第11章弯曲应力-ppt课件

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第十一章 弯曲应力,材料力学,如,AB,段梁受弯时，横截面上只有弯矩而没有剪力，该段梁的变形称为纯弯曲。,弯曲应力,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲：,+,+,剪切弯曲,：,某段梁弯曲时横截面上既有弯矩又有剪力。,P,P,Pa,Pa,11-1,引言,11-2,梁横截面上的正应力,弯曲应力,一、纯弯曲变形现象观察,b,d,a,c,a,b,c,d,M,M,（,1,）所有纵向线都变成了曲线，且仍然相互平行，靠近上部的缩短，下部伸长。,（,2,）所有横向线仍保持为直线，,(,平面假设,),且仍垂直于变形后的纵向线,(,无剪应变,-,无剪应力,),。,4,弯曲应力,中性层,纵向对称面,中性轴,由（,1,）知上部的纤维缩短，下部的纤维伸长，中间必有一层纤维既不缩短也不伸长，这一层称为,中性层,。中性层与横截面的交线称为,中性轴,。, 在梁的横截面上，以中性轴为界，一侧受拉，另一侧受压。,A,1,B,1,O,1,O,弯曲应力,a,b,c,d,A,B,),),),OO,1,),d,q,r,x,y,y,二、弯曲正应力计算公式的推导,（一）变形几何关系：,如图：,OO,1,为中性层，,AB,为距中性层为,y,的纵向纤维，设：变形后中性层的曲率半径为,，,两横截面夹角为,d,，则有：,对于给定截面，,为常数，右式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。,dx,横截面的正应力分布图,（二）物理关系：,弯曲应力,s,x,s,x,纵向纤维都在纵向受拉伸或压缩，其应力,-,应变关系满足胡克定律。,横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比。,7,（三）静力学关系：,横截面上的微力,dA,组成平行于,x,轴的空间平行力系，,满足以下三个静力关系,：,（,1,）,横截面对中性轴,z,轴的静矩为零,即,中性轴过截面形心,弯曲应力,8,一、静矩,的定义,(,与力矩类似,),d,A,z,y,y,z,静矩与形心,截面对,z,轴的静矩：,截面对,y,轴的静矩,：,静矩与截面形状、大小、轴的位置有关静矩的量纲：,长度,3,（,m,3,cm,3,mm,3,）,静矩可,能为正为负或等零。,9,二、静矩与形心的关系,d,A,z,y,y,z,形心坐标,C,由力矩的等效关系得到静矩的另一公式：,若,z,、,y,轴通过形心,C,，则,y,C,=,z,C,=0,，因此,S,z,=,S,y,=0,。,即：,截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面对某轴的静距为零，则该轴必过其形心。,弯曲应力,EI,z,梁的抗弯刚度,（,2,）,曲率计算公式,因此,截面对中性轴的惯性矩,纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力计算公式,11,1.,应用正应力计算公式时，可不考虑,M,、,y,的正负号，以绝对值代入，最后再由梁的变形和点的位置来确定是拉应力还是压应力。,2,.,对于剪切弯曲，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小，因此上述的正应力计算公式也适用于剪切弯曲。,3.,只要梁有一个纵向对称面（如：工字形、,T,字形、圆形等），且外力作用下发生平面弯曲，则上述的正应力计算公式仍然适用,。,12,*,典型截面惯性矩的计算,1,、矩形截面,z,y,b,h,y,dy,同理,11-4,惯性矩与平行移轴定理,13,z,y,D,2,、实心圆截面,已知,则,由对称性知,所以,同理，空心圆截面,14,平行移轴定理,（,与转动惯量类似）,以形心,C,为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴,z,C,y,C,则某微元,dA,在两坐标系的位置关系为：,d,A,z,y,y,z,r,a,b,C,z,C,y,C,15,注意：,1,、,C,点必须为形心，即：,z,C,、,y,C,必须是形心轴。,2,、式中的,a,、,b,是代数值。（可能取负值。）,同理可得,b,为轴,z,与,z,C,的轴距,a,为轴,y,与,y,C,的轴距,平行移轴公式：,（四）最大正应力：,弯曲应力,D,d,D,d,=,a,矩形截面：,实心圆截面：,空心圆截面：,W,z,抗弯截面模量,例,1,受均布载荷作用的简支梁试求：（,1,）,11,截面上,1,、,2,两点的正应力；及此截面上的最大正应力；,（,2,）全梁的最大正应力；,（,3,）已知,E,=200GPa,，求,11,截面的曲率半径。