数学史上的几大奇观(精品)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学史上的几大奇观,数学史的发展和其它学科有着许多相同的地方，即存在许多奇异的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理论知识发展的局限性，或者社会制度、宗教等的因素。但是这些思想的出现对于推动数学的进步是积极的。,一、尺规作图,在中学我们就知道，几何作图严格局限于,圆规,和无尺度,直尺,。这种限制从古希腊一直延续至今。,为什么？,古希腊认为，所有图形都是由直线和圆弧构成的，圆是最完美的图形。他们确信仅靠圆规和直尺就可以绘出图形来。他们还认为，依据少量假设，通过逻辑把握的东西最可靠。,一、尺规作图,如求线段,AB,的中点步骤为：,1,、以,A,为圆心，以一适当的长度为半径画弧；,2,、以,B,为圆心，以同样长度的半径画弧；,3,、两弧交于两点，作两点连线，其与,AB,的交点即为,AB,的中点。,一、尺规作图,人们很快找到了正三、四、五、六边形的尺规作图的方法，然而在正七边形的尺规作图时，一直研究了,2000,多年！,一、尺规作图,17,世纪，法国业余数学家费马提出了猜想：形如,F,i,=2,2,i,+1,是素数！,i=0,1,2,3,4,时,F,i,是的确如此。而,i=5,时,F,5,是不是素数,一、尺规作图,则在差不多,100,年后才由伟大的欧拉证明它不是素数！,F,5,=641,6700417.,看来，验证一个大数是否为素数是一个多么困难的事啊！,一、尺规作图,迄今为止，人们只知道,F,1,F,2,F,3, F,4, F,5,是素数。人们又猜想费马素数只有有限个，但仍是一个未解问题。,一、尺规作图,在欧拉之后,60,年，德国数学家高斯,20,岁时发现了正多边形的边数是费马素数时是可以用尺规作图的，并且得到一般性结论：正,n,边形可尺规作图的充分必要条件是：,一、尺规作图,由此我们知道正,7,边形是不可以尺规作图的！因为,7,不是费马素数。,一、尺规作图,而正,17,边形（属于高斯，,80,多页），正,257,边形（,200,多页）是可以用尺规作图的。高斯的墓碑上刻着一个正,17,边形。,大家可以验证,3,，,5,，,17,，,257,是否为费马素数。,一、尺规作图,古希腊流传下来的还有三大几何作图难题：,1,、化圆为方：,=,2,、倍立方问题 ：,=,3,、三等分角问题。,一、尺规作图,它们的解决实际上都促进了几何与代数，也就是现在的解析几何的产生与发展。上述三个问题都是不可能的！,1,、化圆为方，因为,是超越无理数。是,不可作几何量,。,一、尺规作图,2,、倍立方问题。因为 是,不可作几何量,。,3,、三等分角问题。,以,60,度角为例，,可得到代数方程,一、尺规作图,二、解析几何与微积分,前面已经提到，古希腊的几大几何难题都是借助于代数方法得到解决的。实际上，从公元前到公元,16,世纪，几何与代数各自并行发展着。表面上看，几何似乎是关于形的科学而与数无关，代数似乎是关于数的科学而与形无关。,二、解析几何与微积分,代数与几何难以联系的原因是：人们心目中的数是相互孤立的，难以从数想到由无穷多个点构成的线等图形。而对于形来说，例如线段或封闭图形，它们与数的联系也只限于长度与面积，难以从图形想到数的能力。,二、解析几何与微积分,人们从“,运动,”的角度来联系数与形的：决定性的工具是建立了,坐标系,，点 数。点的运动形成了线，线的运动形成了体,.,。,数与形的充分结合才产生了,解析几何,。,二、解析几何与微积分,解析几何的主要创始人是,笛卡儿,！在笛卡儿之前，就已经出现了代数与几何的结合，即解析几何的萌芽,.,我们来看一个例子。,二、解析几何与微积分,求比例中项问题,。求给定长度,AB,与,AC,的比例中项。,若,AB=AC,，那么他们本身就是比例中项，否则，可设,ABAC.,二、解析几何与微积分,将,AB,置于,AC,上,以,AC,为直径画圆,过,B,点作,AC,的垂线交圆于,D,连接,AD,AD,即为所求比例中项,.,二、解析几何与微积分,接着,我们依次作出,E,、,F,、,G,、,H,、,.,使得,二、解析几何与微积分,因为,AD=x,时,AF=x,3,AF=AD+DF,故当,DF=a,时,我们得到,X,3,=,x+a,二、解析几何与微积分,结论,:,从几何得到了一个代数方程,.,另一方面,若,a,是已知数,那么,AD=x,作为方程的根可以在几何上表示出来,(,尺规作图,).,二、解析几何与微积分,反过来,笛卡儿对几何问题应用了代数方法,:,研究,几何轨迹,问题,.,解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示,同时又用代数的研究方法来研究几何,.,这种方法显示了其强大的生命力,:,代数是纯演算的和,二、解析几何与微积分,推理的,它只需要逻辑的和技巧的,而不需要面对千变万化的几何曲线的表面现象得到其本质性的东西,.,即几何,曲线,(,曲面,),的分类,.,二、解析几何与微积分,二、解析几何与微积分,通过代数方法,(,平移,和,旋转,),我们可以把一般方程化为标准方程,.,而且还有三个不变量,.,它们是二次曲线的本质,三类,:,椭圆,、,双曲线,和,抛物线,。,难以想象,没有代数的参与,在众多曲线中我们能看到这些本质性的东西,.,二、解析几何与微积分,解析几何出现后不久，微积分也被发现了。可以说，,微积分不仅是数学的伟大发现，也为近代科学开辟了光明的道路；微积分不仅是,17,世纪的伟大发现，而且是世界人类文明史上最为光辉灿烂的发现。