《高等数学》第二章-导数与微分课件

单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,26 十一月 2024,1,高等数学多媒体课件,牛顿（,Newton,）,莱布尼兹（,Leibniz,）,26 十一月 2024,2,第一节 导数概念,第二章,三、导数的几何意义,二、导数的定义,一、引 例,四、函数的可导性与连续性的关系,五、小结与思考题,（,The Concept of Derivative,）,26 十一月 2024,3,一、引 例,（,Introduction,）,1.,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,26 十一月 2024,4,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(,当 时,),2.,曲线的切线斜率,割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,26 十一月 2024,5,瞬时速度,切线斜率,两个问题的,共性,:,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限,.,类似问题还有,:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,26 十一月 2024,6,二、导数的定义,（,Definition of Derivatives,）,1,.,函数在一点的导数与导函数,.,定义,1,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,:,则称函数,若,的某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,的,导数,.,即,26 十一月 2024,7,若上述极限不存在,在点 不可导,.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为,导函数,.,记作,:,注意,:,就说函数,就称函数,在,I,内可导,.,的导数为,无穷大,.,26 十一月 2024,8,由此可见，,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在,M,点处的切线斜率,26 十一月 2024,9,(,C,为常数,),的导数,.,解,:,即,例,2,求函数,解,:,例,1,求函数,2,.,求导数举例,.,26 十一月 2024,10,对一般幂函数,(,为常数,),例如，,（以后将证明）,说明：,26 十一月 2024,11,类似可证得,:,例,3,解,:,即,26 十一月 2024,12,例,4,解,:,即,第,1,章第,9,节例,6,特别的，,26 十一月 2024,13,例,5,解：,即,26 十一月 2024,14,在点,的某个,右,邻域内,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,(,左,),(,左,),定义,2,设函数,有定义,存在,3,.,单侧导数,.,在点,可导的,充分必要条件,注,1,：,函数,且,是,注,2,：,若函数,与,在开区间,内可导,且,都存在,则称,在闭区间 上可导,.,26 十一月 2024,15,在,x,= 0,不可导,.,例,6,证明函数,证,:,因此，,函数,在,x,= 0,不可导,.,26 十一月 2024,16,三、导数的几何意义,（,Geometric Interpretation,）,曲线,在点,的切线斜率为,若,曲线过,上升,;,若,曲线过,下降,;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直,.,曲线在点,处的,切线方程,:,法线方程,:,26 十一月 2024,17,哪一点有垂直切线,?,哪一点处的切线,与直线,平行,?,写出其切线方程,.,（由本本例,8,改编）,解,:,故在原点,(0 , 0),有垂直切线,例,7,问曲线,令,得,对应,则在点,(1,1) , (1,1),处与直线,平行的切线方程分别为,即,26 十一月 2024,18,四、函数的可导性与连续性的关系,定理,证,:,设,在点,x,处可导,存在,故,即,所以函数,在点,x,连续,.,注意,:,函数在点,x,连续未必可导,.,反例,:,在,x,= 0,处连续 ,但不可导,.,26 十一月 2024,19,例,8,解：,在 处的,讨论函数,是有界函数,在 处连续性,.,但,在,处有,当,时，,在,1,和,1,之间振荡而极限不存在,.,在,处不可导,.,连续性与可导性,.,26 十一月 2024,20,内容小结,1.,本节通过两个引例抽象出导数的定义：,26 十一月 2024,21,2.,利用导数的定义得出以下导数公式：,3.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,直接用导数定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,4.,导数的几何意义,:,切线的斜率,;,5.,函数的可导性与连续性的关系：,可导必连续,但连续不一定可导。,26 十一月 2024,22,课后练习,习 题,2-1,1,；,4,；,5,（偶数题）；,10,（,2,）；,11,思考与练习,1,.,函数 在某点 处的导数,有什么区别与联系,?,与导函数,区别,:,是函数,是数值,;,联系,:,注意,:,？,26 十一月 2024,23,3,.,已知,则,存在,则,2.,设,4,.,设,存在,求极限,解,:,原式,26 十一月 2024,24,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解,:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,= 0,连续,.,5.,设,26 十一月 2024,25,解,:,因为,存在,且,求,所以,6,.,设,26 十一月 2024,26,在,处连续,且,存在，,证明,:,在,处可导,.,证,：因为,存在，,则有,又,在,处连续,所以,即,在,处可导,.,故,7,.,设,26 十一月 2024,27,第二节 函数的求导法则,第二章,三、反函数的求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,一、问题的提出,四、复合函数的求导法则,五、小结与思考题,（,The Rule of Derivation,）,26 十一月 2024,28,一、问题的提出,（,Introduction,）,1.,导数的定义,26 十一月 2024,29,2.,利用导数的定义得出以下导数公式：,26 十一月 2024,30,但是，,对于比较复杂的函数，,直接根据定义求它,们的导数往往很困难,.,例如，,求下列函数的极限：,为此，,我们有必要研究一下,函数的求导法则,！,26 十一月 2024,31,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理,1,的和、,差、,积、,商,(,除分母,为,0,的点外,),都在点,x,可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题,.,26 十一月 2024,32,此法则可推广到任意有限项的情形,.,设,则,故结论成立,.,例如,证,:,（,1,）,26 十一月 2024,33,证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),（,2,）,26 十一月 2024,34,证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),（,3,）,26 十一月 2024,35,的导数,.,例,1,求函数,答案：,和,例,2,求函数,的导数,.,答案：,和,例,3,求函数,的导数,.,答案：,26 十一月 2024,36,三、反函数的求导法则,定理,2,y,的某邻域内单调可导,证,:,在,x,处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,26 十一月 2024,37,例,4,求反三角函数,的导数。