,弯曲应力,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,x,M,+,M,1,M,max,1,2,120,180,z,y,解：画,M,图,求截面弯矩,30,弯曲应力,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,x,M,+,M,1,M,max,1,2,120,z,y,求应力,180,30,求曲率半径,弯曲应力,Q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,x,M,+,M,1,M,max,1,2,120,180,30,20,弯曲应力,例,：,已知 ，求最大弯曲正应力。,16,28,14,4,8,解：,确定中性轴的位置,z,C,z,单位：,cm,计算最大正应力,11-4,梁横截面上的剪应力,2,、两点假设：,与中性轴等距处，其剪应力相等。,剪应力与剪力平行；,1,、研究方法：隔离体平衡。,在梁上取微段，如图,b,；,微段上取一,隔离体,如图,c,。,弯曲应力,d,x,x,Q,(,x,)+,dQ,(,x,),M,(,x,),y,M,(,x,)+,dM,(,x,),Q,(,x,),d,x,N,1,x,y,z,N,2,t,t,b,图,a,图,b,图,c,由隔离体平衡条件，得,A,*,隔离体侧面面积,弯曲应力,d,x,x,Q,(,x,)+,dQ,(,x,),M,(,x,),y,M,(,x,)+,dM,(,x,),Q,(,x,),d,x,N,1,x,y,z,N,2,t,t,b,图,a,图,b,图,c,由剪应力互等定理，得,同理,得,为隔离体的侧面积,A,*,对中性轴,z,的静矩,b,截面的宽度,I,z,全横截面对中性轴,z,的惯性矩,A,*,23,对于矩形截面，有,将 代入,剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布,如图示。,可见，在横截面的上下边缘，即 处，,在,中性轴,(,y,=,0,处,),剪应力最大,Q,弯曲应力,其它截面梁,横截面上的剪应力,*,研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为：,其中,:,Q,截面剪力；,S,z,*,横截面上距中性轴,为,y,横线以外部分的面积,A,*,对中性轴,z,的静矩；,I,z,整个截面对中性轴,z,轴之惯性矩；,b,y,点处截面宽度。,25,*,几种常见截面的最大弯曲剪应力,1,、工字形截面梁的剪应力,I.,腹板上的剪应力,腹板内距中性轴为,y,的点的剪应力为：,可见,腹板的剪应力按二次抛物线规律分布,。,弯曲应力,26,在,中性轴,(y=0),剪应力最大,最大值为,在,腹板与翼缘交界处,剪应力最小,通常情况下，,腹板厚度,b,远小于翼缘宽度,B,，因此， 与,相差不大，从而可认为腹板上的剪应力大致为均匀分布。,弯曲应力,27,又，有关理论证明，工字形截面梁的,腹板承受的剪力,Q,1,(0.95,0.97),Q,，这表明横截面的剪力绝大部分由腹板承担，翼缘只承担极小的一部分（通常可忽略不计，而认为剪力全部由腹板承担）。因此，工字形截面梁的,腹板上的剪应力,可近似计算如下：,（,bh,为,腹板的横截面面积）,II.,翼缘上的剪应力,由前述知，,翼缘所承担的剪力,Q,2,(0.03,0.05),Q,，即翼缘只承担极小的一部分剪力，因而其剪应力也小，又由于其剪应力分布规律复杂，故通常忽略不计。,弯曲应力,弯曲应力,I.,圆形截面：,式中,:,Q,为截面的剪力,;,A,为圆截面面积,.,可见，圆形截面上的最大,剪应力是平均剪应力的 倍。,与精确解相比，误差约为,4%,。,2,、圆形和圆环形截面梁,最大,剪应力也都发生在中性轴上,且沿中性轴均匀分布。,其值分别为：,II.,圆环形截面：,式中：,Q,为截面的剪力，,r,0,为圆环的平均半径，,t,为圆环的壁厚，,A,为圆环形截面面积。,可见，圆环形截面上的最大,剪应力是平均剪应力的,2,倍。,11-5,梁的正应力和剪应力强度条件,弯曲应力,一、梁的弯曲正应力强度条件：,(A),拉压许用应力相同（塑性材料）,的梁,最大正应力（绝对值）应在许可应力范围之内。