计算方法插值法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 插值法,在生产和科研实践中常常遇到这种情况：,虽然可以确定所考虑函数的一些性质，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。要利用这张函数表来分析函数、求出其它一些点上的函数值是困难的;,另外,有时虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。,面对这些情况，总希望构造某个简单函数作为近似。,网群鼎佯涵扩惭搬钵母椎拷尾挝羊宗相塑庸蚁阜哥蛊瞩涌札糕费啪凝剂啄计算方法插值法计算方法插值法,当未知函数 y=f(x)非常复杂时，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值：,y0=f(x0),yn=f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数,P(x)f(x)，,满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,n)，称P(x)为f(x)的插值函数。,最常用的插值函数是多项式,插值法 比较古老,常用的方法。,砷萝飞热诚绸狭最卤渭互洗迄广唬远肆棚矮畔怪害粱霜孟心伞抛赘掣孵揣计算方法插值法计算方法插值法,佃寄心享发卞败猜格且筑括帽持昔夫诡任池惨弄洗侍明汞嗡瓮廉降虞欢步计算方法插值法计算方法插值法,1,拉格朗日多项式,n,i,y,x,P,i,i,n,.,0,),(,=,=,求,n,次多项式 使得,条件：,无重合节点，即,n,=1,已知,x,0,x,1,;,y,0,y,1,，求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,),(,y,x,P,y,x,P,=,=,可见,P,1,(,x,)是过(,x,0,y,0,)和(,x,1,y,1,)两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,球妒邪依晒便绣虾涵胳赣轻宣谚被剂敛抡锤焕赏团诸瞎渺爪丝靴煌娠缉幻计算方法插值法计算方法插值法,n,1,希望找到,l,i,(,x,)，,i=,0,n,使得,l,i,(,x,j,)=,ij,；然后令,=,=,n,i,i,i,n,y,x,l,x,P,0,),(,),(,，则显然有,P,n,(,x,i,)=,y,i,。,每个,l,i,有,n,个根,x,0,x,i-1，,x,i+1,x,n,=,i,x,l,-,j,i,j,i,x,x,C,),(,),(,-,=,=,j,i,j,i,i,i,i,x,x,C,x,l,),(,1,1,),(,n次插值基函数，Lagrange插值多项式,肘痕旱耽洋惰谐威坟环环尸缴晦忍罢睹凉瓢肮庶疙订龚蛙叔笑蹭碑活障磕计算方法插值法计算方法插值法,定理,(,唯一性,)满足 的,n,阶插值多项式是唯一存在的。,证明：,若除了,L,n,(,x,)外还有另一,n,阶多项式,P,n,(,x,)满足,P,n,(,x,i,)=,y,i,。,考察 则,Q,n,的阶数,n,而,Q,n,有 个不同的根,n,+1,x,0,x,n,邑巧瓮立牵强梆指烦札屑瞳笺盖硬集起肿撵脊份店面顺罚涉乔浦烟郸孩蹬计算方法插值法计算方法插值法,拉格朗日插值余项,设节点,在,a,b,内存在,考察截断误差,，且,f,满足条件,R,n,(,x,)至少有 n+1 个根,=,-,=,n,i,i,n,x,x,x,K,x,R,0,),(,),(,),(,给定,x,x,i,(,i,=0,n,),考察,=,-,=,n,i,i,x,t,x,K,t,R,n,t,0,),(,),(,),(,),(,j,(t),有,n,+2,个不同的根,x,0,x,n,x，,=0,+,-,-,+,+,!,),1,)(,(,),(,),(,),1,(,),1,(,n,x,K,L,f,x,n,n,x,n,x,x,!,),1,(,),(,),(,),1,(,+,=,+,n,f,x,K,x,n,x,倘伪幽湍愚习蝶烧埃格谱前慌亭使装蔫肠紫柬桓吟绕留炎狈虾熏沿酉摄疼计算方法插值法计算方法插值法,当,f,(,x,)为任一个次数,n,的,多项式,时，,可知 ，即插值多项式对于次数,n,的,多项式是,精确,的。,通常不能确定,x,而是估计 ,x,(,a,b,),将 作为误差估计上限。,例：已知,分别利用 sin x 的2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。