,对于无阻尼系统,(,除共振情况外,),相位差 。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。,或,2.,粘性阻尼力 做的功,上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅,B,的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.4,受迫振动系统的能量关系,3.,弹性力 做的功,能量曲线,表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。,在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.4,受迫振动系统的能量关系,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.5,等效粘性阻尼,在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。,非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。,等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。,假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即,非粘性阻尼在一个周期内做的功,粘性阻尼在一周期内消耗的能量,相等,等效粘性阻尼系数,利用式,得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.5,等效粘性阻尼,库仑阻尼,阻尼力表示为,一周期内库仑阻尼消耗的能量为,等效粘性阻尼系数,得到稳态振动的振幅表达式,相等,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.5,等效粘性阻尼,结构阻尼,一周期内,结构,阻尼消耗的能量为,相等,等效粘性阻尼系数,具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.5,等效粘性阻尼,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.6,简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。,先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为,通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即,根据初始条件确定,C,1,、,C,2,。于是得到全解为,特点是,:,振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。,无激励时的自由振动,系统对初始条件的响应,稳态强迫振动,伴随激励而产生自由振动,称为,自由伴随振动,2.1,简谐激励作用下的受迫振动,2.1.6,简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段,无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，,一般总是,p,n,和 两个不同频率简谐振动的叠加。,2.2,周期激励作用下的受迫振动,第,2,章单自由度系统的受迫振动,周期振动的谐波分析,周期振动,展成傅氏级数,一个周期,T,中的平均值,n,=1,2,3,n,=1,2,3,基频,2.2,周期激励作用下的受迫振动,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,周期振动的谐波分析,2.2,周期激励作用下的受迫振动,周期振动的谐波分析,2.2,周期激励作用下的受迫振动,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。,由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。,这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。,例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数,F,(,t,),可表示为,表示,F,(,t,),的波形关于,t,轴对称，故其平均值为零。,周期振动的谐波分析,2.2,周期激励作用下的受迫振动,n,=1,，,2,，,3,于是，得,F,(t,),的傅氏级数,F,(,t,),是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。,F,(,t,),的幅值频谱如图所示。,周期振动的谐波分析,2.2,周期激励作用下的受迫振动,2.2,周期激励作用下的受迫振动,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。,设粘性阻尼系统受到周期激振力,谐波分析方法，得到,系统的运动微分方程为,周期,基频,由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应,2.2,周期激励作用下的受迫振动,例,2.3,弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。,(,其中,),解：周期性矩形波的基频为,矩形波一个周期内函数,将矩形波分解为,固有频率,2.2,周期激励作用下的受迫振动,可得稳态响应,将矩形波分解为,从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于,频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大,因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,画出系统的响应频谱图,奇数,2.2,周期激励作用下的受迫振动,2.3,任意激励作用下的受迫振动,第,2,章单自由度系统的受迫振动,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.1,系统对冲量的响应,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3.3,单位脉冲响应函数的时,-,频变换,2.3.4,系统对任意激振力的响应,2.3.5,传递函数,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.1,系统对冲量的响应,物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度,设冲量的大小为,作用在单自由度系统中，求响应。,对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。,1.,用冲量描述瞬态作用,如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应,初位移,初速度,得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应,如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.1,系统对冲量的响应,同理，如果在,t,= 0,时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应,如果 作用在 的时刻，则物块的响应为,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.1,系统对冲量的响应,用,(,t,),函数表示作用在极短时间内冲击力,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数,1,。,函数的定义是,从积分式可见，如果时间以秒计，,(,t,),函数的单位是,1/s,。,用,单位脉冲,(unit impulse),函数,(,t,),表示,冲击力,冲量,表示施加冲量的瞬时,如果在,t,= 0,的瞬时施加冲量，则相应的冲击力,当 ，即施加单位冲量时，冲击力为,F,是冲击力,(,t,),函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，,根据初始条件可确定,A,和,。最后得其响应,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,为了应用方便，单位脉冲函数的响应用,h,(,t,),表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应,有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应,称为单自由度系统的时域响应函数,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,h,(,t,),有以下特性,不难发现,h,(,t,),的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。,h,(,t,),是单位脉冲冲量的响应，其量纲为,位移,/,冲量,。,2.3.2,系统对单位脉冲力的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,作用有一任意激振力,F,(,t,),欠阻尼情形物块的运动微分方程,将激振力看作是一系列元冲量的叠加,元冲量为,得到系统的响应,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间内各个元冲量的总和，即,得到系统的响应,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔,(,Borel,),定理，也称杜哈梅,(,Duhamel,),积分。,对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应,用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为,对于无阻尼振动系统的响应为,t,t,1,即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。,以,为初始条件的运动,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力,F,0,的作用，试求其响应。,积分后得响应为,代入,在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力,F,0,的方向移动一距离,解：取开始加力的瞬时为,t,= 0,，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且 。,也是弹簧产生的静变形。,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,若阶跃力从,t,=,a,开始作用，则系统的响应为,t,a,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,解：在 阶段，系统的响应显然与上例的相同，即,例 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力,作用，试求其响应。,当,t,t,1,时，,F,(,t,) = 0,，得,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,系统的响应为,t,t,1,实际上，在,t,t,1,阶段，物块是以,t,=,t,1,的位移,x,1,和速度 为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。,将初始条件,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.4,系统对任意激振力的响应,例 题,系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为 ，求质量,m,的相对位移。,解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为,系统的激振力为,可得响应为,其中,2.3,任意激励作用下的受迫振动,例 题,解：由上题可得系统的微分方程为,基础有阶跃位移,系统的激振力为,可得响应为,上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。,2.3,任意激励作用下的受迫振动,作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯,(,简称拉氏,),变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。,现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程,其中,f,(,t,),表示任意的激振力。并设,t,= 0,时，,对式两端各项作拉氏变换,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.5,传递函数,对式两端各项作拉氏变换,经整理得,是系统的响应在拉氏域中的表达式,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.5,传递函数,如不计运动的初始条件，即令 ，则写成,传递函数,在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。,2.3,任意激励作用下的受迫振动,2.3.5,传递函数,
展开阅读全文