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,单击此处编辑母版标题样式,可编辑,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,光波是一种电磁波，是,E,和,B,的振动和传播。如图（,1-1,）所示。,习惯上常把电矢量叫做光矢量,图（,1-1,）电磁波的传播,1,、,线偏振光,E,x,(1),线偏振光,E,x,y,E,y,(2),自然光,z,传播方向,1.1.1,光波,2,、,光速、频率和波长三者的关系,(1),波长,:,振动状态在经历一个周期的时间内向前传播的距离。,(2),光速,(3),频率和周期：,光矢量每秒钟振动的次数,(4),三者的关系,在真空中,各种介质中传播时，保持其原有频率不变，而速度各不相同,1.1.1,光波,3,、,单色平面波,(1),平面波,(2),单色平面波：具有单一频率的平面波,波阵面或同相面：光波位相相同的空间各点所连成的面,平面波：波阵面是平面,准单色波,:,实际上不存在完全单色的光波，总有一定的频率宽度，如,称为准单色波。,理想的单色平面波（简谐波）,两式统一写为：,其中，,U,为场矢量大小，代表 或 的大小，,U,0,为场矢量的振幅。,设真空中电磁波的电矢量 在坐标原点沿,x,方向作简谐振动，磁矢量 在,y,方向作简谐振动，频率均为 ，且,t=0,时两者的初位相均为零。则 、 的振动方程分别为,:,1.1.1,光波,(2),单色平面波：具有单一频率的平面波,波场中,z,轴上任一点,P,的振动方程，,设光波以速度,c,向,z,方向传播,图（,1-1,）电磁波的传播,分析：,(a)z,一定时，则,U,代表场矢量在该点作时间上的周期振动,(c)z,、,t,同时变化时，则,U,代表一个行波方程，代表两个不同时刻空间各点的振动状态。,从下式可看出，光波具有时间周期性和空间周期性。时间周期为,T,，空间周期为,；时间频率为,1/T,，空间频率为,1/,(b)t,一定时，则,U,代表场矢量随位置的不同作空间的周期变化,简谐波是具有单一频率,的单色波，但通常原子发光的时间约为,10,8,s,，,形成的波列长度约等于,3m,，因此它的波列长度有限即必然有一定的频率宽度。,1.1.1,光波,(3),平面波的复数表示法 光强,线偏振的单色平面波的复数表示：,光强：,光强与光矢量大小的平方成正比，即,或,复振幅,:,模量 代表振幅在空间的分布，辐角,(-,kz,),代表位相在空间的分布,(4),球面波及其复数表示法,球面简谐波方程：,球面波的复数表示法：,1.1.1,光波,在真空中一个光子的能量为,，动量为 ，则它们与光波频率，波长之间的关系为：,式中,h,是普朗克常数，,h=6.63,10,-34,J,S,。,1.1.2,光子,1.2.1,原子能级、简并度,1.,原子中电子的状态由下列四个量子数来确定：,主量子数,n,，,n,1,，,2,，,3,，,代表电子运动区域的大小和它的总能量的主要部分,辅量子数,代表轨道的形状和轨道角动量，这也同电子的能量有关。对 等的电子顺次用,s, p, d, f,字母表示,磁量子数（即轨道方向量子数）,m=0,，,1,，,2,，,代表轨道在空间的可能取向，即轨道角动量在某一特殊方向的分量,自旋量子数（即自旋方向量子数）,m,s,= 1/2,，代表电子自旋方向的取向，也代表电子自旋角动量在某一特殊方向的分量,s,s,s,P,P,d,例：计算每一个壳层（ ）和次壳层（,2(2,l,+1),个）可以容纳的最多电子数,2.,电子具有的量子数不同，表示有不同的电子运动状态,电子的能级，依次用,E,0,，,E,1,，,E,2,，,E,n,表示,基态：原子处于最低的能级状态,激发态：能量高于基态的其它能级状态,简并能级：能级有两个或两个以上的不同运动状态,简并度：同一能级所对应的不同电子运动状态的数目,3.,图,(1-3),为原子能级示意图,E,0,基态,E,1,E,2,E,n,激发态,例：计算,1s,和,2p,态的简并度,1.2.1,原子能级、简并度,1.3.1,黑体热辐射,1.,绝对黑体又称黑体：,某一物体能够完全吸收任何波长的电磁辐射,。,自然界中绝对黑体是不存在的,2.,空腔辐射体是一个比较理想的绝对黑体,3.,平衡的黑体热辐射：辐射过程中始终保持温度,T,不变,在量子假设的基础上，由处理大量光子的量子统计理论得到真空中 与温度,T,及频率 的关系，即为普朗克黑体辐射的单色辐射能量密度公式,式中,k,为波尔兹曼常数。,4.,辐射能量密度公式,单色辐射能量密度 ：辐射场中单位体积内，频率在 附近的单位频率间隔中的辐射能量,1.3.1,黑体热辐射,总辐射能量密度,:,光与物质的相互作用有三种不同的基本过程：,自发辐射,受激辐射,受激跃迁,1.,自发辐射,自发辐射,:,高能级的原子自发地从高能级,E,2,向低能级,E,1,跃迁，同时放出能量为 的光子。,自发辐射的特点：各个原子所发的光向空间各个方向传播，是非相干光。图（,1-6,）表示自发辐射的过程。