,解,:,设,则,类似可求得,利用,则,26 十一月 2024,38,四、复合函数的求导法则,在点,x,可导,定理,3,在点,可导,复合函数,且,在点,x,可导,证,:,在点,u,可导,故,（当 时,),故有,26 十一月 2024,39,说 明：,26 十一月 2024,40,例如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,（,3,）,此法则可,推广,到多个中间变量的情形,.,26 十一月 2024,41,的导数,.,例,5,求函数,答案：,例,6,设,提示：,分情况讨论。,答案：,由此可见，,即,答案：,26 十一月 2024,42,求,解,:,思考,:,若,存在,如何求,的导数,?,这两个记号含义不同,例,8,设,练习,（习题,2,2,10,）,26 十一月 2024,43,五、基本求导法则与导数公式,1.,常数和基本初等函数的导数,26 十一月 2024,44,2.,函数的和、差、积、商的求导法则,(,C,为常数,),3.,反函数的求导法则,单调可导,则,4.,复合函数求导法则,5.,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,26 十一月 2024,45,例,9,设,解,:,答案：,26 十一月 2024,46,内容小结,1.,掌握函数求导的法则,四则运算的求导法则,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,注意,:,1),2),搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,2.,记住一些基本初等函数的导数公式,课后练习,习 题,2-2,1,（偶数题）；,5,；,6,26 十一月 2024,47,思考与练习,1.,对吗,?,2.,求下列函数的导数,答案：,26 十一月 2024,48,其中,在,因,故,正确解法,:,时,下列做法是否正确,?,在求,处连续,3.,设,26 十一月 2024,49,求,解,:,方法,1,利用导数定义,.,方法,2,利用求导公式,.,4.,设,26 十一月 2024,50,考研真题,（,1990 III,）设,答案：,26 十一月 2024,51,第三节 高阶导数,第二章,三、一些常见函数的高阶导数公式,二、高阶导数的定义,一、基本求导法则与导数公式复习,四、,高阶导数的运算法则,（,Derivative of Higher Order,）,五、,本章小结与思考题,26 十一月 2024,52,一、基本求导法则与导数公式复习,1.,常数和基本初等函数的导数,26 十一月 2024,53,2.,函数的和、差、积、商的求导法则,(,C,为常数,),3.,反函数的求导法则,单调可导,则,4.,复合函数求导法则,5.,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,26 十一月 2024,54,求,解,:,例,1,（习题,2,2,7,（,9,）,）,例,2,设,求,（补充题,）,（解,答见下页）,26 十一月 2024,55,求,解,:,例,2,设,26 十一月 2024,56,求,解,:,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,例,3,26 十一月 2024,57,二、高阶导数的定义,（,Definition of,Higher,Derivatives,）,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,26 十一月 2024,58,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为,n,阶导数,或,的,二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,定义,26 十一月 2024,59,三、一些常见函数的高阶导数的求法,例,1,设 求,解：,1.,直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数,.,例,2,求 的,n,阶导数,.,解：,26 十一月 2024,60,解,2.,数学归纳法证明高阶导数,例,3,设 求,26 十一月 2024,61,求,解,:,一般地,类似可证,:,例,4,设,26 十一月 2024,62,例,5,设 求,解,若 为自然数 ，则,26 十一月 2024,63,解,:,例,6,设,（补充题）,26 十一月 2024,64,都有,n,阶导数,则,(,C,为常数,),及,设函数,四、高阶导数的运算法则,莱布尼兹,(Leibniz),公式,26 十一月 2024,65,用数学归纳法可证,莱布尼兹公式,成立,.,26 十一月 2024,66,求,解,:,设,则,代入莱布尼兹公式,得,例,7,26 十一月 2024,67,内容小结,1.,复习基本求导法则与导数公式,(1),逐阶求导法,(2),利用归纳法,(3),间接法,利用已知的高阶导数公式,2.,高阶导数的求法,如,(4),利用莱布尼兹公式,26 十一月 2024,68,课后练习,习 题,2-3,1,（,2,）（,6,）；,3,；,6,（,4,）,思考与练习,1.,如何求下列函数的,n,阶导数,?,解,:,26 十一月 2024,69,（,2,）,提示,:,解,:,26 十一月 2024,70,求使,存在的最高,分析,:,但是,不存在,.,2,又,阶数,2.,设,26 十一月 2024,71,则,提示,:,各项均含因子,(,x, 2 ),(2),已知,任意阶可导,且,时,提示,:,则当,3.,（填空题）（,1,） 设,26 十一月 2024,72,导出,解：,同样可求,4.,试从,（习题,2,3,4,）,26 十一月 2024,73,考研真题,（,2000. II,）求函数,在,x,0,处的,n,阶,导数,提示：,利用莱布尼兹公式,26 十一月 2024,74,第四节 隐函数,及,由参数方程 所确定的函数的导数,第二章,三、相关变化率,二、,由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,四、小结与思考题,26 十一月 2024,75,一、隐函数的导数,（,Derivative of Implicit Function,）,若由方程,可确定,y,是,x,的函数 ,由,表示的函数 , 称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数 ,但此隐函数不能显化,.