即：,危险截面和危险点的判定（等截面梁）,危险截面,弯矩绝对值最大的截面,危险点,危险面上距中性轴最远点,弯曲应力,(B),拉压许用应力不等（脆性材料）,的梁,最大压应力（绝对值）应分别小于许用应力：,危险截面和危险点的判定（等截面梁）,I)Z,为对称轴时(,如,矩形),，,+,max,与,-,max,在同一截面,上,。,危险截面,弯矩绝对值最大的截面,危险点,危险截面的最上缘和最下缘,II),Z,轴不是对称轴时(,如,T,形截面),+,max,与,-,max,可能不在,同一截面上,。,可能危险截面,最大正弯矩、最大负弯矩所在截面,可能危险点,可能危险截面的最上缘,或,最下缘,31,二、梁的剪应力强度条件：,梁在荷载作用下产生的最大剪应力不能超过材料的许用剪应力,即：,进行梁的正应力强度和剪应力强度计算时,一般,对于细长梁（,梁的跨度与截面高度之比,l/h,5,）,梁的强度主要由正应力强度条件控制,因此,选择梁的截面时,一般是先按正应力强度条件进行选择,选好截面后,再校核剪应力强度条件。但对于下列情况：,（,1,）,粗短梁,；（,2,）,支座附近有较大集中力的梁,；,（,3,）,腹板较薄的工字梁,；（,4,）,木梁,（顺纹抗剪能力差）。,梁的剪应力强度条件可能会起控制作用，一般还要进行剪应力强度校核。,32,工字型截面梁发生剪切弯曲时，,正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。,在腹、翼相交处，,Q,和,M,均很大，是可能的危险点，,它的强度应按强度理论进行计算,（第,13,章讲）,。,s,M,Q,t,t,s,校核强度：,设计截面尺寸,：,设计载荷,：,弯曲应力,三、强度条件应用：,依此强度条件可进行三方面计算：,解：画内力图求危面内力,例,矩形,(,b,h,=0.12m0.18m),截面木梁，,=7,MPa,，,=0.9,MPa,，试求最大,正应力和剪应力之比，并校核梁的强度。,弯曲应力,q=,3.6,kN,/,m,x,M,+,A,B,L,=3,m,Q,+,x,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,q=,3.6,kN,/,m,x,M,+,Q,+,x,y,1,y,2,G,A,1,A,2,A,3,A,4,解：画弯矩图并求危面内力,例,T,字形截面的铸铁梁受力如图,铸铁的,+,=30,MPa,-,=60,MPa,，其截面形心位于,G,点，,y,1,=52mm,y,2,=88mm,I,z,=763cm,4,，试校核此梁的强度。,弯曲应力,P,1,=,9kN,1m,1m,1m,P,2,=,4kN,A,B,C,D,x,2,.,5,kN,m,4,kN,m,M,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,弯曲应力,y,1,y,2,G,x,2.5kNm,-,4kNm,M,画危面应力分布图，找危险点,A,3,A,4,A,1,A,2,38,例：悬臂梁由三块木板粘接而成。长度为,1,m,。胶合面的许可切应力为,胶,=0.34,MPa,，木材的,=10,MPa,，,=1,MPa,，求许可载荷。,弯曲应力,39,弯曲应力,解：,1.,作梁的剪力图和弯矩图,Q,(,x,),M,(,x,),x,x,F,Fl,40,2.,按正应力强度条件计算许可载荷,3.,按切应力强度条件计算许可载荷,弯曲应力,41,4.,按胶合面切应力强度条件计算许可载荷,5.,梁的许可载荷为,弯曲应力,42,弯曲应力,所谓梁的合理设计，指的是在满足梁的强度要求前提下，尽量少用材料。,对于梁来说，弯矩处于主导地位、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。,11-6,梁的合理设计,43,弯曲应力,弯曲正应力强度条件,提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑：,1,外荷载总值不变的情况下，使,M,max,尽量小一些。,2,截面积不变的情况下，使,W,z,尽量大一些。,44,弯曲应力,提高弯曲强度的常用措施,一、降低,M,max,1.,合理配置荷载,p,+,+,L,M,M,尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。,45,弯曲应力,q,L,0.2L,0.2L,M,M,L,2.,合理配置支座,q,46,弯曲应力,二、提高,Wz,(,在保持截面面积不变的前提下,),P,b,h,P,b,h,(1),(2),1,、合理放置截面,47,弯曲应力,z,D,z,D,1,0.8,D,1,2.,尽量将材料放置到远离中性轴的地方,48,弯曲应力,z,a,a,a,1,3,a,1,z,49,弯曲应力,工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。