,对于大量原子统计平均来说，从,E,2,经自发辐射跃迁到,E,1,具有一定的跃迁速率。,式中“”表示,E,2,能级的粒子数密度减少；,n,2,为某时刻高能级,E,2,上的原子数密度（即单位体积中的原子数）；,dn,2,表示在,d,t,时间间隔内由,E,2,自发跃迁到,E,1,的原子数。,A,21,称为爱因斯坦自发辐射系数，简称自发辐射系数。,1.3.2,光和物质的作用,图（,1-6,）自发辐射,上式可改写为：,A,21,的物理意义为：单位时间内，发生自发辐射的粒子数密度占处于,E,2,能级总粒子数密度的百分比。即每一个处于,E,2,能级的粒子在单位时间内发生的自发跃迁几率。,上方程的解为：,式中,n,20,为,t,=0,时处于能级,E,2,的原子数密度。,自发辐射的平均寿命 ：原子数密度由起始值降至它的,1/e,的时间,设高能级,E,n,跃迁到,E,m,的跃迁几率为,A,nm,，则激发态,E,n,的自发辐射平均寿命为：,已知,A,21,，可求得单位体积内发出的光功率。若一个光子的能量为 ，某时刻激发态的原子数密度为,n,2,(,t,),，则该时刻自发辐射的光功率密度（,W/m,3,）为：,1.3.2,光和物质的作用,2.,受激辐射,(1),受激辐射：高能级,E,2,上的原子当受到外来能量 的光照射时向低能级,E,1,跃迁，同时发射一个与外来光子完全相同的光子，如图（,1-8,）所示。,(2),受激辐射的特点：,只有 当时，才能发生受激辐射,受激辐射的光子与外来光子的特性一样， 如频率、位相、偏振和传播方向,式中的参数意义同自发辐射。,B,21,称为爱因斯坦受激辐射系数，简称受激辐射系数。,(3),同理从,E,2,经受激辐射跃迁到,E,1,具有一定的跃迁速率，在此假设外来光的光场单色能量密度为 ，则有：,图（,1-8,）光的受激辐射过程,1.3.2,光和物质的作用,(4),令 ，则有：,(5),注意：自发辐射跃迁几率就是自发辐射系数本身，而受激辐射的跃迁几率决定于受激辐射系数与外来光单色能量密度的乘积。,则,W,21,(,即受激辐射的跃迁几率,),的物理意义为：单位时间内，在外来单色能量密度为 的光照下，,E,2,能级上发生受激辐射的粒子数密度占处于,E,2,能级总粒子数密度的百分比。,1.3.2,光和物质的作用,式中,B,12,称为爱因斯坦受激吸收系数,(2),同理从,E,1,经受激吸收跃迁到,E,2,具有一定的跃迁速率，在此假设外来光的光场单色能量密度为 ，且低能级,E,1,的粒子数密度为,n,1,，则有：,3.,受激吸收,(1),处于低能级,E,1,的原子受到外来光子（能量 ）的刺激作用，完全吸收光子的能量而跃迁到高能级,E,2,的过程。如图（,1-9,）所示。,(3),同理令 ，则有：,则,W,12,(,即受激吸收几率,),的物理意义为：单位时间内，在外来单色能量密度 的光照下，由,E,1,能级跃迁到,E,2,能级的粒子数密度占,E,1,能级上总粒子数密度的百分比。,图（,1-9,）光的受激吸收过程,1.3.2,光和物质的作用,1.3.3,自发辐射、受激辐射和受激吸收之间的关系,1.,在光和原子相互作用达到动平衡的条件下，有如下关系：,由波尔兹曼分布定律可知：,自发辐射光子数,受激辐射光子数,受激吸收光子数,将,代入,得：,由此可算得热平衡空腔的单色辐射能量密度 为：,将上式与第三节中由普朗克理论所得的黑体单色辐射能量密度公式比较可得：,式和,式就是爱因斯坦系数间的基本关系，虽然是借助空腔热平衡这一过程得出的，但它们普遍适用。,2.,如果 ，则有,在折射率为 的介质中，,式应改写为：,1.3.4,自发辐射光功率与受激辐射光功率,1.,某时刻自发辐射的光功率体密度,同理，受激辐射的光功率体密度,受激辐射光功率体密度与自发辐射光功率体密度之比为：,对于平衡热辐射光源 ，则有：,2.,以温度,T=3000K,的热辐射光源，发射的波长为,500nm,例：,1.4.1,光谱线，线型和光谱线宽度,1.,用分辨率极高的摄谱仪拍摄出的每一条原子发光谱线都具有有限宽度。原子发射的不是正好频率 （满足 ）的光，而是发射频率在 附近的某个范围内的光。,2.,就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的相对强度也不一样。设某一条光谱线的总光强为,I,0,，频率 附近单位频率间隔的光强为 ，则频率 附近单位频率间隔的相对光强 为：,3.,曲线如图,(1-10a),， 表示某一谱线在单位频率间隔的相对光强分布，它叫做光谱线的线型函数。图,(1-10b),为理想情况的单色光的相对光强分布,图,(1-10),光谱的线型函数,5.,频率为 到 的频率间隔范围内的光强为 ，则,上式即为图,(1-10),中曲线下阴影部分的面积，也是频率在 范围的光强占总光强的百分比。,1.4.1,光谱线，线型和光谱线宽度,6.,很显然：,即相对光强之和为,1,。此公式为线型函数的归一化条件。