第三节 向量组的秩

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、,向量,组,极大,线性,无关,组概念,二、向量组的等价,三、向量组的秩,第三节 向量组的秩,四、小结与思考,2024/11/25,一、,向量,组,极大,线性,无关组概念,解,引例,判定向量组,及其部分组的线性相关性,2024/11/25,线性,无关,线性,相关,线性,相关,线性,相关,线性,相关,2024/11/25,注解,对于一个线性相关向量组来说,它的部分组可能线性相关也可能线性无关，而线性无关的部分组中向量个数有一个、两个,不等，其中所含向量个数最多的线性无关部分组也不惟一,2024/11/25,定义,3.4,设,A,是一个,n,维向量组,的一个部分组,;,满足条件,:,为,A,添加,A,中任一向量后所得,线性无关;,的向量组线性相关.,则称,为向量组,A,的一个极大线,性无关组，简称极大无关组,2024/11/25,全部由零向量组成的向量组,极大无关组,.,如果一个向量组线性无关,那么它的极大无,关组是,含非零向量的向量组 极大无关组；,没有,它自身,.,不惟一,.,必有,一般极大无关组,2024/11/25,二,、,向量组的等价,定义,3.5,如果向量组,A,与向量组,B,可以互相,线性,表示,，,则称向量组,A,与向量组,B,等价，,记为,设有两个向量组,的向量线性,表示，,则称向量组,A,可由,向量组,如果向量组,A,的,每个,向量,都可由,向量组,B,中,B,线性,表示,2024/11/25,例,证明,依题意可知，向量组,B,可由,向量组,A,线性,表示,2024/11/25,又由,2024/11/25,向量组,A,可由,向量组,B,线性,表示,故,解得,2024/11/25,向量组等价有如下性质：,(1)反身性：,(2)对称性：,若,则,(3)传递性：,则,若,2024/11/25,定理3.6,向量组和它的任意一个极大无关组等价,向量组与极大无关组的关系,P112,推论,向量组中任意两个极大无关组等价,2024/11/25,定理,3.7,P112,如果向量组 可由向量组,线性表示，且,ts,，则向,量组 线性相关,证明从略,2024/11/25,设,则,线性,相关,证,由,得,于是,表明：,向量组,线性,相关,例,2024/11/25,推论1,如果向量组,可由,向量组,线性,表示,，且,线性,无关,，则,2024/11/25,推论2,推论3,等价,的线性,无关,向量组,所含,向量的,个数相等。,推论4,向量组的,任意两个,极大无关组,所含,向量的,个,数,相同。,任意,m(mn),个,n,维向量,必,线性,相关,2024/11/25,三,、,向量组的秩,完全由零向量组成的向量组,它的秩为,定义 3.6,P113,向量组的,极大无关组,所含向量,的,个数,r,称为向量组的,秩,。记为,特别地,0,。,2024/11/25,线性,无关,向量组,，总有,任意向量组,2024/11/25,定理 3.8,P114,等价,的向量组有,相同,的,秩,。,该,逆,命题不成立。,但,不,等价。,2024/11/25,已知 线性,相关，,试证,也线性,相关,。,证明令,解方程组得,例,2024/11/25,两向量组,等价,由定理3.8知,两向量组,秩相等,而 线性,相关,得,故,即向量组,也线性,相关,.,上式说明,2024/11/25,例,的,行,秩和,列,秩,求,解,A,的,行,向量组：,由于 线性,无关,为,极大无关组,2024/11/25,最大线性无关向量组的概念：,最大性,、,线性无关性,矩阵的秩与向量组的秩的关系：,矩阵的秩矩阵列向量组的秩,矩阵行向量组的秩,关于向量组秩的一些结论：,一个定理,、,三个推论,求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为列向量构成一个矩,阵，然后进行初等行变换,四、小结与思考,2024/11/25,比较教材例7的证,法一、二、三，并总,结这类题的证法,思考题,2024/11/25,证法一根据,向量组等价的定义,，寻找两向量,组相互线性表示的系数矩阵；,思考题解答,证法二利用“,经初等列变换，矩阵的列向量,组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,”,这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；,证法三直接计算向量组的秩，利用了,向量组,的最大线性无关组等价,这一结论,2024/11/25,