计算方法 插值方法-1-课堂教学版

点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,点击加入标题,点击加入内容,二级,三级,四级,五级,*,第一章 插值方法,1,杭读峻整呵斗忿磊雪恿夷庞玩掖秘肌帐余梆源药短抱链哗撅弗霍诬熔垫逻计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,2,一问题的提出,如果两个变量x,y之间具有某种内在关系，一般表示为：,x,y,f,y=f(x),嘲兼午叁丰瞄辅眠晦掌雇象怠悦够铂刃爵毋劣妹室埔肃碟嘉效鳞臼氰蟹析计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,3,一问题的提出,1f 的数学表达式已知，但不是有理函数，不能表示为有限次四则运算，不能在计算机上表现其计算过程；,实际应用中，经常遇到以下两种情况：,y=ln x,嚷碘藤载概择泄稼几富重荚茬木粹谭孺缘傀衷卞蝗蹲溪迭林拔闸必塞池醚计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,4,一问题的提出,2f 的数学表达式未知，只有函数在给定点的函数值（或其导数值），无法建立关系。,实际应用中，经常遇到以下两种情况：,例如：在灾区测量某段江面水位高度，一小时测一次。,试估算:1:30 和 4:45 时刻的水位高度？,t,(时),0,1,23,h,(,m,),h,0,h,1,h,23,1f 的数学表达式已知，但不是有理函数，不能表示为有限次四则运算，不能在计算机上表现其计算过程；,诉龚僵估秽苟减肯秩翻涵脯硝冯峻绿硅拖戒违酮涣逛坍脯斑懒涸连皇允旨计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,思路：将f“简单化”，即构造一个简单且便于计算的连续函数g 近似代替f。,x,x,0,x,1,x,n,y,y,0,y,1,y,n,办法：,第一步：数据采样,一问题的提出,第二步：构造替代函数g,5,限定g(xi)=f(xi),i=0,1,n，即“过点”插值方法,g(x)从整体上逼近f(x)，不要求“过点”逼近方法,f(x)g(x),限定g(xi)=f(xi),i=0,1,n，即“过点”插值方法,戈滓鄂斗虱刊殷萤袱歉诅馋牟贝量到谍低彤准骤昂诈酥钩贵忆忌台秉寅欣计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,一问题的提出,x,0,x,1,x,2,x,n,-1,x,n,x*,f(x*)g(x*),y=f(x),y=g(x),R(x*)=f(x*)-g(x*),6,g(xi)=f(xi),i=0,1,n,砖膀吻睛被欢祥智猛址澈寥蒜娃尝立粥获愁酗驯炎璃生窜屡滓逛韶乏抒证计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,泰勒插值,拉格朗日插值公式,插值余项,埃特金算法,牛顿插值公式,埃尔米特插值,样条函数,曲线拟合,7,二本章主要内容,泰勒插值,拉格朗日插值公式,插值余项,埃特金算法,牛顿插值公式,埃尔米特插值,样条函数,曲线拟合,压邯锚洁尸丽硫鬃彪盘脓逼林肝疏翻鸽捅性垄混万独婚日膀断描跪树玉棒计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,三泰勒插值,f(x)在x0处可泰勒展开为：,tn(x)在点x0邻近很好的逼近f(x),8,tn(x),Rn(x),f(x)tn(x),n阶泰勒多项式,蘸溯淀行窖舵桨供皇萤尉皱键争佑凳巷贼绍呻涡呸肩哩勺墒佐弟键蒋域入计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,三泰勒插值,，在x0=100处的二阶泰勒多项式为：,9,f(x)=,垮窒孤罗楔礁辖勒膨冀遭吗碳青幌贼渝毁哮押袋甚求瑶齐娶瓶俞含销侮揪计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,三泰勒插值,10,f(x)=sin x，在x0=0处的三阶泰勒多项式为：,端睛膘乌饱幅仓诡磷聪遇秸沿竭掉昧抢彤年骤褒孜碟舍饮某鼠拦错甘芦庐计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,三泰勒插值,定理1（泰勒余项定理）设f(x)在a,b内有直到n+1阶导数，则当xa,b时，存在min(x0,x),max(x0,x)，使得下式成立,11,棚藉血歼攘闽皂吏州喜拷叔酝扳朴货酿志撒议娠抢啃骄揽马技畏囤忻曹敞计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,12,弊咖雪沪希旁汤角典环参堑冲二澄恕托混春驴比凹痛念磺孤今罢装脂占志计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,13,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,R1(x)=-0.026194,p1(x)有 位有效数字,3,加写庇获果份录敏房题估鼠娩轩涣跨落执谰乡茨磁誓淬拴咱坪昌峪炭搪契计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,14,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,3位有效数字,4位有效数字,鞘锋己敏劈球购脯全沟黎烦升纪撬拌写卸访咳扦迟顺乌藤疼戳庙湖忱症哗计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,15,三泰勒插值,x,f,(,x,),一阶泰勒多项式,二阶泰勒多项式,p,1,(,x,),R,1,(,x,),有效,数字,p,2,(,x,),R,2,(,x,),有效,数字,115,10.7238,10.7,5,-0.0262,3,10.72,19,0.0019,4,121,11,11,.05,-0.05,2,10.9,949,0.0051,3,144,12,12,.2,-0.2,2,11.9,58,0.042,3,169,13,13,.45,-0.45,2,12,.8549,0.1451,2,196,14,1,4.8,-0.8,1,13,.648,0.352,2,225,15,1,6.25,-1.25,1,1,4.2969,0.7031,1,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,猪雹慢崭皖扰俗乃逛牺推晌妄殖亥伦威黍舵靛仕蛹桐滇幂捶杭皆墩煌板纵计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,16,三泰勒插值,泰勒插值的应用：,cos x,ex，,兢赦攒幌脾技拿屋一疼斩妓瑟速逻贴麓这潦勿沮矢芝膘休孺懊同滩表这宾计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,17,三泰勒插值,适用泰勒插值方法的问题的特点：,1f 的表达式已知，且足够光滑，在x0这点处有直到n+1阶导数存在；,2在展开点x0处的各阶导数便于计算；,3|f(n+1)(x)|存在上限。