数学分析课件之十六章多元函数的连续与极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 平面点集与多元函数,2,二元函数的极限,3,二元函数的连续,第十六章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数,一 平面点集,三 多元函数的概念,一、平面点集,1. 邻域:,以点,X,0,= (,x,0,y,0,),为中心, 以,为半径的圆内部点的全体称为,X,0,的,邻域.,即,记 (,X,0,) = U,(,X,0,) ,X,0, 称为,X,0,的去心,邻域.,如图,X,0,X,0,U,(,X,0,), (,X,0,),当不关心邻域半径时, 简记为,U,(,X,0,),和, (,X,0,).,2.,内点,:,设,E,是一平面点集,X,0,= (,x,0,y,0,),E,若,存在,邻域 U(,X,0,) ,E,则称,X,0,为,E,的内点.,E,的全体内点所成集合称为,E,的内部, 记为,E,0,.,D,= (,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,如图,x,y,o,x,2,+,y,2,= 1,1,1,D,易知, 圆内部的每一点都是,D,的内点. 但圆周上的点不是,D,的内点.,x + y,= 0,x,y,0,如图,D,又如,z,= ln (,x,+,y,),的定义域,D,= (,x,y,)|,x+y, 0,易见, 直线上方每一点都是D,的内点. 即,D,=,D,但直线上的点不是,D,的内点.,3. 边界点:,设,E,是一平面点集,X,0,= (,x,0,y,0,),是平面上一个点. 若,X,0,的,任何,邻域,U(,X,0,)内既有属于,E,的点, 又有不属于,E,的点,则称,X,0,为,E,的边界点.,E,的全体边界点所成集合称为,E,的边界. 记作,E,.,如, 例1中定义域,D,的边界是直线,x,+,y,= 0,上点的全体. 例2中定义域,D,的边界是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1,上的点的全体. 如图,x,y,o,1,1,x,2,+,y,2,= 1,D,x + y,= 0,x,y,o,E,的边界点可以是,E,中的点, 也可以不是,E,中的点.,D,4. 开集,设,E,是一平面点集, 若,E,中每一点都是,E,的内点.,即,E,E,0,则称,E,是一个开集.,由于总有,E,0,E,因此,E,E,0,E,=,E,0,故也可说,比如, 例1中,D,是开集, (,D,=,D,0,),而例2中,D,不是开集.,若,E,=,E,0, 则称,E,是一个开集.,规定, R,2,为开集.,x,y,o,E,又比如,E,如图,若,E,不包含边界, 则,E,为开集.,若,E,包含边界, 则,E,不是开集.,结论,:,非空平面点集,E,为开集的充要条件是,E,中每一点都不是,E,的边界点. 即,E,不含有,E,的边界点.,证:,必要性.,设,E,为开集,X,E,由开集定义知,X,为,E,的内点. 故,X,不是,E,的边界点.,充分性,.,若,E,中每一点都不是,E,的边界点.,要证,E,为开集.,X,E,由于,X,不是,E,的边界点.,故必存在,X,的一个邻域U(,X,),在这个邻域 U(,X,),内或者全是,E,中的点. 或者全都不是,E,中的点, 两者必居其一.,由于,X,E,故后一情形不会发生.,因此, U(,X,),内必全是,E,中的点. 故,X,E,0,即,E,E,0,所以,E,是开集.,5. 连通集,设,E,是一非空平面点集, 若,X,Y,E,.,都可用完全含于,E,的折线将它们连接起来, 则称,E,为连通集.,如图,X,Y,E,连通,Y,X,E,不连通,从几何上看, 所谓,E,是连通集, 是指,E,是连成一片的.,E,中的点都可用折线连接.,例1, 2中的,D,都是连通集.,如图,x + y,= 0,x,y,o,x,y,o,1,1,x,2,+,y,2,= 1,6.,开区域(开域),设,E,是一平面点集.,比如, 例1中,D,是开区域.,如图.,E,从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.,若,E,是连通的非空开集, 则称,E,是开区域.,7. 闭区域 (闭域),若,E,是开域, 记,称为闭区域.,如图.,E,易见, 例2中的,D,是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,8. 设,E,R,2, 若存在,r, 0,使,E, U(,O,r,),则称,E,为有界集. 否则称,E,为无界集.,易见, 例1中,D,是无界集, 它是无界开区域, 而例2中,D,是有界集, 它是有界闭区域.,9. 聚点.,设,E,是平面点集,X,0,是平面上一个点. 若,X,0,的,任一,邻域内总有无限多个点属于,E,.,则称,X,0,是,E,的一个聚点.,从几何上看, 所谓,X,0,是,E,的聚点是指在,X,0,的附近聚集了无限多个,E,中的点. 即, 在,X,0,的任意近傍都有无限多个,E,中的点.,X,0,如图,1.,聚点定义也可叙述为: 若,X,0,的任一邻域内至少含有,E,中一个,异于,X,0,的点. 则称,X,0,为,E,的 一个聚点. (自证).,2.,E,的聚点,X,0,可能属于,E,也可能不属于,E,.,3.,E,的内点一定是,E,的聚点.,4. 若,E,是开区域. 则,E,中每一点都是,E,的聚点.,即, 区域中的任一点都是该区域,的聚点.,一般, 集合,E,的边界点不一定是,E,的聚点. 