,7.,光谱线宽度 ：相对光强为最大值的一半处的频率间隔，即：,则,所以单位时间内，,总的自发辐射原子数密度,总的受激辐射原子数密度,总的受激吸收原子数密度,(1),考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内，对应于频率在 间隔，自发辐射、受激辐射、受激吸收的原子跃迁数密度公式分别为：,8.,光谱线型对光与物质的作用的影响,自发辐射,受激辐射,受激吸收,1.4.1,光谱线，线型和光谱线宽度,此时受激辐射的跃迁几率为,:,同理，受激吸收跃迁几率为：,其中 为外来光总辐射能量密度。这种情况表明总能量密度为 的外来光只能使频率为 附近原子造成受激辐射。,当入射光的中心频率为 ，线宽为 ，但 比原子发光谱线宽度 小很多，如图,(1-11a),，则单位时间内总的受激辐射原子数密度,n,等于：,(2),由于总的受激辐射,(,吸收,),原子数密度与外来光的单色能量密度有关，分两种情况讨论：,图,(1-11),外来光作用下的受激原子数密度,1.4.1,光谱线，线型和光谱线宽度,此时受激辐射的跃迁几率为,:,同理，受激吸收跃迁几率为：,如入射光的谱线宽度为 ，单色辐射能量密度为 ；原子谱线的线型函数为 ，线宽为 ，中心频率为 。如果有 ，如图,(1-11b),所示，则在单位时间内，总的受激辐射原子数密度,n,等于：,因此，在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激跃迁与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有关。,1.4.1,光谱线，线型和光谱线宽度,图,(1-11),外来光作用下的受激原子数密度,1.4.2,自然增宽,1.,经典理论,(1),经典理论将一个原子看作是由一个负电中心和一个正电中心组成的电偶极子。当正负电中心距离,r,作频率为 的简谐振动时，该原子辐射频率为 的电磁波，电磁波在空间某点的场矢量为：,由光强,假设,I,0,为,t,=0,时的光强，则 时的光强,I=I,0,/e,，即振子的衰减寿命为 ，可以证明 。,由于原子在振动的过程中不断地辐射能量，则上式应写为：,此式表示场矢量随时间衰减的振动规律，如图,(1-12),所示。,图,(1-12),电偶极子辐射场的衰减振动,(2),衰减振动不是简谐振动，因此原子辐射的波不是单色的，谱线具有有限宽度。,由傅立叶分析可知：,考虑到,t,0,，,f=R/20,2),对于凸透镜，,R0,，,f=R/20,3),对于平面镜，,2.,成像公式为,:,3.,如图,(,2-1),所示，共轴球面腔的结构可以用三个参数来表示：两个球面反射镜的曲率半径,R,1,、,R,2,，和腔长即与光轴相交的反射镜面上的两个点之间的距离,L,。可以证明共轴球面腔的稳定性条件是,:,图,(2-1),共轴球面腔结构示意图,2.1.2,共轴球面谐振腔的稳定图及其分类,1.,常常稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件,，定义：,共轴球面谐振腔的稳定性条件可改写为,:,如图,(2-2),所示，,图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中画有斜线的阴影区为不稳定区，在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。,当 时，,共轴球面谐振腔为稳定腔,当 时，,共轴球面谐振腔为非稳腔,当 时，,共轴球面谐振腔为临界腔,图,(2-2),共轴球面腔的稳定图,2.1.2,共轴球面谐振腔的稳定图及其分类,2.,利用稳定条件可将球面腔分类如下,:,双凹稳定腔，由两个凹面镜组成，对应图中,l,、,2,、,3,和,4,区,平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，对应图中,AC,、,AD,段,凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成，对应图中,5,区和,6,区。,共焦腔，,R,1,R,2,L,，因而，,g,1,=0,，,g,2,=0,，对应图中的坐标原点。,半共焦腔，由一个平面镜和一个,R=2L,的凹面镜组成的腔，对应图中,E,和,F,点。,(1),稳定腔,(2),临界腔,平行平面腔，对应图中的,A,点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返。,共心腔， 满足条件,R,2,R,2,L,，对应图中第一象限的,g,1,g,2,1,的双曲线。,半共焦腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，对应图中,C,点和,D,点。,(3),非稳腔,对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。,2.1.3,稳定图的应用,1.,制作一个腔长为,L,的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值范围如何确定？