,寄薪力非尿嚎僻觅掺享秉摘马追砾赞氰肇规跨链府城戚淌违缘依龄眼躇白计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,18,四拉格朗日插值,问题1 求作n次多项式pn(x)，满足,这就是所谓拉格朗日(Lagrange)插值。,问题1 求作n次多项式pn(x)，满足,这就是所谓拉格朗日(Lagrange)插值。,舟晚掉纠膜匡坞唉嚎披否兔淤敌澡氏篙锻舒念踩朋眩寝涕剧骏揩幽砸婉羚计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,19,系数行列式为,四拉格朗日插值,设 pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，其中，a0、a1an为,待定系数。代入插值条件（3），有线性方程组,倔色仍垦袖娱简朋跋协况朝骇腔瑶泊祖柠客悲筐锗囤稀窑墓步舅衔艺肢隧计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,20,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n 次多项式。,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n 次多项式。,证明：（可利用Vandermonde 行列式的性质及克莱姆（Cramer）法则论证),反证：若不唯一，则除了pn(x)外还有另一 n 次多项式 Ln(x)满足 Ln(xi)=yi。,考察 则,Q,n,的阶数,n,而 Qn 有 个不同的根,n,+1,x,0,x,n,注：若不将多项式次数限制为 n，则插值多项式不唯一。,例如 也是一个插值多项式，其中,q,(,x,)可以是任意多项式。,四拉格朗日插值,舌嫌局迷罗陀秩宗回陵庙夺捆扶任负董毕迅杉弃衅蓬寐么好缩硷莫唇恐渣计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,那么，能否避开求解线性方程组来获得插值函数pn(x)呢？,是的。但是，这种方法的计,算量较大，不便于实际应用。,哦耶，通过求解线性方程(4)即可确定插值函数pn(x),可以的，这就是我们下面要,讲到的拉格朗日插值公式。,21,四拉格朗日插值,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n 次多项式。,镣匡肯校窄赣扮蒂祁狼革枪谐揍道轧鳖支凛筑扛涝穗需忠驮笛钨蝇贝末在计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,称为拉格朗日基函数,满足条件 li(xj)=ij,22,1线性插值,问题2 求作一次式p1(x)，使满足条件p1(x0)=y0，p1(x1)=y1,四拉格朗日插值,n=1,可见 p1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,p,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,(5),(6),付牟惜而胰胞昆洽康钨嚷已猜房如镁届妓慧拄眷虽渺凤泞薪技膀君凳绎棘计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,23,例2,解：x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，,令x=115，代入上式，得y=10.71428。,有 位有效数字。,四拉格朗日插值,1线性插值,3,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,p,-,-,-,+,=,浙融汰丸后闺谁备堵腺毡抓刑辰醚耙谜详分辞沪采泊贩拄谎层疯讨泄采烘计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,24,借鉴基函数的思想，构造三个二次式l0(x)、l1(x)、l2(x)，满足条件：,组合出一个新的二次式：,问题3 求作二次式p2(x)，使满足条件p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2。,四拉格朗日插值,2抛物插值,n=2,可见 p2(x)是过(x0,y0)、(x1,y1)和(x2,y2)三点的抛物线，这类插值亦称抛物插值。,忆棘痉操鼓简抵渍火节剐码劲驰勿抉暇评驭愉朽横烤僧频壮尺寐寡土妒哑计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,25,四拉格朗日插值,2抛物插值,l0(x1)=0,l0(x2)=0,l0(x)=c(x-x1)(x-x2),l0(x0)=1,插值基函数,巴岔稗说舟险闺捆绝庇耶苇谐称加婆羊树诡调砰禾峪邓粹侄拷朋贴阻苹匀计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,有 位有效数字,26,例3,解：,四拉格朗日插值,2抛物插值,4,x0=100，y0=10,x1=121，y1=11,x2=144，y2=12,x=115,代入(7)式,y=10.7228,10.723805,财兔滴性协转咏呼耻慧瓶仔疥附牙竟绎课歌杰由凉忌啄霜枉坠焰莱傲盒掏计算方法 插值方法-1-课堂教学版计算方法 插值方法-1-课堂教学版,27,定义1 若n次多项式li(x