但若,E,是开集, 则,E,的边界点一定是,E,的聚点, 自证.,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点,这些概念都可毫无困难地推广到三维空间,R,3,中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义,.,（3）,点集,E,的聚点可以属于,E,，也可以不属于,E,例如,(0, 0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（1）,内点一定是聚点；,说明：,（2）,边界点可能是聚点；,例如，,(0, 0),既是,边界点也是聚点,（4）,n,维空间,实数,x,一一对应,数轴点.,数组 (,x,y,),实数全体表示直线(一维空间),一一对应,平面点,(,x,y,) 全体表示平面(二维空间),数组 (,x,y,z,),一一对应,空间点,(,x,y,z,) 全体表示空间(三维空间),推广,：,n,维数组 (,x,1,x,2, ,x,n,),全体称为,n,维空间,，记为,n,维空间中两点间,距离公式,设两点为,特殊地，当,n,=,1, 2, 3,时，便为数轴、平面、空间两,点间的距离,n,维空间中,邻域,概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,三 多元函数,的概念,回忆,点集,D,-定义域，,- 值域.,x,、,y,-,自变量,，,z,-,因变量,.,1.二元函数的定义,与一元函数相类似，对于定义域,约定,：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例,求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,2.多元函数的概念,定义,2 二元函数的极限,一、二元函数的极限,二 、多元函数的极限,三、累次极限,回忆一元函数的极限. 设,y,=,f,(,x,),当,x,不论是从,x,0,的左边,还是从,x,0,的右边无限接近于,x,0,时, 对应的函数值无限接近于数,A,.,表示,如图,x,y,A,0,f,(,x,),f,(,x,),y,=,f,(,x,),x,0,x,x,x,x,0,就是, 0, 0.,当0|,x,x,0,|, 时, 有|,f,(,x,),A,| .,设二元函数,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,),定义域为,D,.,如图,D,z,=,f,(,x,y,),X,X,如果当,X,在,D,内变动并无限接近于,X,0,时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值,f,(,X,),无限接近于数,A,则称,A,为当,X,趋近于,X,0,时,f,(,X,),的极限.,M,X,0,A,y,z,x,o,f,(,X,),一、二元函数的极限,类似于一元函数,f,(,X,),无限接近于数,A,可用 |,f,(,X,),A,| 0, , 0, 当,对应的函数值满足,|,f,(,X,),A,| 0，,P,0,的去心,邻域,U,(,P,0,)。,在,U,(,P,0,),内，函数,的图形总在平面,及,之间。,例2,求证,证,当 时，,原结论成立,注意,： 是指,P,以任何,方式趋于,P,0,.,一元中,多元中,确定极限,不存在,的,方法,：,(1),令,),(,y,x,P,沿,),(,0,0,x,x,k,y,y,-,+,=,趋向于,),(,0,0,0,y,x,P,，,若极限值与,k,有关，则可断言极限不存在；,(2),找两种不同趋近方式，使,),(,lim,0,0,y,x,f,y,y,x,x,存在，但,两者不相等，此时也可断言,),(,y,x,f,在点,),(,0,0,0,y,x,P,处极限不存在,例3,设,解,但取,其值随,k,的不同而变化。,不存在,故,例4,求,解,例5,求极限,解,其中,注1.,定义1中要求,X,0,是定义域,D,的聚点, 这是为了保证,X,0,的任意近傍总有点,X,使得,f,(,X,),存在, 进而才有可能判断,|,f,(,X,),A,|,是否小于,的问题.,若,D,是一区域. 则只须要求,就可保证,X,0,是,D,的一个聚点.,另外, 0 |,X,X,0,| 0,时, 有 |,f,(,x,y,) 0 | 0, 使得当,要使,|,f,(,x,y,) 0 | ,只须,即,|,f,(,x,y,) 0 | ,故,例7.,设,f,(,x,y,) =,证明,f,(,x,y,)在 (0, 0)点的极限不存在.,证:,由注2知, 只须证明当,X,沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数,f,(,x,y,),对应的极限也不同即可.,考察,X =,(,x,y,)沿平面直线,y = kx,趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,x,o,y,从而, 当,X,= (,x,y,),沿,y = kx,趋于(0,0)时, 函数极限,当,k,不同时, 极限也不同. 因此,f,(,x,y,),在 (0, 0)的极限不存在 .,请考察当,X,= (,x,y,),沿,x,轴, 沿,y,轴趋于(0, 0)的情形.,沿,x,轴,y,= 0.,函数极限,= 0,沿,y,轴,x,= 0.,函数极限,= 0,但不能由此断定该二重极限为0 (注2).,二 多元函数的极限,1.