,2.,给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半径，其取值范围如何确定,?,3.,如果已有两块反射镜，曲率半径分别为,R,1,、,R,2,，欲用它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？,图,(2-3),稳定图的应用,图,(2-2),共轴球面腔的稳定图,2.2.1,三能级系统和四能级系统,1.,实现上下能级之间粒子数反转产生激光的物理过程：三能级和四能级系统,图,(2-4),三能级系统和四能级系统示意图,2.,三能级系统：如图,(2-4a),，下能级,E,1,是基态能级，上能级,E,2,是亚稳态能级，,E,3,为抽运高能级。其主要特征是激光的下能级为基态，发光过程中下能级的粒子数一直保存有相当的数量。,3.,四能级系统：如图,(2-4b),，下能级,E,1,不是基态能级，而是一个激发态能级，在常温下基本上是空的。其激励能量要比三能级系统小得多，产生激光要比三能级系统容易得多。,2.2.2,速率方程组,1.,图,(2-5),为简化的四能级图，,n,0,、,n,1,、,n,2,分别为基态、上能级、下能级的粒子数密度；,n,为单位体积内增益介质的总粒子数，,R,1,、,R,2,分别是激励能源将基态,E,0,上的粒子抽运到,E,1,、,E,2,能级上的速率；则,E,2,能级在单位时间内增加的粒子数密度为：,同理，单位时间内,E,1,能级上增加的粒子数密度为 ：,以上三式即为在增益介质中同时存在抽运、吸收、自发辐射和受激辐射时各能级上的粒子数密度随时间变化的速率方程组。,图,(2-5),）简化的四能级图,2.2.3,稳态工作时的粒子数密度反转分布,1.,在抽运和跃迁达到动平衡时，,各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即：,则有：,假设能级,E,2,、,E,1,的简并度相等，即,g,1,=g,2,，因此有,B,12,=B,21,，,又认为,E,2,能级向,E,1,能级的自发跃迁几率远大于,E,2,能级向基态,E,0,的自发跃迁几率，即,A,2,=A,21,由上几式可得：,则激光上下能级粒子数密度反转分布的表达式为：,将上两式相加可得：,2.2.4,小信号工作时的粒子数密度反转分布,1.,由式 可得：,它是当分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值。而分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。显然只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零，换句话说，参数 对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布的大小。,参数 对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数 就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。,2.2.5,均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布,1.,对于均匀增宽的介质,如果介质中传播的光波频率为 ，则有：,如果介质中传播的光波频率 ，则有：,则有：,一般情况下的粒子数密度反转分布可以表示为：,这就是均匀增宽型介质,E,2,、,E,1,能级之间粒子数反转分布的表达式。它给出能级间粒子数反转分布值与腔内光强、光波的中心频率、介质的饱和光强、激励能源的抽运速率以及介质能级的寿命等参量的关系。,2.2.6,均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应,1.,由下式可以看出，,当腔内光强,I,0(,即小讯号,),时，介质中的粒子数密度反转分布值,n,最大，其值为,n,0,。当腔内光强的影响不能忽略时，粒子数密度反转分布值,n,将随光强的增加而减小，此现象称为粒子数密度反转分布值的饱和效应。,2.,当腔内光强一定时，粒子数密度反转分布值,n,随腔内光波频率而变,，,图,(2-6),给出了,I,一定时,n,随 变化的曲线。,图,(2-6),）,n,的饱和效应曲线,2.2.6,均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应,1.,为了更具体地说明频率对,n,的影响，令腔中光强都等于,I,s,，根据,上,式算出几个频率下的,n,值。如下表所示。随着频率对中心频率的偏离，光波对粒子数密度反转分布值的影响逐渐减小。,频率,确定对介质有影响的光波的频率范围，通常采用与线型函数的线宽同样的定义方法：频率为,0,、强度为,I,s,的光波使,n,0,减少了,n,0,2,，这里把使,n,0,减少,(,n,0,2)/2,的光波频率,与,0,之间的间隔，定义为能使介质产生饱和作用的频率范围,2.3.1,均匀增宽介质的增益系数,1.,标志介质受激放大能力的物理量,增益系数,G,可以表示为,， 对于均匀增宽介质：,图,2-7,均匀增宽介质小信号增益系数,小信号增益系数：,式中已用 来代替,与光强无关,仅是频率的函数,综合上两式可得： ，这就是均匀增宽介质增益系数的表达式。