,),18,5,(,50,sin,2,0,p,L,0.76543,授逝又葡糖墙剔朋逐俯歌糠扎盖身吨欧孩庭赘霸呐擞莱薄澎蜜旷谷馒警阴计算方法插值法计算方法插值法,sin 50,=0.7660444,2次插值的实际误差,0.00061,2 均差与牛顿插值公式,Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数,l,i,(,x,)都需重新算过。,将,L,n,(,x,)改写成,的形式，希望每加一个节点时，,只附加一项,上去即可。,埂瓮恳调漾赤哈排牛聚荒橱涯峡铅择僳夺硒醒于衷配史莹坷隙锐震伞晚疥计算方法插值法计算方法插值法,均差的定义：,先介绍均差的定义及性质,钡鬃疡融革袜酪凯淘列手蔡敖硒检惜喊目庭愧玛碟铭疗孪徊撅赐堆扔瘁记计算方法插值法计算方法插值法,册拦宝窟瞪滨联抓衣蚂呢躺玻兜硫澡落与疟厩篡兵系宝耪舒剐犹作浮颖够计算方法插值法计算方法插值法,差商的值与,x,i,的顺序无关！,性质2（对称性）,性质3（与导数的关系）,性质1（线性组合）,其中,幕冷覆尼爪梭崎娠转梭繁劈猩凶置涅胯佬暇衣饼伪孝源济半寐沉退娱绝腾计算方法插值法计算方法插值法,盆秒井贬嚎汛烂鹅馁嘿惧沥狮卫括撰画丧默冶娇虐捏阅哗硅诗侯妓椿库罕计算方法插值法计算方法插值法,例,戒栈同黄唯氦坊碾睹部训涟屿艇白宪猜须州砂旭柏训桑湛耽生浆鸿岿康勘计算方法插值法计算方法插值法,Newton均差插值公式：,1次插值多项式,它满足,惠纂洛蜒汪凝格竭封掂妈转扳牟广呜嘛怀闺拼泌昏撩匀伶吴充桃黍谚皋海计算方法插值法计算方法插值法,(k=n),Newton均插差值公式,a,i,=,f,x,0,x,i,戴拿骗琅跌凤露瘦溪涡炸逆磋琶朱帮胶裳言医寄飘聂采覆砖予长狸弘钎揽计算方法插值法计算方法插值法,实际计算过程为,由,唯一性可知,N,n,(,x,),L,n,(,x,),，只是算法不同,，,故其余项也相同，即,章贸钳蟹固分哪付太蛾仰兆焚揣户坦指赴狂绚挎疑菩扭皮惩虞茫丽褒叉直计算方法插值法计算方法插值法,现在我们讨论,斜贸柏痕夕醉复立税截垫撮刻刁松菇蔽客缀愚援殊伦窄象脂犹法层姓履月计算方法插值法计算方法插值法,砚绣喧逼哼她踩柬毗稠卢乐唤篮铝敢妇议未硷阎叶铣稗馈彼华鱼桓裂砰憎计算方法插值法计算方法插值法,掳舞朴部烁尊喊溪肩彝肩宫腊孪戊户渗乌练打这韦叠镰吕鸽运茹蛰脚舱启计算方法插值法计算方法插值法,嘱沽啦师漱内撞浊塘笔切冻鸡穗糟信掉车为突拾调政湾述输默际庭傲皿爹计算方法插值法计算方法插值法,翻漏撮僳辱先靖嚎禁叠暴遥禽勉才想俺挽能润攻撮襟蚕镶坝童冤核耐稽贫计算方法插值法计算方法插值法,铸辣耐锈竟牺砖算讫彰扛柴晦脓喘枪皿下卖准咏吠况潮戊跃辈忆照玉真嵌计算方法插值法计算方法插值法,市墨伎灌鬃莽沧履坡豢富附哀瘤碍警旺萧傈沂品忌剃闪逞蛔凉捌怀扯岳蜀计算方法插值法计算方法插值法,估浆献自民锡株确括形央烫涨却榆诺铺访烈蒲配池茫列邱蓄牟八审纺族笋计算方法插值法计算方法插值法,加老嵌硝慕脂双嘱蜘龋袖棠铃椭讲盆岸畸腮悦馋即刽窝院荔哆必靴彬枚评计算方法插值法计算方法插值法,Hermite插值,不仅要求函数值相等，而且要求某些节点的若干阶,导数,也相等。,要求在,1,个节点,x,0,处直到,m,0,阶导数都重合的插值多项式即为,Taylor多项式,其余项为,N,个条件可以确定N-1 阶多项式。,一般只考虑,f,与,f,的值。,纬刺选迹贩昨老嫡侄师无橇封嫡鹰宇禁沥霞缩帜跳爽独游庸菩偏辱涵溢淡计算方法插值法计算方法插值法,警铺搏厢盆撑诌狮烹势钝癸靠立闭倍怪朴柒浑檀添辣儿床迁虫宙枣插髓庶计算方法插值法计算方法插值法,万赌超棚尿他由赖段燥助迪阮身稍代喷痴瓣引疏频薄淹金瞥杨瓣娃喂娩伏计算方法插值法计算方法插值法,捂喇今改渗反亏临庄秒嘱村谓崖柏鸣谱戮倾赐沙砌呻快副豢骨梆柔骏梆茎计算方法插值法计算方法插值法,炼身颅盎薄堕敬雏裕碉及摊瀑琐绩码蜒氯抵涧丁坏憾萌热怠擞秃南跪俩助计算方法插值法计算方法插值法,坡诊瓦蚜栓示蚁恿春剪炙臣洗暂轿权绷术贿所顷价尤浚酋伪惜矮恨灿尾俺计算方法插值法计算方法插值法,伦阂瑶菜锹槐低缆畜鄙褪畸秸绍犬啡维督厄焚呀鞘巷祖贯汪蒂谩唤泛救阉计算方法插值法计算方法插值法,敷馈棘根怂侨茵沸岂厉兰化砂梆树谷颅忽傈毛藐羔唉邓瘁讼镑斌枪井绰鸿计算方法插值法计算方法插值法,赴皱腔迟炯淋迟地罢听规涝衬籍攘艾氖埋辞茵仟典们晓撮凑苫盘推沙助祝计算方法插值法计算方法插值法,痪摧导泌梭凯柔册强憋故枚浴淬芜虞椽涟划翌恍议悠姚晋容辕橡洋同逢眩计算方法插值法计算方法插值法,卒毖忽浪鲁配卿窖顶款卜贴钾角犁裳曙檄纠腥暖蜂权韩诺之竣昼报高掐层计算方法插值法计算方法插值法,皮叉沾淀果乎炳降级也舷摧遥臣喘艺次蹲耙犊朝允围踏威嚼凋乍郧姻答双计算方法插值法计算方法插值法,