定义,说明：,） 上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同；,2.多元函数极限的性质,性质（四则运算）与一,元函数运算相同,除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.,三. 累次极限:,前面讲了,以任何方式趋于,时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量,依一定次序趋于,时,的极限，称为累次极限。,对于二元函数,在,的累次极限由两个,和,二重极限与累次极限的关系:,（）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改它们的次序。,（） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在,（）二重极限存在也不能保证累次极限存在,二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.,（4）二重极,限,极限,和累次极限,(或另一次序)都存在 , 则必相等.,（5）累次极限与二重极限的关系,若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等,3 二元函数的连续性,一、 二元函数的连续性,二 、有界闭区域上二元连续函数的性质,定义2,一 二元函数的连续性概念,设,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,),在区域,D,上有定义.,则称,f,(,X,) 在,X,0,连续,X,0,称为,f,(,X,),的连续点.,否则称,f,(,X,) 在,X,0,间断,X,0,称为,f,(,X,),的间断点.,X,= (,x,y,),D,X,0,= (,x,0,y,0,),D,1.,二元函数连续的概念,若,f,(,X,) 在,D,上每一点都连续, 则称,f,(,X,),在,D,上连续, 记为,f,(,X,),C,(,D,).,易知, 例2中,f,(,x,y,)在(0, 0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注,1. 二元函数,f,(,X,)在,X,0,连续必须满足三个条件. 在,X,0,有定义, 在,X,0,的极限存在, 两者相等,2. 多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数,.,定义可推广到三元以上函数中去.,多元初等函数：,由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四,则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表,示的多元函数叫,多元初等函数,。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,在,定义区域内的,连续点求极限可用“,代入法,”：,2. 连续函数性质：,（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为）都是连续函数；,例1 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例2,解,例3,讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例4,讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.,所谓多元初等函数是指以,x,y,z, 为自变量的基本初等函数,f,(,x,),(,y,),g,(,z,), 以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.,如,f,(,x,) =,e,xy,sin(,x,2,+,y,),=,e,0,sin0 = 0.,4. 二元连续函数的几何意义:,定义在区域,D,上的二元连续函数,z,=,f,(,X,) =,f,(,x,y,),表示了在,D,上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 ,D,是一区域 是必要的. 若,D,不是区域,z,=,f,(,X,),可能不是通常意义下的连续曲面.,例,. 设,D,= (,x,y,) |,x,y,均为有理数,R,2,.,z =f,(,x,y,),是定义在,D,上的, 在,D,上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即,f,(,x,y,) =,1, 当(,x,y,),D,时,无定义, 当(,x,y,),D,时.,如图,x,y,z,o,1,可知,(,x,0,y,0,),D,但曲面,z = f,(,x,y,)不是通常意义下的连续曲面.,二 有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,有界闭域,连续,有界闭域,连续,P.105 习题 6,6. 若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何,有,其中 为常数，则此函数在 内连续。,证明,因为 对变量 连续，所以,使得当,时，,取,当 时，,小结,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的,任意性,）,多元函数的定义,