,图,(2-7),示意 与谱线的线型函数 有相似的变化规律。,2.,对均匀增宽型介质有： ，则中心频率处小信号增益系数：,2.3.2,均匀增宽介质的增益饱和,1.,增宽饱和：,在抽运速率一定的条件下，当入射光的光强很弱时，增益系数是一个常数；当入射光的光强增大到一定程度后，增益系数随光强的增大而减小。,2.,对增益饱和分三种情况讨论,介质对此光波的增益系数为：,饱和光强,I,s,：是激光工作物质的一个重要参量。,(2),介质对频率为 、光强为,I,的光波的增益系数,此时均匀介质对光波的增益系数为：,(1),介质对频率为 、光强为,I,的光波的增益系数,2.3.2,均匀增宽介质的增益饱和,根据,上式,列表如下，令表中各种频率光波的光强都等于饱和光强,I,s,。并作 的曲线如图,(,2-8,),所示。,频率,增益,系数,图,(2-8),均匀增宽型增益饱和曲线,介质对频率为 光波的增益系数值最大，该光波的增益饱和作用也最大，当,介质对光波的增益作用以及光波对介质的增益饱和作用都很微弱,2.3.2,均匀增宽介质的增益饱和,(3),频率为 、光强为,I,的强光作用下增益介质对另一小信号 的增益系数,由于光强,I,仅改变粒子在上下能级间的分布值，并不改变介质的密度、粒子的运动状态以及能级的宽度。因此，在光强,I,的作用下，介质的光谱线型不会改变，线宽不会改变，增益系数随频率的分布也不会改变，光强仅仅使增益系数在整个线宽范围内下降同样的倍数，如图,(,2-9,),所示,由于,I,和,i,放大是消耗同一个,E,2,能级上的粒子，而介质中,E,2,能级上的粒子数密度已经在,I,的激励下大为减少，所以，此时介质对光波 的增益系数也同样下降,频率为的强光,I,不仅使本身频率处介质的增益系数由 下降至 ，而且使介质的线宽范围内一切频率处介质的增益系数 都下降了同样的倍数,变为 。,图,2-9,小信号 增益饱和曲线,2.4.1,介质在小信号时的粒子数反转分布值,1.,在系统到达动平衡时，对非均匀增宽介质仍有：,2.,由于介质内的粒子在作紊乱的热运动，粒子运动的速度沿腔轴方向的分量满足麦克斯韦速度分布律,(,小信号情况下,),E,2,能级上的粒子中速度在 之间的粒子数密度为,E,1,能级上的粒子中速度在 之间的粒子数密度为,若,E,2,、,E,1,能级的简并度相等，速度在 间的粒子数密度反转分布值为,在,E,2,、,E,1,能级间各种速度的粒子数密度反转分布值之和为,2.4.1,介质在小信号时的粒子数反转分布值,3.,在非均匀增宽型介质中，单位速度间隔内粒子数密度反转分布值随速度的分布情况如,图,(,2-10,),所示。,和 的关系为：,图,(2-10),曲线,4.,在,E,1,、,E,2,能级间跃迁的粒子辐射的光波也是中心频率为 的自然增宽型函数。但由于多普勒效应，在正对着粒子运动（运动速度为 ）的方向上接受到的光波的线型函数变为中心频率为 的自然增宽型函数了。,介质中能够辐射中心频率为 光波的粒子数密度反转分布值为,能够辐射以 为中心频率的单位频率间隔内的粒子数密度反转分布值为,2.4.2,非均匀增宽介质在小信号时的增益系数,1.,频率为 粒子数密度反转分布对小讯号增益系数的贡献，就象均匀增宽型介质的 对 的贡献那样,2.,介质的小讯号增益系数是介质中各种速度的粒子数密度反转分布的贡献之和，故有,图,(2-11),非均匀增宽型介质的小信号增益的计算,3.,可以求得中心频率处的小讯号增益系数 ，它与线宽 成反比,2.4.3,非均匀增宽介质稳态粒子数密度反转分布,1.,当频率为 、光强为,I,的光波在其中传播时，对中心频率为 的粒子来说,2.,当频率为 、光强为,I,的光波在其中传播时，对中心频率为 附近单位频率间隔内粒子数反转分布值 的饱和效应规律为：,光波对频率为,的粒子数密度反转分布的饱和作用已很弱。,2.4.3,非均匀增宽介质稳态粒子数密度反转分布,3.,图,(,2-12,),描绘了 光波对频率为 的粒子数密度反转分布的饱和作用以及起作用的频率范围。,通常称上述现象为粒子数密度反转分布值的,“,烧孔,”,效应。大致说来，烧孔面积的大小与受激辐射功率成正比。,图,(2-12),非均匀增宽型粒子数密度反转分布的饱和作用,4.,频率为 强度为,I,的光波仅使围绕中心频率 、宽度为 范围内的粒子有饱和作用，因此在 曲线上形成一个以 为中心的凹陷，习惯上把它叫做孔,孔的深度为,孔的宽度为,孔的面积为,2.4.4,非均匀增宽介质稳态情况下的增益饱和,1.,在非均匀增宽型介质中，频率为 、强度为,I,的光波只在附近宽度约为 的范围内有增益饱和作用，如,图,(2,-13,),所示,2.,增益系数在 处下降的现象称为增益系数的,“,烧孔,”,效应,。,孔的中心频率仍是光频 ，孔宽仍为：,只是孔的深度浅了一点。