,圆环形截面优于圆形截面。,截面形状,圆形,矩形,槽钢,工字钢,工程中，可将 作为衡量截面合理性的指标。,(,d,=,h,),50,弯曲应力,3.,选择截面形状时还应,考虑材料特性,塑性材料：,选择中性轴为对称轴的截面，使得：,脆性材料：,选择中性轴为非对称轴的截面，并,使中性轴偏于材料强度,弱,的一边,。,尽量使得,y,1,y,2,51,三、使用等强度梁,梁上每个截面的最大正应力都等于,，称为,等强度梁,。,弯曲应力,x,PL,M,L,P,52,弯曲应力,P,M,L,/2,L,/2,+,鱼腹梁,53,弯曲应力,例,主,梁,AB,，跨度为,l,，采用加副梁,CD,的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料和截面尺寸均相同，则副梁的最佳长度,a,为多少？,54,弯曲应力,解,：,主梁,AB,:,A,B,M,+,55,弯曲应力,P,a,C,D,副梁,CD,:,由,得,M,Pa,/4,+,56,弯曲应力,例：图示梁的截面为,T,形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为,t,和,c,，则,y,1,和,y,2,的最佳比值为多少？（为截面形心）,最佳就是指梁危险截面上最大弯曲拉压应力同时达到许用应力,。,解：,117,斜弯曲,组合变形,当外力不作用在截面的纵向对称面内时，变形后梁的挠曲线并不在荷载平面内，此时梁不是发生平面弯曲，而是发生所谓的,斜弯曲,。,组合变形,现以一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生斜弯曲时的应力和变形计算如下：,y,L,P,x,z,x,P,z,P,y,1.,外力分解,每个分力单独作用时,发生基本变形,平面弯曲,P,y,=,P,cos,P,z,=,P,sin,组合变形,y,L,P,x,z,x,P,z,P,y,2.,计算,截面,x,上,各基本变形的弯矩,(,上拉、下压,),(,后拉、前压,),弯矩,M,z,、,M,y,的,符号规定,：,使截面,x,上位于第一象限的点受拉为正，反之为负,.,组合变形,y,L,P,x,z,x,P,z,P,y,3.,分别计算弯矩,M,z,M,y,在截面内引起的正应力：,各基本变形的正应力分布如下图,:,组合变形,4.,由叠加原理,得截面,x,内的任意点 的正应力为,:,-,斜弯曲正应力计算公式,公式表明：斜弯曲时,横截面上的正应力,是,y,、,z,的线性函数,所以,正应力,的分布规律是一平面。,5,.,设中性轴上点的坐标为,y,0,、,z,0,，由于中性轴上点的正应力等于零，所以有：,中性轴（或零线）方程,M,z,M,y,z,y,中性轴,P,当,I,z,I,y,时，,，,中性轴不再垂直于荷载作用面，,即变形平面与力平面不重合，此时梁发生斜弯曲,;,当,I,z,=,I,y,时，,=,，,即变形平面与力平面重合，此时梁发生平面弯曲。,如：正方形、圆形截面梁。,M,z,M,y,z,y,中性轴,P,6.,最大正应力及强度条件,在危险截面距离中性轴最远的点，就是最大正应力作用点。本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面的,a,点（最大拉应力）和,c,点（最大压应力），强度条件为：,组合变形,例,1,：图示为,No,.32,a,工字钢简支梁,AB,，已知跨中荷载,P,=30,kN,，,=15,0,，,l,=4,m,，材料为,A,3,钢，其,=160,MPa,，试校核梁的正应力强度。,解,:,1.,将力,P,沿,y,、,z,轴分解,得,:,P,y,=,Pcos,，,P,z,=,Psin,组合变形,2.,查型钢表得：,32,a,工字钢的,3.,校核梁的正应力强度,所以，梁的正应力强度足够,。,附：本题中，若,=0,0,，则梁发生平面弯曲，此时,例,3,、 图示悬臂梁，已知,F,1,=800N,，,F,2,=1.6kN,，,l,=1m,，许用应力,=160MPa,。试分别按下列要求确定截面尺寸：,(1),截面为矩形，,h,=2,b,；,(2),截面为圆形。,解：,（,1,）,（,2,）,118,拉,(,压,),弯组合变形,组合变形,以,一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生拉伸与弯曲组合变形的应力计算如下：,组合变形,2.,内力分析,绘制轴力图和弯矩图，可见固定端面为危险截面。