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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 离散时间系统的时域分析,模拟信号的数字处理，要求模拟信号在离散化的过程中不能丢失信息，即应能从采样信号恢复原来的连续信号，,这要求采样频率满足一定的条件，信号本身也满足一定的条件,。,一、采样信号及其频谱,所谓采样就是让连续信号通过一抽样器(开关)，使抽样的输出是原连续信号某些离散点上的值,，用以简化的示意图描述如下：,电子开关每隔时间T接通一次，接通时间为,，输出一系列脉冲，脉冲串的包络与连续信号的波形相同，用数学表达式描述为：,其中,s(t)为一开关函数,，,f,s,(t)叫做采样信号或抽样信号,。,当开关函数s(t)的脉宽,很小时，s(t)就可近似看成是一个冲激序列，每个冲激的强度即是脉冲下的面积。若引进单位冲激序列,则开关函数为,离散信号为,其频域对应关系为,由于,是无穷小量，考虑,其中：,F,叫作,抽样角频率,，为,理想抽样信号的频谱,。,相对应的,理想抽样信号,为,从上面可以看出，,理想抽样信号的频谱在横轴上是原来连续信号频谱的周期延拓，周期大小为抽样角频率,s,，在纵轴上压缩为原来的1/T,倍,，其最大特点是,周期性,。,与矩形脉冲序列相乘的抽样叫,矩形脉冲抽样,，也叫自然抽样；与冲激序列相乘的抽样叫,冲激抽样,。,二、采样定理,抽样定理,：设x(t),是某一,带限信号,，在,m,时，x()=0，如果,S,2,m,，,其中,S,2/T，,那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,1,2,所确定。这里，两倍信号所含的最高频率2f,m,，是最小的抽样频率，称之为,奈奎斯特抽样频率,，,或称香农抽样频率,；其倒数称为奈奎斯特抽样间隔，或香农抽样间隔。,均匀抽样定理,：一个在频谱中不包含有大于频率f,m,的分量的有限带宽的信号，由对该信号以不大于1/2 f,m,的时间间隔进行抽样的抽样值唯一地确定。当这样的抽样信号通过其截至频率,c,满足条件,m,c,S,m,的理想低通滤波器后，可以将原信号完全重建，这个定理也称为,香农抽样定理,。,抽样定理中要求信号是带限的，因此在A/D转换前加一保护滤波器，以免在抽样过程中产生混迭现象。,用低通滤波器恢复原信号，而低通滤波器是不可实现的，因此，实际采用的方法是提高采样率，或提高滤波器的阶数。,零阶保持抽样,：在一个已知的抽样瞬间对x(t)抽样，并保持这一样本值直到下一个抽样瞬时为止。,三、信号重建,为了由x,0,(t)重建x(t)，用一个冲激响应为h,r,(t)，频率响应为H,r,(,)的LTI系统来处理,x,0,(t)，以使r(t)=x(t)。如果h,0,(t)与h,r,(t)级联后的特性是一个理想低通滤波器的特性，那么，即可重建x(t)。,内插是一个常用的由样本值来重建某一函数的过程，,零阶保持,是一种简单的内插过程，另一种是线性内插，即把相邻的样本点用直线连接起来，线性内差又称为,一阶保持,。,r(t),x(t),p(t),h,0,(t),h,r,(t),H,r,(,),x,0,(t),输出r(t)为,上式代表了一种内差公式。,带限内差,：理想低通滤波器的h(t)为,所以,线性内差,：用三角形特性的h(t)恢复x(t),三、频率抽样,x(,),在时域中有,其中：,于是,如果x(t)是时限的且 ，上式给出的 就由互不重叠、周期重复的x(t)所组成，此时原始信号x(t)就能够用一个低时窗过滤 来予以重建；否则会出现时域混迭。,同样，从 恢复x(t)的低时窗可以看作是X(,)的频域样本的内差。由于,则,一、离散时间信号和离散时间系统,离散信号是一个数值序列，其特点是每个数值在序列中的位置、抽样间隔是无关紧要的参数。离散信号通常表示为,或,K表示序号，x(K)表示序号为K时的函数值,（序列值），也简化表示为x(K)和y(K)。