,图,(2-13),非均匀增宽型增益饱和曲线,3.,在频率为 、强度为,I,的光波作用下，可以计算出介质的增益系数,:,4.,从上面的分析可以看出，光波,I,使非均匀增宽型介质发生增益饱和的速率要比均匀增宽型介质缓慢。,5.,从上面的分析可以看出，光波,I,使均匀增宽型介质对各种频率的光波的增益系数都下降同样的倍数；而对非均匀增宽型介质它只能引起某个范围内的光波的增益系数下降，并且下降的倍数不同。,2.4.4,非均匀增宽介质稳态情况下的增益饱和,图,(2-14),非均匀增宽型激光器中的增益饱和,6.,对于多普勒增宽来讲，光波,I,使频率为 （即速度为 ）附近的粒子数密度反转分布饱和；同样沿负轴传播的光波,I,也会使速度为 （其对应的频率为 ）的粒子数密度反转分布饱和，即沿腔轴负方向传播的频率为 的光波将在增益曲线上 的附近烧一个孔。如图,(2-14),所示。,2.5.1,激光器的损耗,1.,内部损耗,增益介质内部由于成分不均匀、粒子数密度不均匀或有缺陷而使光产生折射、散射等,使部分光波偏离原来的传播方向，造成光能量的损耗。,2.,镜面损耗,当强度为,I,的光波射到镜面上，其中,r,1,I(,或,r,2,I),反射回腔内继续放大，其它的部分均为损耗，包括,t,1,I(,或,t,2,I),、镜面的散射、吸收以及由于光的衍射使光束扩散到反射镜范围以外造成的损耗，用,a,1,I(,或,a,2,I),表示,2.5.2,激光器内形成稳定光强的过程,图（,2-15,）激光谐振腔中光强增长,激光谐振腔内光强由弱变强直至最后达到稳定的过程可以用,图,(2,-15,),来描写。,M,2,是反射率 的全反射镜，置于在 处，,M,1,是反射率 的部分反射镜，置于 坐标处。稳定光强在腔中传播过程由闭合曲线 所表示。,1.,谐振腔内光强的放大过程,(1),由于自发辐射，在,z=0,处有一束强度为,I,1,的入射光沿腔轴传播，此时由于腔内光强很弱，,此时介质的增益系数就是小讯号增益系数,有：,2.5.2,激光器内形成稳定光强的过程,图中曲线 表示了这个过程。,(2),又经增益介质进行放大，再传到,M,1,处时，光强已增至,如图中曲线 所示,(3),光强在,M,1,上一部分反射回腔内继续放大，这部分为,一部分作为激光器的输出由,M,1,镜透射出去，其大小为,其余部分都作为镜面损耗而损失掉了，这部分为,(4),图中纵轴上 代表总镜面损耗 ，即,(5),此时腔内光的放大倍数为,2.,谐振腔稳定出光过程,(1),随着光强的增大，增益系数进一步减小，由增益的而增加的光能量仅能补偿损耗而无剩余，输出光强也不再改变，此时：,1.,获得激光所要求的双程放大倍数为：,2.5.3,阈值条件,将上式改写为： ，令,则形成激光所要求的增益系数的条件为：,2.,随着光强的增大，增益系数不断下降，当它下降到下限值时光强也到达最大值,I,M,，增益系数的下限值为增益系数的阈值，即为：,3.,粒子数密度反转分布值的阈值 为：,2.5.4,对介质能级选取的讨论,1.,如果激光下能级,E,1,是基态或很接近基态的能级，则根据波尔兹曼分布可知,E,1,能级上粒子数密度很大，这样完全要靠激励能源将下能级中一半以上的粒子不停地抽运到高能级,E,2,上，且要满足：,2.,如果下能级不是基态，并在常温下它就是一个空态，此时激励能源只要抽运 的粒子到高能级,E,2,上即可，这对激励能源的功率要求较低。这就是常说的三能级系统和四能级系统。,3.,以三种固体激光器为例，分别算出 、 以及 ，并进行比较。,3.1.1,惠更斯,-,基尔霍夫衍射公式,1.,惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。,2.,惠更斯菲涅耳原理,设波阵面,上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点,P,的光场复振幅 由下列积分式计算：,图,3-1,惠更斯,-,菲涅耳原理,式中 为源点 与观察点 之间的距离； 为源点 处的波面法线 与 的夹角；,为光波矢的大小， 为光波长； 为源点 处的面元。,3.1.2,光学谐振腔的自再现模积分方程,1.,自再现模概念,2.,自再现模积分方程,图,3-2,镜面上场分布的计算示意图,图,(,3,-2),所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 和 上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标 和 。利用,上,式由镜面 上的光场分布可以计算出镜 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。