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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2.1,勾股定理（,1,）,观察,-,探索,-,论证,A,B,C,观察：,两直角边的平方和等于斜边的平方,c,a,b,面积,A+,面积,B=,面积,C,a,2,+b,2,=c,2,观察,-,探索,-,论证,相传,2500,年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系。,探究,：如果,在网格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形,;,并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,有这种关系吗？,P,Q,R,正方形,P,的,面积,正方形,Q,的,面积,正方形,R,的,面积,A,B,C,9,16,？,怎么求,S,R,的大小？有几种方案？,动动脑啦,如图，小方格的边长为,1.,P,Q,C,R,求正方形,R,的面积？,用“补”的方法,P,Q,C,R,用“割”的方法,Q,S,R,S,R,P,Q,R,a,c,b,S,P,+S,Q,=S,R,如果直角三角形的直角边分别是,a,、,b,，斜边是,c,，观察面积等式，它们之间会有什么关系吗？,a,2,+b,2,=c,2,S,p,S,Q,S,R,观察所得到的各组数据，它们有毕达哥拉斯发现的规律吗？,a,2,b,2,c,2,勾,股,勾,股,弦,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么,a,b,c,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,西方称（毕达哥拉斯定理,),A,C,B,弦,勾,股,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家,商高,就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“,勾三、股四、弦五”，,它被记载于我国古代著名的数学著作,周髀算经,中。,勾股世界,数学史,1945,年，人们在研究,古巴比伦人遗留下的一块数学泥板,时，惊讶地发现上面竟然刻有,15,组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。,在西方，一般认为这个定理是,毕达哥拉斯,发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。,勾股定理的证明方法很多，达,400,多种，在,中国最早,对勾股定理进行证明的，是三国时期,吴国,的数学家,赵爽,。赵爽四个全等的直角三角形创制了一幅,“,勾股圆方图,”,，人们称之为,“,赵爽弦图,”,，用,数形结合,的方法，给出了勾股定理的详细证明！,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,勾股定理的证明,赵爽的,“,弦图,”,赵爽弦图,2002,年世界数学家大会会标,“,赵爽弦图,表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为,2002,年在北京召开的国际数学家大会的会徽。,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,=2ab+b,2,-2ab+a,2,=a,2,+b,2,a,2,+b,2,=c,2,大正方形的面积可以表示为 ；,也可以表示为,c,2,4 +(b-a),2,c,2,=4 +(b-a),2,大家学过从“,面积到乘法公式”，主要,从哪些角度思考图形的面积？你能弦图中推出勾股定理吗,？,整体角度,局部角度,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么,a,b,c,A,C,B,数学符号语言：,在,Rt ABC,中，,C=90,o,AC,2,+BC,2,=AB,2,或,a,2,+b,2,=c,2,弦,勾,股,比一比看看谁算得快！,1.,求下列直角三角形中未知边的长,:,可用勾股定理建立方程,.,方法小结,:,40,x,41,12,5,x,学以致用,小明的妈妈买了一部,29,英寸（,74,厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕长只有,58,厘米和宽,46,厘米，他认为是售货员搞错了。你同意他的看法吗？,我们通常所说的,29,英寸或,74,厘米的电视机，是指其荧屏,对角线的长,度，,对角线怎么求？,例,46,58,？,小明的妈妈买了一部,29,英寸（,74,厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有,58,厘米长和,46,厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？