,二、解析几何与微积分,微积分的来源是科学发展对数学要求的必然：,速度、距离、重心,；,切线、长度、面积、体积,；,极值问题,等等。,速度,切线,微分,距离,体积,积分,二、解析几何与微积分,微积分的创立是以发现微分与积分互为逆运算为标志的，即我们所说的微积分学基本定理：,二、解析几何与微积分,微积分的伟大意义在于：,1,、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数学内部的辨证统一的深刻哲理。,二、解析几何与微积分,2,、推动了自然科学、工程技术、社会科学的发展。有了微积分，它就成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文学、化学等学科都得到了无限的推动力。近代的生物学、地理学、经济学、社会科学等都离不开数学。,二、解析几何与微积分,3,、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产生了前所未有的作用：工业革命、人造卫星、新星的发现、经济规律、金融运作等等。,二、解析几何与微积分,4,、对人类文化产生了革命性的影响。只要研究变化规律就要用到微积分，在人文、社会科学领域也是如此。哲学（马克思、恩格斯）、经济学、考古学、社会学、心理学、语言学、法学,.,它们直接影响着人们的世界观和文化结构。,三、非欧几何,一个遗憾的事：几乎所有的大学生不知道非欧几何，甚至数学类专业的本科生（包括部分大学数学教师）也是如此。,今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和改变世界的非欧几何。,三、非欧几何,欧氏几何在公元前,300,年就已产生，起特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的科学和成熟的科学。,三、非欧几何,欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的,集合原本,中，在其之后的,2200,后，希尔伯特在,几何基础,加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。,然而，令人放心不下的是该公理体,三、非欧几何,系中的第五公理，即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个方面研究平行公理。,1,、试图给出新的平行线定义以绕开这个困难；,三、非欧几何,2,、试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它；（,等价或包含,）,3,、试图用其他公里推出它。,第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。,三、非欧几何,在用反证法研究第三个问题时，试图推出矛盾，但是没有。实际上，反证法就是假设与第五公理不成立。第五公理是说：,过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行。,三、非欧几何,19,世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时，假设其反面之一：“,过已知直线外一点，可作多于一条的直线与已知直线平行,”，得到了一系列定理，并且认为他得到了一门新的几何学。这是过去,2000,年以来的重大突破。,三、非欧几何,罗巴切夫斯基,1826,年,2,月,11,日宣布自己建立了新的几何学之后，得到了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上，罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在他去世几十年后的事了,.,三、非欧几何,在罗氏几何产生后的,1854,年，德国数学家黎曼把欧氏第五公理改为：“,过已知直线外一点，没有与其平行之直线,”，得到的一种新的几何学,黎曼几何，为非欧几何的另一翼。,三、非欧几何,绝对几何,欧氏几何,罗氏几何,黎曼几何,联系公理,迭合公理,顺序公理,连续公理,三、非欧几何,非欧几何的产生具有三个重大意义,:,1,、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。,三、非欧几何,2,、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在,20,世纪,30,年代,三、非欧几何,建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了,元数学,的产生和发展。,3,、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是,三、非欧几何,科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家,Poincare,Minkouski, Hilbert,等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。,三、非欧几何,非欧几何的模型。,复变函数理论,。,非欧直线,非欧距离、非欧角、非欧圆、非欧三角形,.,，非欧三角形内角和小于,180,度；不存在非欧矩形。,