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),26 十一月 2024,76,在,x,= 0,处的导数,解,:,方程两边对,x,求导,得,因,x,= 0,时,y,= 0 ,故,确定的隐函数,例,1,求由方程,26 十一月 2024,77,在点,处的切线方程,.,解,:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例,2,求椭圆,26 十一月 2024,78,的导数,.,解,:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,例,3,求,26 十一月 2024,79,1),对幂指函数,可用,对数求导法,求导,:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,说明,:,26 十一月 2024,80,例如,两边取对数,两边对,x,求导,2),有些显函数用对数求导法求导很方便,.,26 十一月 2024,81,对,x,求导,两边取对数,又如,26 十一月 2024,82,二、由参数方程所确定的函数的导数,（,Derivative of Function Determined by Parametric Equation,）,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,关系,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),26 十一月 2024,83,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数,.,利用新的参数方程,可得,若上述参数方程中,26 十一月 2024,84,点击图中任意点动画开始或暂停,26 十一月 2024,85,解：,26 十一月 2024,86,而,所以，,于是所求切线方程为,即,26 十一月 2024,87,解：,26 十一月 2024,88,确定函数,求,解,:,方程组两边对,t,求导,得,故,例,6,设由方程,26 十一月 2024,89,三、相关变化率,（,Related Rates of Change,）,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法,:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,26 十一月 2024,90,解：,26 十一月 2024,91,26 十一月 2024,92,由,(2),可得,26 十一月 2024,93,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少,?,解,:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,= 500m,时,例,8,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,26 十一月 2024,94,内容小结,1.,隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.,对数求导法,:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.,参数方程求导法,4.,相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,26 十一月 2024,95,课后练习,习题,2-4 1,（,2,）（,4,）；,3,；,5,（,2,）（,4,）；,6,（,2,）；,7,；,10,思考与练习,求,1.,设,答案,:,26 十一月 2024,96,由方程,确定,解,:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,2.,设,26 十一月 2024,97,试求当容器内水,自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度,.,解,:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,3.,有一底半径为,R,cm ,高为,h,cm,的圆锥容器,现以,26 十一月 2024,98,考研真题,26 十一月 2024,99,26 十一月 2024,100,第五节 函数的微分,第二章,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,二、微分的几何意义,一、微分的定义,四、,微分在近似计算中的应用,（,Functions Differential,）,五、,本章小结与思考题,26 十一月 2024,101,一、微分的定义,引例,:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少,?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的,线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,（,Definition of Differentials,）,26 十一月 2024,102,的,微分,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数,),则称函数,而 称为,记作,即,定理,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可微,定义,若函数,26 十一月 2024,103,证,: “,必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,定理,函数,26 十一月 2024,104,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“,充分性”,已知,即,在点 的可导,则,定理,函数,26 十一月 2024,105,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,说明,:,26 十一月 2024,106,二、微分的几何意义,切线纵坐标的增量,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,自变量的微分,记作,记,26 十一月 2024,107,又如,例如,26 十一月 2024,108,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,1,基本初等函数的微分公式,(,参看课本表格,),2,函数和、差、积、商的微分法则,设,u,(,x,) ,v,(,x,),均可微,则,(,C,为常数,),26 十一月 2024,109,3,复合函数的微分法则,分别可微,的微分为,微分形式不变性,则复合函数,求,例,1,解法,1,：,解法,2,：,利用“,微分形式不变性,”,26 十一月 2024,110,求,解,:,利用一阶微分形式不变性,有,例,2,设,例,3,在下列括号中填入适当的函数使等式成立,:,说明,:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,.,注意,:,数学中的反问题往往出现多值性,.,（点击看其他例子）,26 十一月 2024,111,数学中的反问题往往出现多值性,例如,26 十一月 2024,112,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则,:,得近似等式,:,26 十一月 2024,113,很小时,常用近似公式,:,很小,),证明,:,令,得,特别当,26 十一月 2024,114,的近似值,.,解,:,设,取,则,例,4,求,26 十一月 2024,115,的近似值,.,解,:,例,5,计算,26 十一月 2024,116,内容小结,1.,微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.,微分运算法则,微分形式不变性,:,(,u,是自变量或中间变量,),3.,微分在近似计算中的应用,26 十一月 2024,117,课后练习,习题,2-5 1,；,4,（,2,）（,4,）（,6,）；,5,（,2,）（,4,）（,6,）；,8,（,5,）,思考与练习,1.,26 十一月 2024,118,由方程,确定,求,4,.,设,解,:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,