教育专题：椭圆及其标准方程

,2.2.1,椭圆及其标准方程,生活中的椭圆,一,.,课题引入：,注意,:,椭圆定义中容易遗漏的三处地方：,（,1,） 必须在平面内,;,（,2,）两个定点,-,两点间距离确定,;(,常记作,2c,),（,3,）绳长,-,轨迹上任意点到两定点距离和确定,. (,常记作,2a,且,2a2c,),1 .,椭圆定义,：,平面内与两个定点,的距离和等于常数,（大于,）,的点的轨迹叫作椭圆,，,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,二,.,讲授新课：,思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的,椭圆较扁（线段）,;,两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）,.,由此可知，椭圆的形状与,两定点间距离、绳长,有关,若,2,a,=F,1,F,2,轨迹是什么呢？,若,2,a,0),，,M,与,F,1,和,F,2,的距离的,和等于正,常数,2,a,(2,a,2,c,),，则,F,1,、,F,2,的坐标分别是,(,c,0),、,(,c,0),.,x,F,1,F,2,M,0,y,（问题：下面怎样,化简,？）,由椭圆的定义得，限制条件,：,代入坐标,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,叫做,椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆的焦点在,x,轴上，,焦点是 ，中心在坐标原点,的椭圆方程,其中,如果椭圆的焦点在,y,轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢,?,合作探究,如果椭圆的焦点在,y,轴上（选取方式不同，,调换,x,y,轴）如图所示,焦点则变成,只要将方程中 的 调换，即可得,.,p,0,x,y,（，,a,）,(0,-a),(,a,2,2,2,),0,b,a,1,y,b,x,2,=,+,也是椭圆的标准方程。,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在,y,轴：,焦点在,x,轴：,3.,椭圆的标准方程,:,1,o,F,y,x,2,F,M,1,2,y,o,F,F,M,x,图 形,方 程,焦 点,F,(,c,，,0),F,(0,，,c,),a,b,c,之间的关系,c,2,=,a,2,-,b,2,|MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,(,2,a,2,c,0,),定 义,1,2,y,o,F,F,M,x,1,o,F,y,x,2,F,M,注,:,共同点：,椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；,方程的,左边是平方和，右边是,1.,不同点：焦点在,x,轴的椭圆 项分母较大,.,焦点在,y,轴的椭圆 项分母较大,.,例,1,：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为,2.4m,，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为,3m,，求这个椭圆的标准方程。,解：以两焦点所在直线为,X,轴，线段 的垂直平分线为,y,轴,建立平面直角坐标系,xOy,。,则这个椭圆的标准方程为,:,根据题意,:2a=3,2c=2.4,所以：,b,2,=1.5,2,-1.2,2,=0.81,因此，这个椭圆的方程为：,F,1,F,2,x,y,0,M,待定系数法,练习,1.,下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？,并指明 ，写出焦点坐标,.,?,练习,2.,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2),焦点为,F,1,(0,3),，,F,2,(0,3),且,a=5,；,(1)a= ,b=1,焦点在,x,轴上；,(3),两个焦点分别是,F,1,(,2,0),、,F,2,(2,0),且过,P(2,3),点；,(4),经过点,P(,2,0),和,Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求,a, b,的值,.,练习,3.,已知椭圆的方程为： ，请,填空：,(1),a,=_,，,b,=_,，,c,=_,，焦点坐标为,_,，焦距等于,_.,(2),若,C,为椭圆上一点，,F,1,、,F,2,分别为椭圆的左、右焦点，,并且,CF,1,=2,则,CF,2,=_.,变式：,若椭圆的方程为,试口答完成（,1,）,.,5,4,3,6,(-3,0),、,(3,0),8,变,1,：,已知方程 表示焦点在,y,轴上的椭圆，则,m,的取值范围是,.,(1,2),变,2,：方程 ，分别求方程满足下列条件的,m,的取值范围：,表示一个圆；,表示一个椭圆；,表示焦点在,x,轴上的椭圆。,例,2,、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于,A,、,B,两点，求 的周长。,y,x,o,A,B,三、回顾小结：,求椭圆标准方程的方法,一种方法：,二类方程,:,三个意识：,求美意识， 求简意识，前瞻意识,已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点,A,、,B,是它的两个焦点，焦距是,2c,，椭圆上的点到,A,、,B,的距离的和为,2a,，当静放在,A,的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点,A,时，求小球经过的路程。,探索,