,1.,外力分析,P,作用在梁的纵向对称面,xy,平面内，则力,P,可分解为,:,组合变形,3.,应力分析,绘制横截面上各基本变形的应力分布图,:,组合变形,应力叠加,:,正应力叠加后，横截面上正应力分布规律可能有三种情况,:,组合变形,4.,强度条件,材料拉压性能相同（塑性材料）,材料拉压性能不同（脆性材料）,组合变形,例,4,已知,P,=20,kN,=15,，,l=,1.2,m,，,A,=9.210,3,mm,2,，,I,z,=26.110,6,mm,4,，, ,+,=20,MPa,，, ,=80,MPa,P,y,=,Psin,=5.18,kN,P,x,=,Pcos,=19.3,kN,M,z,= 48,P,x,=926,N.m,解：,1,）外力分解并平移,y,1,=48,mm,，,y,2,=142,mm,，试校核其正应力强度,.,组合变形,(KN),3,）绘制内力图,N,，,M,图,2,）外力分组,:,组合变形,(KN),A,B,A,截面,2.1,MPa,9.7,MPa,28.7,MPa,7.6,MPa,30.8,MPa,4,）危险点应力计算,组合变形,(KN),A,B,B,截面,2.1,MPa,1.68,MPa,4.98,MPa,3.76,MPa,2.88,MPa,组合变形,5,）强度校核,:,梁的强度满足。,组合变形,偏心拉伸（压缩）,外力特点：,外力平行轴线，但与轴线不重合。,o,P,A,(,y,P,z,P,),z,y,x,组合变形,o,P,A,(,y,P,z,P,),z,y,x,1.,外力分析,将,力,P,向形心平移,，,得到一个等效力系：,轴向压力,P,和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力偶,m,y,=,Pz,P,，,m,z,=,Py,P,P,m,y,m,z,轴向压力,P,引起轴向压缩,m,y,绕,y,轴转动的平面弯曲,m,z,绕,z,轴转动的平面弯曲,组合变形,2.,内力分析,o,z,y,x,P,M,y,M,z,x,对任意横截面，有,:,轴力,N,=,P,弯矩,M,y,=,m,y,=,Pz,P,(,前拉,后压,),弯矩,M,z,=,m,z,=,Py,P,(,左拉,右压,),(,规定,:,使横截面第一象限内的点受拉的弯矩为正,),组合变形,3.,应力分析,E,(,y,z,),对横截面上任意点：,o,z,y,x,P,M,y,M,z,x,组合变形,E,(,y,z,),o,z,y,x,P,M,y,M,z,x,在实际运用中，可用内力和坐标的绝对值代入计算，根据轴力,N,、弯矩,M,y,、,M,z,的方向和欲求点的位置来确定应力的符号，则横截面上任意一点的正应力可表示为：,组合变形,4.,强度条件,(,塑性材料,),*,若为脆性材料，则应分别对最大拉应力和最大压应力进行强度计算。,组合变形,例,5,：如图侧边开半圆形槽的钢板，宽,b,=8,cm,，厚,t,=1,cm,，半圆形槽的,r,=1,cm,，许用应力,=140,MPa,。若拉力,P,=80,kN,，,1),试校核钢板的强度。,2),若在上述钢板的另一侧也开一个对称的半圆形槽，再校核钢板的强度。,解,:,1),由于,1-1,截面处被削弱,为危险截面，且受偏心拉伸，偏心距为,:,组合变形,1-1,截面的轴力和弯矩分别为,:,强度校核,不满足强度要求！,组合变形,2),若在钢板的另一侧也开一个对称的半圆形槽，则危险截面,1-1,为轴向拉伸，其正应力为,:,可见,此时钢板的强度足够,.,荷载偏心作用时对构件的影响很大，工程中应尽量避免。,组合变形,例,6,图示链条中的一个开口链环，受拉力,P,作用，已知：,d,，,e,，试求最大正应力。,解,:(1),外力分析,(2),内力分析,N,=,P,M,=,P,e,属拉弯组合变形,N,M,组合变形,(3),应力分析,讨论：,本题中，若,e=,d,，则,荷载偏心作用对构件的影响很大。,N,M,P,e,解,：,例,7,图示两根不等截面与等截面杆，受力,P,=350kN,，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。,图（,1,）,图（,2,）,组合变形,P,300,200,200,P,200,200,M,P,P,e,P,P,例,8,图示钢板受力,P,=100kN,，,试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度可扩大为多少？,解：,内力分析,如图,坐标如图，挖孔处的形心,组合变形,P,P,M,N,20,100,20,y,z,y,C,P,P,M,N,应力分析,如图,孔移至板中间时,组合变形,20,100,20,y,z,y,C,91,本章结束,