,售货员没搞错,解：,议一议,荧屏对角线大约为,74,厘米,46,58,1,、已知：,Rt,BC,中，,AB,，,AC,则,BC,的平方是,.,25,或,7,试一试,:,4,3,A,C,B,4,3,C,A,B,分析,:,对较长的边,“,4,”,，进行分类讨论：,（,1,）,“,4,”,是斜边：,（,2,）,“,4,”,是直角边：,能力提升：,1,、在,RtABC,中，斜边,AB=2,，则,AB,2,+BC,2,+AC,2,=_,2,、在直角三角形中，若其中两边长分别为,3,和,5,，则它的面积为,_,3,、如图，,ABC,中，,C=90,，,CD AB,于,D,，,AC=9,，,BC=12,，,求：,CD,的长。,B,A,C,D,2AB,2,=8,6,或,7.5,9,12,15,方法（面积法）：,1/2ACxBC=1/2ABxCD,即,1/2X9x12=1/2x15xCD,所以,CD=7.2,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形,E,的边长为,7cm,，求,(1),正方形,A,，,B,，,C,，,D,的面积的和,思考,S,1,S,2,解：,S,E,=49,S,1,=S,A,+S,B,S,2,=S,C,+S,D,S,A,+S,B,+S,C,+S,D,=S,1,+S,2,=S,E,=49,(2),所有正方形面积和,(2),所有正方形面积和,S,A,+S,B,+S,C,+S,D,+,S,1,+S,2,+,S,E,=3S,E,=3X49=147,1,1,美丽的勾股树,勾股故事,3,美国第二十,任总统伽菲尔德,的证法在数学史上被传为佳话,(,a,+,b,)(,b,+,a,),=,a,2,+,a,2,+,b,2,=,c,2,a,a,b,b,c,c,1876,年,4,月,1,日，伽菲尔德在,新英格兰教育日志,上发表了他对勾股定理的这一证法。,1881,年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为,“总统”证法,。,c,2,+2(,),+,ab,+,b,2,=,c,2,ab,ab,a,2,+,b,2,=,c,2,a,2,b,2,a,2,c,2,毕达哥拉斯证法,如图,以,RtABC,的三边为直径的,3,个半圆的面积有什么关系,?,请你说明理由,.,练一练,S,1,S,2,S,3,（图中每个小方格代表一个单位面积）,A,B,C,D,F,E,思考：,1,、观察左图中的,ABC,和,DEF,，它们是直角三角形吗？,2,、分别以,ABC,和,DEF,的各边为一边向外所作的正方形，其中两个小正方形的面积和等于大正方形的面积吗？,S,1,S,2,S,3,S,1,S,2,S,3,如图,折叠长方形,（四个角都是直角，对边相等）,的一边，使点,D,落在,BC,边上的点,F,处，若,AB=8,，,AD=10.,（,1,）你能说出图中哪些线段的长,?,（,2,）求,EC,的长,.,问题与思考,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,探究,2,A,C,O,B,D,一个,3m,长的梯子,AB,斜,靠在一竖直的墙,AO,上,这时,AO,的距离为,2.5m,如果梯子的顶端,A,沿墙,下滑,0.5m,那么梯子底,端,B,也外移多少,?,例,1,、已知,ABC,中,C=90,o,BC=a,AC=b,AB=c,已知,:a=3,b=4,求,c;,已知,:a=6,c=8,求,c;,(3),已知,:c=15,a:b=3:4,求,a,b.,(4),若假设,BC=,m,a,AC=,m,b,m,为正整数,求,c;,C,A,B,已知：,a,3,，,b,4,，求,c,已知：,c,10,，,a,6,，求,b,学以致用,1,、已知，,RtABC,中，,a,，,b,为的两条直角边，,c,为斜边，求：,2,、已知：,c,13,，,a,5,，,求阴影部分的面积。,a,c,b,例,1,飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方,3,千米处，过了,20,秒，飞机距离这个男孩头顶,5,千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？,A,B,C,3,千米,5,千米,20,秒后,规范运用,D,A,B,C,蚂蚁沿图中的折线从,A,点爬到,D,点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为,1,厘米）,G,F,E,智能提升,3,4,12,5,6,8,以直角三角形三边为边作等边三角形,这,3,个等边三角形的面积之间有什么关系？,A,B,C,D,E,F,议一议,已知,:ABC,，,AB,AC,17,，,BC,16.,(1),求高,AD,的长,;,(2),求,S,ABC,.,A,B,C,D,例题分析,8,17,?,1,、已知：,ABC,，,AB,AC,17,，,BC,16,，则高,AD,，,S,ABC,.,2,、池塘边有两点,A,、,B,，点,C,是与,BA,方向成直角的,AC,方向上一点，测得,CB=60m,，,AC=20m,。你能求出,A,、,B,两点间的距离吗？（结果保留整数）,拓展延伸,60,C,20,A,B,例,1,飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方,3,千米处，过了,20,秒，飞机距离这个男孩头顶,5,千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？,解：在,Rt,ABC,中，,答,：,飞机飞过的距离是,4,千米,.,规范运用,B,C,A,3,5,？,美国第二十任总统伽菲尔德的证法,：,
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