,序列的运算为,：,同序号的数值逐项对应相加减,同序号的数值逐项对应相乘,原序列x(K)逐项依次延时j位,原序列x(K)逐项依次向前移j位,序列能量定义为,：,常见的,离散时间信号,：,1.单位脉冲信号（单位样值信号）,收敛；,发散。,0,是正弦序列的频率，它反映序列值依,次周期性重复的频率。当 为整数时，该值是正弦序列的周期；为有理值时，该正弦序列仍是周期的，只不过周期增大；为无理数时，该序列不是周期的，但仍以,0,为正弦序列的频率。,离散时间系统,：,通常表示为,线性移不变离散系统：,1.线性：,2.移不变性：,3.线性移不变性：,离散,e(k),y(k),二、离散时间系统的数学模型,描述离散时间系统特性的数学模型是,常系数的线性差分方程,，一般的数字滤波器习惯采用向后形式的差分方程(,x(n)=x(n)-x(n-1),，而在状态变量分析中习惯用向前差分方程(,x(n)=x(n+1)-x(n),；分析一个离散系统就是求解这个方程，方法有时域法、Z变换法等。首先看系统模型的建立：,例1：一空运控制系统，计算机每隔一秒钟计算一次飞机应有高度x(k)，用雷达实测一次实际高度y(k)，把应有高度x(k)与前一秒的实测高度y(k-1)相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即v=A,x(k)-y(k-1)，则从第k-1秒到第k秒一秒钟飞机上升的高度为,经整理得,这就是控制信号x(k)与响应信号y(k)之间关系的差分方程，它描写该空运控制系统的工作。,例2：一RC电路如图所示，输入为一离散的抽样信号e(t)，请写出描述此系统工作时每隔时间T输出电压u,c,(k)与输入信号间关系的差分方程。,解：下图所示抽样信号是一有始信号，可以表示为如下冲激序列之和,当t趋于kT而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。由该时开始的电容电压零输入分量为,由第二章知冲激响应是,此处，第k个冲激,加于电路后电容电压的零状态分量为,R,C,e(t),tkT后总输出电压为,该差分方程描述了离散输出电压与输入抽样电压间关系的差分方程。这个结果也可直接从微分方程问题用差分方程近似处理得到。对于e(t),u,c,(t)，系统的数学模型为,对激励信号抽样得到e(kT)，简记为e(k)，则上面的数学模型可近似表示为,整理得,由此差分方程求出的u,c,(k)是原连续响应u,c,(t)的等间隔采样。,例3：一电阻网络如图所示，其中每一串联臂电阻值同为R，每一个并联臂电阻为aR，a为某一正实数。该网络各个节点对公共节点的电压为u(k),k分别为0,1,2,n。已知两个边界节点电压为u(0)=E，u(n)=0，求任一第k个节点电压u(k)。,解：系统中第k+1个,节点,的电流关系如左图所示，图中电压电流关系如下：,整理得该系统的差分方程,再利用两个边界条件，即可解出u(k)。,R,R,R,R,R,E,u(0),u(1),u(2),u(n-1),u(n),R,R,u(k+1),u(k+2),u(k),例：假定每对兔子每月可以生育一对兔子，新生的小兔要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔子，求第k个月兔子对的数目。,解：令y(k)表示第k个月兔子队的数目，已知y(0)=0,y(1)=1，显然可推知y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5.,在第k个月有y(k-2)对兔子有生育能力，因此，到第k个月，这批兔子要从y(k-2)对变成,2y(k-2)对，此外，还有y(k-1)-y(k-2)对兔子没有生育能力，所以，到第k个月，应有兔子,该数列中，第k个样值y(k)等于前面两个样值之和，这就是著名的费班纳西(Fibonacci)数列，给定不同的初始值，可以得到不同的数列。,离散系统的,阶数,等于方程中响应的最高序号与最低序号的差。,n阶离散时间系统的前向差分方程为：,三、离散时间系统的模拟,离散时间系统中采用的运算单元有三种：加法器、乘法器（与连续系统相同）和延时器（用D或Z,-1,表示）。