,假设 为经过,q,次渡越后在某一镜面上所形成的场分布， 表示光波经过,q+,1,次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则 与 之间应满足如下的迭代关系：,考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 应能够将 再现出来，两者之间应有关系：,3.1.2,光学谐振腔的自再现模积分方程,2.,自再现模积分方程,综合上两式可得：,对于一般的激光谐振腔来说，腔长,L,与反射镜曲率半径,R,通常都远大于反射镜的线度,a,，而,a,又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程：,其中,，称为积分方程的核。,和 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。,3.1.2,光学谐振腔的自再现模积分方程,3.,积分方程解的物理意义,本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做,“,横模,”,，,m,、,n,称为横模序数。图,3-3,为各种横模光斑。,(1),本征函数 和激光横模,图,3-3,横模光斑示意图,(2),本征值 和单程衍射损耗、单程相移,本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。,3.1.2,光学谐振腔的自再现模积分方程,3.,积分方程解的物理意义,(2),本征值 和单程衍射损耗、单程相移,损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示。定义为,本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。,自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为,自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长,L,所决定的几何相移，它们的关系为,3.1.3,光学谐振腔谐振频率和激光纵模,1.,谐振条件、驻波和激光纵模,(1),光波在腔内往返一周的总相移应等于,2,的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件,(2),每个,q,值对应一个驻波，称之为：纵模，,q,为纵模序数。,(3),2.,纵模频率间隔,(1),腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔,举例,1,：,10cm,腔长的,He-Ne,激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模）,举例,2,：,30cm,腔长的,He-Ne,激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）,图,(3-4),腔中允许的纵模数,3.2.1,共焦腔镜面上的场分布,1.,方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解,(1),设方镜每边长为,2,a,，共焦腔的腔长为,L,，,光波波长为,，并把,x,，,y,坐标的原点选在镜面中心而以,(x,，,y),来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解,本征值近似解,H,m,(X),和,H,n,(Y),均为厄密多项式，其表示式为：,3.2.1,共焦腔镜面上的场分布,2.,镜面上自再现模场的特征,(1),振幅分布,:,令,则有,图,(3-5),画出了,m,= 0,，,1,，,2,和,n,= 0,，,1,的 的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布,图,(3-5),的变化曲线及相应的光强分布,激光模式的符号：,TEM,mnq,，,TEM,00,是基横模。,m,、,n,的数值正好分别等于光强在,x,，,y,方向上的节线,(,光强为零的线,),数目，而且,m,、,n,的数值越大，光场也越向外扩展。,(1),振幅分布,:,基横模,TEM,00,场分布为：,镜面上基模的,“,光斑有效截面半径,”,(2),位相分布,:,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。,(3),单程衍射损耗：,一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗,(4),单程相移与谐振频率：,图,(3-6),方形镜共焦腔的振荡频谱,3.2.1,共焦腔镜面上的场分布,1.,腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面,M,1,上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率,t,。,3.2.2,共焦腔,中的行波场与腔内外的光场分布,2.,如图,3-7,所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：,图,3-7,计算腔内外光场分布的示意图,3.3.1,高斯光束的振幅和强度分布,1.,基横模,TEM,00,的场振幅,U,00,和强度,I,00,分布,分别为：,2.,当场振幅为轴上,( ),的值的,e,-,1,倍，即强度为轴上的值的,e,-,2,倍时，所对应的横向距离 即,z,处截面内基模的有效截面半径为；,3.,在共焦腔中心,(z,0),的截面内的光斑有极小值,，,称为高斯光束的束腰半径,3.3.1,高斯光束的振幅和强度分布,4.,图,(3-8),基模光斑半径随,z,按双曲线规律的变化,5.,基模光斑半径 随,z,按双曲线规律变化，如,图,(3,-8,),。,3.3.2,高斯光束的相位分布,1.,随坐标而变化，与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程为,忽略由于,z,变化引起的 的微小变化，用 代替 ，则在腔轴附近有,令 ，则有：,3.3.2,高斯光束的相位分布,当,z,0,0,时，,z-z,0,0,；而当,z,0,0,时,z-z,0,0,2.,表明等位相面在近轴区域可看成半径为,R,0,的球面,3.,由式子 可知：,当,当,共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面,4.,共焦场中等相位面的分布如,图,(3,-9,),所示。,图,(3-9),共焦腔中等位相面的分布,1.,远场发散角,(,全角,),定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角（参见图,(3,-8,),）,2.,由波动光学知道，在单色平行光照明下，一个半径为,r,的圆孔夫琅和费衍射角,(,主极大至第一极小值之间的夹角,),。与,上式,相比较可知高斯光束半角远场发散角在数值上等于以腰斑 为半径的光束的衍射角，即它已达到了衍射极限。,3.,共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量缀，它的方向性相当好。,4.,由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。,3.3.3,高斯光束的远场发散角,1.,亮度,B,:,单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。,2.,一般的激光器是向着数量级约为,10,6,sr,的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光,(,如电灯光,),是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为,4,sr,。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。,3.,小结一下高斯光束的主要特征参量：,3.3.4,高斯光束的高亮度,3.4.1,稳定球面腔的等价共焦腔,1.,任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地与一个共焦腔等价。,2.,假设双凹腔两镜面,M,1,与,M,2,的曲率半径分别为,R,1,和,R,2,，腔长为,L,，而所要求的等价共焦腔的共焦参数为,f,。以等价共焦腔中点为,z,坐标的原点。,M,1,、,M,2,两镜的,z,坐标为,z,1,和,z,2,。如图,(3-10),所示。则有：,图,(3-10),球面腔的等价共焦腔,3.,如果,R,1,、,R,2,、,L,满足 ，不难证明,z,1,0,、,z,2,0,、,f,0,，这说明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔。,3.4.2,稳定球面腔的光束传播特性,1.,等效共焦腔的束腰半径和原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径,(1),等效共焦腔的束腰半径,(2),原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径,3.4.2,稳定球面腔的光束传播特性,2.,谐振频率,(1),方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的位相因子分别为：,(2),按谐振条件，单程总相移必须满足 ，则有：,(3),圆形镜一般稳定腔的谐振频率,3.5.1,均匀增宽型介质激光器的输出功率,(1),腔内最小的光强,I,+,(0),(2),腔内最大光强,I,-,(2L)=r,2,I,+,(0)exp2L(G-a,内,),(3),输出光强：,I,out,=,t,1,I,-,(2L)=,t,1,r,2,I,+,(0)exp2L(G-a,内,),(4),镜面损耗：,I,h,=,a,1,I,-,(2L)=,a,1,r,2,I,+,(0)exp2L
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