,例：,y(k),x(k),D,y(k),x(k),D,y(0),对于n阶离散系统的前向差分方程，与第五章相类似，引入辅助函数q(k)，且,可以同理证明，上面两式合起来与前页式子完全等效。,y(k),e(k),D,y(k+1),y(k),D,D,D,e(k),在连续系统中允许mn，,但在离散系统中不允许mn,，因为当mn时，说明k时刻的输出不仅取决于当前及以前的输入，而且还取决于以后的输入，违反了因果性，属于非因果系统，所以我们讨论的系统属于 。,例：一离散时间系统的差分方程为,试作出此系统的模拟框图。,解：因为m不等于零，所以需引进辅助函数q(k)，令,则,求解离散时间系统时，,把总响应分成零输入分量和零状态分量两部分。,一般讲，求解常系数线性差分方程的方法有以下几种：,1.递推法：该方法只能求得数值解，很难找出封闭表达式。,2.时域经典法：与微分方程的时域经典法相似，先分别求出齐次解和特阶，然后代入边界条件求待定系数。,4.变换域法（Z变换法）：类似于连续系统的拉氏变换法。,因为e(k)=0，所以系统方程为齐次差分方程，即,引进移序算子S，其作用是使序列y(k)的序号增加，即,则上面的齐次方程可以写为：,方程,称为离散系统的,特征方程,，,此时，S作为代数量来处理。特征方程的根称为离散系统的,特征根,，设有n个不同的单根v,1,v,2,v,n,，则有,此时，系统的零输入响应为,其中，c,1,c,2,c,n,由系统的几个初始条件确定。,或,则,将 代入下面所示齐次差分方程的左端,有,，所以上式为,满足齐次差分方程，以此类推可得其余n-1项也满足。,零，说明,系统零输入响应的变化模式完全取决于系统本身的特性，当系统给定之后，系统的特征根完全确定，因此零输入响应的模式也就完全确定了，所以,零输入响应也是系统的自然响应分量,。,由于系统是实的，所以差分方程的系数均为实的，这样系统的特征根是,实的或是共轭复根,。,当系统的特征根有重根时，即,则系统的零输入响应为,同样，常数由系统的初始条件确定。,例1：求一阶系统的 零输入响应。,解：,的变化模式取决于v=-a,0,的值，如下所示：,例2：有一离散系统，用下列差分方程描述,系统的初始条件为y(0)=0,y(1)=1，求零输入响应。,解：该系统的齐次方程为,特征方程为,特征根为,所以零输入响应为,代入初始条件：,一、用卷积和求解离散时间系统的零状态响应,与连续时间系统的时域分析法相似，对于离散时间系统，求解零状态响应同样可以用卷积的的办法，即根据系统的线性和非移变性，将激励信号分解成为单元信号和的形式，先求出每个单元信号作用下系统的响应，然后再迭加即是系统对激励信号的响应。离散系统中采用的单元信号是单位函数 。,对任一信号都可用 及移序的 的线性组合来表示，即,设 作用系统时，系统的零状态响应为 ，称为,单位函数响应,。,上式称为,卷积和,，它表示系统的零状态响应与激励及单位函数响应之间的关系，记为,卷积和性质：,1.满足交换律、结合率和分配率；,2.任意一信号与 的卷积仍为本身，即,3.卷积和的几何含义为翻转、平移、相乘、求和。,即,则,例：,计算卷积和也可用序列阵表格计算,例：已知如下两序列,求它们的卷积和,解：,表中的值是e(k)与h(k)相乘的结果，两者的卷积和,就是斜线上的数值迭加，即,求卷积和还可以通过查表7-1得到。,二、单位响应函数的求法,单位函数响应就是激励为单位函数时系统的响应，而单位函数仅在k=0时为1，其他k值均为0，所以当k0时，系统的响应实则是零输入响应，只不过该时系统的初始状态由激励 产生的，这时可通过系统的差分方程求出系统的初始状态，然后在此初始条件基础上求得系统的零输入响应，就是系统的单位函数响应信号。,例：,例1：一离散时间系统用以下差分方程描写,求此系统的单位函数响应。,解：由题可知,由差分方程得系统的特征方程为,特征根为,例2：一离散时间系统的转移算子为,此系统的初始条件是y(0)=2，y(1)=4，当系统输入为单位阶跃,序列u(k)时，试求系统的响应。,
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